数学教育中“教思考”的探索

王宽明，吕传汉，游泰杰

（贵州师范大学数学科学学院，贵州 贵阳 550001）

一、“教思考”适应当代教育改革的需求

教育思潮的变革、社会结构的快速变迁、工作情况的急剧变化等，引发数学教育界对于数学教育的目标、课程内涵与教学等的重思与讨论，反观各主要国家纷纷推动教育改革，均以培育具有挑战性、创新性、批判思考以及问题解决能力等为主要目标，具有理性思考、多元文化包容和理解等内容，呈现了以培养教思考为核心的教育改革特点。美国国家研究委员会制定的Everybody Counts认为，随着社会和科技的迅猛发展，“21世纪的劳动力将是较少体力的而较多智力型的，较少机械的而较多电子的，较少稳定而较多变化的”[1]，这表明，大数据时代公民必须普遍具有较高的思考力方能适应社会的需求。

现今的教育实践，由于中、高考等高利害考试指挥棒的影响，课堂教学以解题准确和快速为目标，偏向于低层次认知能力而较少有高层次的思维活动。“思考”是指“进行比较深入的考虑”，“进行分析、综合、推理、判断等思维活动”。因此，思考属高层次思维活动，而高层次思维包含问题解决、批判思考、创造思考等。[2]应时代需求的变迁，数学教育也以培养学生思考能力为核心。研究所指的教思考，指的是在数学课堂教学中，教会学生具备以高层次思维认知客观世界。

二、数学教育中“教思考”的内涵

数学学习在本质上是学习者凭借其知识经验的习得而产生较为持久的行为（包括言语、思考和解决问题等）变化过程，其中行为的变化主要是由思维变化引发的。斯托利亚尔认为，“数学学习与其说是学习数学知识，不如说是学习数学思维活动”[3]，这说明数学思维活动较数学知识更重要，是一种高层次思考的行为。基础教育阶段，数学教育教学中的教思考，其实质就是一种数学思维模式的习得。学生的数学思维模式决定其观察问题、思考问题、分析问题和解决问题等方式方法及策略手段的不同表现形式，以及“问题解决”能力的差异。

由于教育的主要目的在于促使学生发展其潜力，因此教育场域中的教思考，首先应了解学生思维方式的特点，根据不同的特点，教导或启发学生采取合适的思维方式，培养其在日常生活中展现独立思考力的意愿与行为。

近三十年以来，数学教育目标存在以下发展趋势：由工具与实用导向扩充其文化与能力导向；由精英教育转向平民化；由知识性的熟练转向认知性的关注。[4]这反映了教育对于培养明智公民的重要性。数学教育目标的变革也使得数学抽象、数据分析、逻辑推理等成为数学教育所重视的核心素养，而以数学核心素养为载体隐含的是未来社会对公民思考能力的追求。就数学教育而言，提升个体“思考力”需要在实践中强化高认知思维能力的培养。由于思考具有多层次、多角度的特点，数学课堂教思考也会有程度和形态上的差异，故在实践中除了关切共性的方法以及整体层面的效果外，还应该有更细微、更切合个体需求的特点。但教思考作为高层次思维的教学，实践中，需要突出以下几个方面：

（一）创造性思考

诺克（Runco）认为，“创造性思考的心智过程包含：扩散思考、联结、模拟、问题解决、问题发现、顿悟、直觉等”[5]。创造性思考与创造力密切相关，斯滕伯格（Sternberg）提出与创造力有关的几个主要认知过程：问题辨识、定义及重新再定义问题、选择性编码、选择性组合、选择性比较、扩散思考、概念评估、弹性等。[6]由此可知，与创造力有关的部分认知过程属于思考能力，思考它们是个体创造思考的基础，同时也是其他思考表现的重要元素。其中，最常用来评估创造思考潜能的指标，为扩散思考、顿悟以及远距联想三者。扩散性思考不同于聚敛性思考，中小学课堂中教师相对重视突出演绎推理的聚敛性思考，而扩散性思考能够根据既有的或潜藏的信息，发散扩张出大量的信息，为问题解决有效开展提供必要的物质基础。因此，扩散思考能力被视为衡量个体创造力的主要指标之一。

除此之外，“顿悟与远距联想，也经常被用来作为评估创造认知潜能的指标”[7]。顿悟性思考的关键在于，个体在尝试进行问题解决时，能够适时进行问题表征间的转换。通常通过顿悟性思考解决问题时，不须仰赖高深的数学知识，一般人都具备解决该问题的能力，而且个体在突然克服问题的困境时，会获得一种成功的经验。远距联想能力则是能够由一些中介节点，将远距的概念联结在一起。个体进行远距联想时，往往同时快速进行表征转换，故比较接近顿悟性思考。

（二）批判性思考

客观世界是复杂的，客观事物一般都具有两面性，要让学生正确认识客观事物，关键是帮助学生养成批判性思考的习惯，能够在通过对现实世界的纷繁复杂进行扬弃的基础上，辩证性地认识、理解和处理问题。因此，不同于一般层面的思考，批判性思考对思考的品质有一定的广度和深度要求。

批判性思维能够使学生审慎而自信地接受知识和外界信息，既不盲从权威也不全盘接受别人的观点，更不排斥和抗拒新生的事物。但“在我国，批判性思维的研究与实践长期没有引起足够重视”[8]，即便在高学历群体里也存在因批判性思考能力不足而不能够正确认识和处理事情的现象。因缺乏批判性思考而不能超越自身的苦恼，导致个别学生虽受过高等教育但却没有掌握理性、合理的批判性思考能力，实践中沦为无批判性的人，因而“过分强调对立，采用极端态度来批判社会存在的不良现象”[9]。批判性思考“为决定相信什么或做什么而进行合理的、反思性的思维，包括澄清意义、分析论证、评估证据、判断论断的合适性和推导有根据的结论等技能”[10]。在国际教育界，批判性思考“被认为是和读、写一样基本的学习和学术技能，是创造知识和合理决策所必需的能力”[11]。具有良好的批判性思考能力的人，一般情况下，都具有开明而公正的心智、尊重别人的观点及其态度，并且能够根据问题的情境适时调整思路并修正自身观点。

在数学教育领域，教师能将所学的知识与学校情境外的社会问题产生联结，以进行有效的社会参与。这些问题，未必是数学问题，但是“问题解决”的过程必须涉及系列数学知识，教师可以在课堂上通过设计良好的开放式试题，让学生通过联结社会现实问题，运用高层次思维，以不同的形式表达、论述其中蕴含的数学学科知识，让学生自主参与数学知识建构、数学探究和实验，其中，既重视数学文化的自我保存和发展，更要具有超越学校和民族价值的国际化情怀。

（三）“问题解决”能力

建构主义理论支撑的“问题解决”教学，超越了传统仅关注“知识传授”的量的问题，而是更加关注学习者学习能力的发展。在尼维（Newell）和西蒙（Simon）看来，“问题是这样一种情境，个体想做某件事，但不能马上知道对这件事所需采取的一系列行动，就构成了问题”[12]。据此观点，“问题解决”是“由一定情景引起的，按照一定的目标，应用各种认知活动、技能等，经过一系列思维操作，使问题得以解决的过程”[13]。而“问题解决”教学，意指在问题解决的过程中教会学生如何思考解决问题，顺应他人与环境，进而能够更好地学会生存、学会与他人共同生活以及求知和做事等的能力。[14]按斯托利亚尔的观点，学习者的学习能力主要表现在学习者面对问题时，其思考问题的深刻性、敏捷性和广阔性等特征。英、美、加拿大等国的数学课程标准把“问题解决”作为目标之一，目的是“培养数学感觉的敏锐、数学思维的严密，学会‘充分理解问题——制定解题方案——综合运用多种手段实施解题方案——回顾并讨论解答’的良好思维习惯”[15]。另一方面，随着建构主义学习理论的兴起，基于问题的学习（PBL）应运而生。PBL教学目的是发展学生的批判性思考和问题解决能力，“鼓励学生进行辩论，挑战同伴的想法、分享概念形成过程等”[16]。

“问题解决”是通过“问题来驱动学生发散性思考，重视从工具性理解向关系性理解转变”[17]，包括让学生对一任务进行全盘的探究性研究，以问题驱动为活动中心，学生是通过与驱动的问题引发思考来形成学习内容，进而掌握现象背后的数学结构与概念意义并获得知识与技能。“问题解决”过程既涉及批判性思考，也包含创造性思考。“问题解决”的过程中涉及信息提取和选择、综合评估、信息整合和优化等，均属于高层次思维和认知能力。因此，“问题解决”的实质是思考能力的体现。“问题解决”需要学生通过自己的努力，在克服各种困难的过程中通过积极思考以掌握知识以及获取掌握知识的方法和能力，其过程是动态而复杂的。

三、数学课堂“教思考”的课程设计

思考能力是融合许多要素的复杂概念，包含不同方面、特质、动机、态度等，而实际上在数学教育中推动“教思考”时，教师作为主导者，需要思考的是课程要如何安排？以及教学活动的实施应包含哪些方面与内容？

（一）课程设计

教学生学会思考，若将其课程设置独立于数学学科之外，未必能够发生学习迁移的效果。若能在数学课堂将教思考融入数学各模块的教学中，包括其他学科领域，也许会更有助于个体在各模块的“问题解决”能力、批判性思考和创新性思维的表现，即重视知识和技能的融合会更有助于促进个体对课程内容的学习。

课程的设计是影响“教思考”效果的重要因素。考虑个体思考多层次、多角度的特点，研究认为，教会学生思考需要对高层次思维养成具有明晰的认识：扎实有效的批判性思维能力必须长时间与多方面的认识技巧联结；创造性思考的教学必须以可运用于真实生活实例，或是通过其他情境化的方式进行；“问题解决”必须搭建一连串与学习者数学学习领域相关的练习，提供学习者应用的策略，以及启发学习者能在更复杂、更真实情境下应用数学知识。

综上，笔者认为，教会学生思考，课程设计必须能够有效促进学生在数学专业领域自主学习知识。数学教学是关于数学的教学，区别于其他学科，数学学科具备自身独特的数学模式和解决问题的思维方法。因此数学教育中的“教思考”必须建立在数学专业或数学领域知识的基础之上，促进学生数学核心素养的养成，才会体现其学科意义与价值。

就教思考的本质而言，教师为提升学生领域知识而实施的富有创意的教学行为，不能淹没个体作为主体的独立思考和自主学习的精神。因此，教会学生思考必须是来自于学生的主动而非外在的强迫。教师促进学生自主学习必须提供学生思考的支架：

第一，提供数学思维模式帮助学生思考；

第二，教学强调过程导向、情境导向，使学生能不断修正改进和完善思考的角度和模式，并将所学的模式运用于不同生活情境，强化数学思维模式的习得；

第三，激发与提升学习动机，使学生愿意主动建构知识，重视学生独立自主获取知识、技能，强化数学核心素养对“问题解决”能力的促进作用；

第四，通过在真实情境中的任务活动，赋予学生学习上的自主权，并重视学习活动与先前经验的关联。

（二）教思考的技巧和策略

教思考的策略特色，在于学习者思维的高度参与，进而产生系列有新意的方法。或者帮助学生形成系统化的记忆、发现因果关系，甚至产生新的直觉和顿悟，整合许多不同观点的思考方法，对于思考对象进行创造性或开放性的思考，最后创造性地实现问题解决。

学生的高层次思考需要有创造性。研究发现，创造性训练或教学，对于学习者个体的创造潜能与表现，有明显的效果。[18]因此，在教学过程中，教师可教会学生必要的创造性思考技巧或策略。具体包括：

第一，根据不同个体的认知思考功能或过程，如扩散性思考中的流畅性、变通性、独创性等思考特征，在问题发现、概念组合、思维产生等教学过程设计相应的练习活动。如请学生列举概念、公式的非常规肯定例证；给出概念的否定例证；采用“一题多解”“一法多用”以及“一题多变”等；完成一系列未完成的图案，并为其命名等。

第二，吸纳现有的教学研究成果中好的创造思考教法或创造思考教学设计，对其重新组装和改造。具体包括：激发学生思维；改进知识接受方式；组织知识呈现方式和逻辑结构；对结果进行再探究等。

（三）教会学生思考的情意培养与方法营造

思考不只是一种认知能力的表现，更是一种情意的倾向。思考情意的培养与营造方法包含以下两个方面：

1.课堂氛围营造

在情意教育的教学目标层次上，通常在教学中，教师可使用价值澄清法，建立一个师生均感自由、安全的教室气氛。提供有助于激发学生创造思考的物理环境措施。具体方式：

第一，教师提出问题，学生尝试解决问题。问题解决的设计方案和结果有多种，但无论是方案还是结果，均无好坏优劣之分，学生采用何种方案或结果，需要做出“适切性”说明，而教师不须对分歧的意见干预。

第二，教师建构有利于学生思考的环境，并评价其发展。学生需要对其采用的方案设计或结果进行充分论证。论证的过程对于学生的思考力发展是一个有力的检验。

第三，维持一个能创造互信、允许冒险及具有实验性、创造性和正面的教室气氛。即建立允许文化多元、相互包容、理解并尊重的课室文化。

第四，示范学生达成的高品质思考行为。

2.激发学生思考动机

一般说来，内在动机比较有利于创造表现的展现。迪茜（Deci）与诺杨（Ryan）的自我决定论假设人有三种与生俱来的内在心理需求：第一，自主需求，希望所处的情境是自己能掌控的；第二，胜任感需求，希望面对外在工作或挑战时自己能够应付；第三，关系需求，希望能有归属感。[19]

若能满足上述心理需求，就会有内在动机出现。其中，自主性是内在动机最主要的成分，随着行动自主程度的高低，可将内在动机与外在动机视为一个连续的向度。行动的自我决定程度越高，越倾向内在动机的形式，自主程度越低，则越倾向外在动机形式，完全无法自主的行为则无动机可言。因此，教师在教思考过程中，采取策略增进学生自主性的感受，将有助于提升其内在动机。自我决定理论实质是基于内在能力、外在比较或社会期望而区分的目标导向。据此，教师在授课过程中，强调学会思考的目的是“增进”自己适应社会变化的能力，鼓励学生在与他人交流的过程中分享信息和独立自主解决问题，课堂中传递刻苦、勤奋、努力的正能量信息。因此，学习思考是跟自己比较，属于绝对的、进步的参照，而非个体之间的比较或竞争；教师亦可提供线索、采用暗示的方式引导学生学习，如“人人都可以进行高层次思考、有创意的思考”。

当然，教会学生思考也可适度利用外在动机。如让学生知觉到“有所进步”是很重要的，教师在课堂上可以采取肯定学生“问题解决”能力或方案设计、能够独立完成学业任务、课堂表现积极等策略。因奖赏机制能反映学生投入“问题解决”活动的程度，故教师也可在教思考课堂中，提出挑战任务与奖赏机制相结合，以此激发学生思考的动机。

（四）数学教育“教思考”的课堂评价

教会学生思考的理念，适用于各层次的学生。教思考，一方面，为学习者运用高层次思考和认知提供机会；另一方面，现今更重要的问题在于“数学课堂教思考，就教学而言如何表现？教思考在什么情况下？对谁而言最有效？如何刻画教思考的程度？”这也是对教思考评价的问题。

研究采用四个不同阶段的表现水平来诊断、描述数学教育中教思考的水平。

1.潜阶段

该阶段的课堂行为以“填鸭式”为主，教师一言堂，学生完全被动接受灌输。

教学表现几乎看不出“启发式”特征或与引发学生思考行为有关联。值得一提的是，并不是说这个阶段没有“教思考”，而是课堂提问主要是低层次、识记性的或无意义的问题。但是这些问题也许对特定群体有启发思考的功能。

2.萌芽阶段

该阶段的课堂教学行为，只能在教学表现中看到少许的高层次思维和高层次认知行为活动的相关特征证据。即课堂教学中的“教思考”行为并不稳定，而且教会学生思考的行为数量少或是质量不高，处于尝试的阶段。

3.发展阶段

该阶段“教思考”的行为活动中，已经能经常在课堂活动中观察到批判性思考、创造性提问和“问题解决”能力等教学活动。如概念教学中，能够联系现实情境，启发学生独立概括和抽象出概念，让学生自主辨析概念的肯定例证和否定例证，列举生活中的原型来解释概念，概念的形式转换以及与其他概念的联系和区别等。

4.发达阶段

当“教思考”处在发达阶段时，教师能够打破教材知识结构体系，知识呈现与学生自身的文化体系密切相关，有一定数量的个性化问题，高认知水平的问题设计着眼于最近发展区，且在教学过程中展现出建设性、高质量且具创造性的特点。

研究提供的四个等级阶段，都是基于可观察到的课堂教学行为表现。但是对教思考的课堂表现水准，需要体现数学学科特点和儿童认知规律、思维的实践发展水平。如何更加准确、科学地刻画教思考的水平，尚需要进一步研究。

总之，数学教育中的“教思考”，一方面，不仅是满足不同能力、不同程度学生的学习需求，而且“教思考”在各门学科教育中属“通法”，能够提供帮助学生在生活和学习中发挥潜能的机会；另一方面，“教思考”促进学习者的学习内涵，从传统以数学知识、记忆理解计算等基础认知能力为主的学业或智力导向，转向知识整合应用、高层次认知及情意表现的素养导向。故“教思考”的提倡与实践，可促使更多学习者在非传统学业或智力表现的领域中实现充分发展，当其在生活中和社会实践中面对任何困扰时，都易“趋利避害”，产生有价值、有建设性的“问题解决”产物。

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