擂题(116)的评注

安徽师范大学数学与统计学院 郭要红 (邮编：241000)

本刊2018年第2期有奖解题擂台(116)如下：

题 已知a、b、c为正实数，用初等求差法证明：

a3b+b3c+c3a≥a2b2+b2c2+c2a2．

1 评注

评注人收到攻擂解答4份，其中2份来稿是正确的，按来稿的时间顺序，作者依次是：杨续亮(安徽省岳西县汤池中学，246620，2018年4月19 日)，宋庆(江西永修县一中，330304,2018年5月14日)，本擂题的获奖者是杨续亮老师.

2 擂题的否定

擂题(116)是不成立的，反例如下.

反例1 (杨续亮老师提供)

若令a=1,b=2,c→0，则2+8c+c3≥4+4c2+c2⟹2>4，不可能.

反例2 (宋庆老师提供)

当a=4,b=6,c=1时,604<628，不等式不成立.

3 错证的原因

在两份认为擂题正确的来稿中，其证明的开始均“不妨设a≥b≥c”，这是证明错误产生的原因. 注意到欲证不等式是轮换对称式，只能设a是a、b、c中最大者或设a是a、b、c中最小者.

4.修正

若考虑擂题的条件，可将擂题修改为：

命题 若a、b、c是一个三角形的三边，用初等求差法证明：

a3b+b3c+c3a≥a2b2+b2c2+c2a2．

上述命题是成立的，事实上它等价于第二十四届(1983)国际数学奥林匹克题6(美国提供).这可能也是擂题产生的源泉.

证明 因为欲证不等式是轮换对称式，设a是a、b、c中最大者，则

a3b+b3c+c3a-(a2b2+b2c2+c2a2)

=a2b(a-b)+b2c(b-c)+c2a(c-a)

=a(b-c)2b+c-a+b(a-b)(a-c)(a+b-c).

显然上式是非负的，从而原式成立，当且仅当a=b=c，即这三角形为正三角形时等号成立.