定角定边解三角形题的“轮回转世”

林海卫

三角形的三条边a，b，c和三个角A，B，C叫作三角形的元素.已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫作解三角形.解三角形的主要工具是正弦、余弦定理.

解三角形问题，或注重考查“双基”即基本知识和基本方法，或注重考查与三角函数知识、不等式知识、平面向量知识、解析几何知识等综合运用.解三角形问题，要注意三角形的隐含条件，如三个内角和为180°、大边对大角、任意两边之和大于第三边、角的正弦值为正数等.解三角形是研究任意三角形的边角关系，其关键是要抓住解三角形的知识和方法，再掌握解三角形的一些基本题型及解题方法.

下面，笔者从任意三角形的定角定边元素入手，通过三角形题的轮回转世来分析解三角形过程中出现的一些题型及其解题思路.

例题在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，若A=π3，a=3，求b+c的取值范围.

解析（法一）由正弦定理：asinA=bsinB=csinC，得b=2sinB，c=2sinC，

b+c=2sinB+2sinC=2sinB+2sin2π3-B=3sinB+3cosB=23sinB+π6.

又因為B∈0，2π3，从而b+c∈（3，23].

（法二）由余弦定理：a2=b2+c2-2bccosA.

可得3=b2+c2-bc=（b+c）2-3bc，

从而（b+c）2=3bc+3，

因为b+c≥2bc即bc≤b+c22，

所以（b+c）2≤3b+c22+3，解得-23≤b+c≤23，

又因为b+c>a=3，从而b+c∈（3，23].

（法三）由正弦定理：asinA=bsinB=csinC=2R.

从而点A在实线圆弧上运动，如右图从变化趋势看，A趋向B，C时b+c最小，A位于A0处，b+c最大，因而，b+c∈（3，23].

注：此法对于选择填空题相当简便.

转世为向量题：已知单位向量a，b，c，x，且a+b+c=0，记y=|x-a|+|x-b|+|x-c|，则y的最大值为.

解析如图所示，由已知可得，正△ABC，边长为3，设OA=a，OB=b，OC=c，OD=x，

则|x-a|=|AD|，|x-b|=|BD|，|x-c|=|CD|，

从而y=|AD|+|BD|+|CD|，在△ADC中，AC=3，∠ADC=120°，从而（|AD|+|CD|）max=2，此时|BD|同时取到最大值2（即外接圆直径），从而ymax=4.

转世为实际问题：如图所示，经过村庄A有两条夹角为60°的公路AB，AC，根据规划拟在两条公路之间的区域内建一工厂P，分别在两条公路边上建两个仓库M，N（异于村庄A），要求PM=PN=MN=2（单位：千米），如何设计能使得工厂产生的噪声对居民的影响最小（即工厂与村庄的距离最远）？

解析更换参照系，让M，N定，则A在如右图圆弧上运动，Q为MN中点，|PQ|=3，显然易得|AQ|max=3，

此时AQ⊥MN，即A，Q，P三点共线，所以|AP|max=23.

转世轮回题：在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，若A=π3，a=3，求△ABC内切圆半径r的取值范围.

解析（法一）3=a2=b2+c2-2bccosA=（b+c）2-3bc，从而bc=13[（b+c）2-3].

又由S=12（a+b+c）r=12bcsinA，得

r=bcsinAa+b+c=32bc3+b+c

=36（b+c）2-33+b+c=36（b+c-3），

即求b+c的取值范围（求b+c的取值范围的解答详见例题）.

（法二）由切线长相等，得|AD|=b+c-a2=b+c-32，又在直角△ADO中，tan30°=rAD，即|AD|=3r，从而可得r=36（b+c-3），即求b+c的取值范围.

只要掌握解决问题的基本方法和策略，就可以以点带面，提高解题效率.对于一些更复杂的三角形综合题，可能是正弦和余弦定理、三角函数、不等式、平面向量、解析几何等知识的综合运用，只要掌握解三角形的解题思路，再利用转化与划归思想、数形结合思想，解题就会游刃有余.

【参考文献】

[1]赵建军.例谈用正弦余弦定理解三角形[J].数学学习与研究，2012（18）：108.endprint