Bloch型空间上的加权微分复合算子

侯晓阳，许 毅，陈 伟

(1.温州商学院基础部，浙江温州 325035；2.温州大学数理与电子信息工程学院，浙江温州 325035)

1 有关定理及推论

若n=0，则就是加权复合算子，如果再有u(z)≡1，则为复合算子Cφ.

Madigan K和Matheson A在文[2]中研究了Bloch空间和小Bloch空间上复合算子Cφ的有界性和紧性问题；LouZ[3]研究了不同权Bloch型空间之间的复合算子Cφ，对于H∞空间上的加权复合算子uCφ的有关结论，可见文[4-8]及相应文献；Stevic[9-10]和刘永民等[11]等研究了混合范数空间和Bloch空间，以及Hardy空间上的加权微分复合算子的有界性和紧性问题.文献[12]研究了单位圆盘上从BMOA空间到Bloch型空间的加权微分复合算子的有界性和紧性，得到：

当α=1时，即为上述定理A，定理B；当n=1，时，则算子，可得文[13]主要结论：

定理的证明主要采用待定系数法确定检验函数，本文出现的字母C表示与变量z,w等无关的常数，为方便起见，不同的地方可以表示不同的常数.

2 引 理

引理1 对任意正整数n，f∈Bα，存在常数C(只与权值α有关)，使得

引理1可见文[14]定理5的证明过程，下面的紧性判断引理见文[15]定理3.11，取X=Bα，Y=Bβ，类似证明可得.

3 定理的证明

定理1的证明：充分性.若条件(1)(2)成立，结合引理1，可得：

综合(8)和(9)可知(1)式成立.

定理2的证明：充分性.对Bα中的任意有界序列，有fk在D的紧子集上一致收敛于0，由引理2，只需证明.以下不妨设

由条件(3)和(4)，∀ε＞0，当时，有：

结合(10)和(11)式，以及引理1，可得：

当|z|≤r＜1时，有：

即fk(z)在D的紧子集上一致收敛于0.故由引理2，结合式(14)式得到：

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