立足不等式基点感悟数学分类方法

孔庆甫

一、从基础入手解决“方向混淆，实空不分”的现象

（一）不等号的代数与几何意义

小于号“<”数轴表示：

不大于号“≤”数轴表示：

大于号“>”数轴表示：

不小于号“≥”数轴表示：

总结规律顺口溜：

小于大于对应向左向右；有等无等对应实心空心.

（二）一元一次不等式组解集的代数与几何意义

若a>b，数轴表示：

① x>a，x>b，数轴表示如图所示.

总结规律顺口溜：大大取大；右右取最右.

∴此不等式组的解集为x>a.

② x

总结规律顺口溜：小小取小；左左取最左.

∴此不等式组的解集为x

③ xb，数轴表示如图所示.

总结规律顺口溜：小大大小取中间；相向而行在中间.

∴此不等式组的解集为b

④ x>a，x

总结规律顺口溜：大大小小无处找；背向而行找不到.

∴此不等式组的解集为空集.

（三）不等式组解集引申

例1如果一元一次不等式组x>3，x>a， 解集为x>3，那么a的取值范围是.

点评此题属于大大取大的形式，由解集x>3，

可知a在3右或与3重合，故a的取值范围是a≤3.

例2若一元一次不等式组x+a≥0，1-2x>x-2 有解，则a的取值范围是.

点评此题属于小大大小中间找的形式，要是有解，此不等式组的解集为-a≤x<1，-a在1的左边，故a的取值范围是a>-1.

例3关于x的不等式组2x<3（x-3）+1，3x+24>x+a 有四个整数解，则a的取值范围是.

解析此不等式组的解集为8

∵此不等式组有四个整数解，

∴x的取值为9，10，11，12.

12<2-4a≤13，即a的取值范围是-114≤a<-52.

例4已知关于x的不等式组3x+m<0，x>-5 的所有整数解的和为-9，求m的取值范围.

解∵不等式组有解，∴不等式组的解集为-5

点评此题易错之处在于对-m3范围的确定，错写为① -2≤-m3<-1；② 1≤-m3<2.

二、从实例中感悟“盈不足”问题的区分

人教版七年级数学下册第九章一元一次不等式（组）是整个初中阶段唯一学习不等关系的内容，是后续学习方案选择的基础.本章的核心内容是：建立一元一次不等式（组）模型解决实际问题.对于七年级学生受年龄及认知状况的限制，对数学问题中的符号化、模型化的思想接受有点困难，因此，教师要强调学生认真审题，抓住应用题中的关联词来确定一元一次不等式模型，从“分不到”“分到不足”“不空不满”等关联词入手.特别是解决“盈不足”的问题.

（一）“分不到”问题

例5把一些书分给几名同学，如果每人分3本，那么余8本；如果前面每名同学分5本，那么最后一个人就分不到3本.这些书共有多少本，共有多少人？

错解设共有x人，则书共有（3x+8）本，列不等式组得

0<（3x+8）-5（x-1）<3.

透析这是一个分物问题，属于中国古代数学典型题之一，涉及不同分配方案，按一种方案分配后有结余，按另一种方案则不够分，古代人用算术法解这类问题，思考起来有一定难度，现在我们用不等式组解更容易.这个问题中的关联词“分不到3本”是列不等式的关键，学生常出错的原因往往是受数字3的影响，只考虑能分到的情况而忽略了分不到书的情况，造成解题的错误.

正确解设共有x人，则书共有（3x+8）本，列不等式组得0≤（3x+8）-5（x-1）<3.

点评此问题包括分不到书的一种情况，不等式范围中应该包括0.

（二）“分到不足”问题

例6某灾区学校八年级一班得到一批由某市中小学捐赠的图书，若每名学生分4本，则剩余200本；若每名学生分8本，则有人分到不足8本.求这个班级共有多少学生，他们得到多少本捐赠书？

解设共有x名学生，获得捐赠书为（4x+200）本，根据题意列出不等式组得

0<（4x+200）-8（x-1）<8.

点评这种分配方案的焦点就是“分到不足”的情况，有两个关键，一是都分有书；二是8本以内.在最后一人获书的范围中，不包括0的可能性.

（三）不空不满

例7某宾馆一楼比二楼少5间，某旅游团有48人，若全部安排在一楼，每间4人，房间不够，每间5人，有房间没有住满.若全住在二楼，每间3人，房间不够，每间4人，有房间没有住满，问宾馆一楼有客房几间？

解设宾馆一楼有客房x间，则二楼有客房（x+5）间，由题意得

4x<48，3（x+5）<48，5x<48，4（x+5）>48，

解得485

∵x是正整数，∴x=10.

答：宾馆一楼有客房10间.

点评这种不空不满不等关系，要弄清楚题目中的未知量，再根据给出的安排方式以及关联词，列出不等式组.

以上举例只是为了解决七年级数学下册第九章不等式与不等式组中易错的问题，也是为了说明教材中概念及规则教学的重要性.教材只是抛砖引玉，它有很强的实践性、科学性、理论性及灵活性.创造性地使用教材，才能出现高效的课堂和学生的探究，在教学中要数形结合、分类讨论，深刻理解概念，不要似是而非，混淆黑白，以免造成数学符号的错误及解题的误区.

在教學中，把学生推向学习的前沿，让学生感知教材中的知识点与数学思想方法，区别记忆数学中的规则与计算顺序.不怕出错，即使出错也要彻底纠错，纠错的方法是对错因要刨根问底，对教材内容的创造性整合，以口诀和分类激发学生学习兴趣，提高学生解决不等式（组）问题的能力.