例谈三角函数值域（最值）的几种求法

李春燕

【摘要】有关三角函数的值域（最值）的问题是各级各类考试考查的热点之一，这类问题的解决涉及化归、转换、类比等重要的数学思想，采取的数学方法包括易元变换、问题转换、等价化归等常用方法.掌握这类问题的解法，不仅能加强知识的纵横联系，巩固基础知识和基本技能，还能提高数学思维能力和运算能力.

【关键词】高中数学；三角函数的值域；几种求法

一、合理转化，利用有界性求值域

例1求函数的值域：

y=1+sinxcosx.

解析（1）根据|sinxcosx|≤12|sin2x|≤12，

可知：12≤y≤32.

二、单调性开路，定义回归

例2求函数的值域：

y=cos（sinx）.

解析（2）由-1≤sinx≤1，

有cos1≤cos（sinx）≤1，∴cos1≤cos（sinx）≤1.

三、抓住结构特征，巧用均值不等式

例3若0

解析由00，根据均值不等式：

f（x）=9xsinx+4xsinx≥29xsinx4xsinx=12.

当9xsinx=4xsinx，即x2sin2x=49时，f（x）min=12.

例4已知sinβsinα=cos（α+β），其中α、β为锐角，求tanβ的最大值.

解析由sinβ=sin[（α+β）-α]=sin（α+β）cosα-cos（α+β）sinα=sinαcos（α+β），

即sin（α+β）cosα=2sinαcos（α+β），

有tan（α+β）=2tanα.

于是：tanβ=tan[（α+β）-α]=tan（α+β）-tanα1+tanαtan（α+β）=tanα1+2tan2α=11tanα+2tanα≤24.

当1tanα=2tanα即tan2α=12时，有（tanβ）max=24.

四、易元变换，整体思想求解

例5求函数y=sinx+cosx+sinxcosx的值域.

解法一设sinx+cosx=t，

则t=2sinx+π4∈[-2，2]，sinxcosx=t2-12，

∴y=t+t2-12=12（t+1）2-1，t∈[-2，2].

故当t=2时，有ymax=2+12.

解法二构造对偶式转化为某一变量的二次函数在闭区间内求最大值

设sinx=m+n，cosx=m-n，

则sinx+cosx=2m，sinxcosx=m2-n2.

由sin2x+cos2x=1，得m2+n2=12，m∈-22，22，

∴y=sinx+cosx+sinxcosx=2m+m2-n2=2m2+2m-12，m∈-22，22，

故当m=22时，有ymax=12+2.

五、方程架桥，问题转化

例6求函数y=（1+sinx）（3+sinx）2+sinx的最大值、最小值.

解析将问题转化为求一元二次方程在闭区间上有解的充要条件：

原函数解析式转化为：sin2x+（4-y）sinx+3-2y=0.

令t=sinx，则|t|≤1，

∴t2+（4-y）t+3-2y=0在[-1，1]上有解，故有：

Δ=（4-y）2-4（3-2y）≥0，

-1≤-4-y2≤1，

f（-1）≥0，f（1）≥0 或f（-1）f（1）≤0，

解得2≤y≤52.

六、运用模型、数形结合

例7求函数y=2-sinx2-cosx的值域.

解析函数的值域可看作求过点P（2，2）的单位圆的切线的斜率k的最大、最小值.

设切线PA的方程为：y-2=k（x-2），

即kx-y-2k+2=0.

設原点到切线的距离d，则d=1，

即d=|2k-2|1+k2=1，即3k2-8k+3=0，解得k=4±73，

故所求函数的值域为：4-73，4+73.