略论如何让孩子在游戏中培养数学思维

◆刘 源

(山东省宁阳县乡饮中心学校)

数学作为一门基础学科，对于学生成绩的高低起到了关键性的作用。根据一项调查数据显示，作为一门思维性较强的学科，数学学习思维应该在儿童时期就开始培养，通过数学游戏更容易形成良好的数学思维。针对这一项调查报告，给大家设计一款数学游戏，让孩子在游戏中训练数学思维，感受数学文化的浸润，领会符号意识、化归方法、一般到特殊的思路、分类思想、规则灵活运用等数学问题的处理手段。在娱乐中寓教于乐，善莫大焉。

1游戏设计

1.1名称：抓三堆游戏。

1.2道具：小石子或花生米等若干。

1.3游戏方法：

1.3.1将小石子按三堆放，数量可以相同，也可以不同。为了降低难度，可以先放每堆不超过10粒的三堆，主要是感受方法，找规律。待熟练后可以增加。

1.3.2甲乙两人依次轮流抓取石子，每人每次只能从一堆中抓取，每次抓取哪一堆没有限制，每次不能抓空，至少抓一粒，多者不限，最多可以把一堆一次抓尽。

1.3.3为了便于说明，我们引入符号，把三堆记为(a、b、c)(其中a、b、c代表三堆石子的数量，均为自然数)，规定谁最后抓尽，即抓的结果变成(0、0、0)视为胜利。

1.3.4取胜秘籍：记住下面的规律

(1)出现(a、a、0)的情况时，后抓的人必胜。

(2)出现(1、2n、2n+1)的情况时，后抓的人必胜。

具体的原因为什么是这样？

1.3.5游戏的目的就是让孩子掌握上述规律的基础上，灵活应用，把给出的三堆数变成上面的其中一种形式，逼迫对方先抓，自己是后手，就能获胜。举例：三堆数为(4、5、6)，甲乙二人，其中甲先抓，如何保证自己获胜呢？可以先抓6变成1，这样留给乙的是(2乘2、2乘2加1、1)，符合规律的第二种形式(三堆数4、5、1排列与1、4、5排列是一回事)。于是轮到乙抓了，无论怎样抓，甲都会取胜(原因在后面解释)。否则，甲若抓乘其他的情况，如甲抓4变成0，留给乙(0、5、6)，此时乙把6变成5，留给甲(0、5、5)，此时甲败了。这是简单的例子，稍复杂的如(4、6、8)自己试验一下，因为这里面变化情况太复杂了，对思维能形成有效的训练。大家想一想，数学平时的解题就是利用公式或者定理来解题，和这个提供的场景是一样的，都是灵活运用为根本，这种训练就是数学方法的训练。当然，比做数学题有趣多了。

2原因探析

2.1特殊问题一般化，如三堆是(4、5、6)，此时我们变为(a、b、c)处理。

2.2一般问题特殊化，从最简单的开始想起。(甲乙二人，不妨规定甲先抓，乙后抓。)

2.2.1若只有一堆时，即(a、0、0)的情况，此时甲胜。

2.2.2若有两堆时，又分为两种情况：

2.2.2.1这两堆数量相同，为(a、a、0)，此时乙胜。

2.2.2.2若两堆不同，不妨设a

2.2.3若三堆都有，又要分情况。

2.2.3.1其中有两堆相同，为(a、a、c)情况，甲先抓c变成0，留给乙(a、a、0)，有上面可知，甲必胜。

2.2.3.2三堆中其中任意两堆都不相同，为(a、b、c)(不妨设a

我们还是采取从最简单、最特殊的考虑。总体的思路是先研究(1、b、c)，依次(2、b、c)，(3、b、c)，(4、b、c)等。因此，可以发现最先要从(1、b、c)开始研究，这种情况，再从最简单的想起，因此(1、2、3)是最先需要研究的。下面分别叙述。

2.2.3.2.1当a=1，b=2，c=3时为(1、2、3)时，甲先抓共有六种情况。第一，甲先抓1，留给乙(0、2、3)，乙抓3变2为(0、2、2)，有前面可知乙必胜。第二，甲先抓2得1或得0，若留给乙(1、1、3)，乙抓3为0得(1、1、0)留给甲，乙胜。若留给乙(1、0、3)，此时乙抓3变1为(1、0、1)留给甲，乙胜。第三，甲先抓3得到1、2、0三种情况，若留给乙(1、2、1)，乙抓2变0为(1、0、1)，乙胜。若留给乙(1、2、2)，乙抓1变0为(0、2、2)，乙胜。若留给乙(1、2、0)，乙抓2变1为(1、1、0)，乙胜。由此可以得到结论，若(1、2、3)留给对方先抓，自己后抓，必然获胜。

2.2.3.2.2当a=1，b=2，c>3时为(1、2、c)(c>3的自然数)，甲先抓c变为3得到(1、2、3)留给乙，通过化归的方法转化为上面情况，可以得到甲获胜。

2.2.3.2.3当a=1，b=3，c=4时为(1、3、4)，此时，甲先抓把4变成2就得(1、3、2)留给乙，可得甲获胜。

2.2.3.2.4当a=1，b=3，c>4时为(1、3、c)，此时，甲先抓c变为2得(1、3、2)留给乙，甲获胜。

2.2.3.2.5当a=1，b=4，c=5时，此时甲先抓有10中情况，先抓1得0是一种情况，先抓4可得3、2、1、0四种情况，先抓5可得4、3、2、1、0五种情况，共计10种情况分别讨论。这里不再展开论述，可以得到乙必然获胜。由此得到，当出现(1、4、5)时，留给对方先抓，自己必然获胜。

2.2.3.2.6当a=1，b=4，c>5时，甲先抓c变成5，得到上面的情况，此时甲必然获胜。

2.2.3.2.7当a=1，b=5，c大于或等于6是，甲先把c变成4得到(1、5、4)，甲获胜。

2.2.3.2.8依次可以发现(1、6、7)，(1、8、9)，(1、10、11)都是甲先抓必败，后抓的为胜。所以上述结论表明想法设法留给对手上面的局面，自己获胜。

2.2.3.2.9由此，可以在上述例子的基础上，猜出一般的结论，即为符合(1、2n、2n+1)(n为自然数)的三堆数，后抓的获胜。

3变式拓展

利用上面的数学分析方法，练习两个简单的题目。

3.1有一堆石子100粒，甲乙两个人依次抓取，每人每次至少抓1粒，最多抓5粒，即抓取的范围是大于等于1而小于等于5，若甲先抓，问甲第一次抓几粒能确保自己能胜？

3.2有按照1、2、3、4等顺序依次连续编号的80个小球，甲乙二人依次抓小球，每人每次最少抓一个或者最多抓两个相邻编号的小球，若甲先抓，问怎样抓才能确保获胜？

4思维训练点

4.1符号意识很重要。让学生体会符号的使用使表述方便，便于理解。表达的关系深刻、简明。会用符号是会学数学的标志，数学符号是全世界最通用的语言，也是最好的表述方式。数学课程标准提出，要培养学生的符号意识，无论是数学的学习还是社会需要，符号表述我们离不开。

4.2一般特殊会转换。解决自然数问题一般有四步，一般化，特殊化，猜想结论，证明结论。这里面要学会化归，把未知的化为已知的。数学家去一个城市迷路了，解决问题的方式很简单，就是回到起点(刚到城市的地方如火车站等)，这就是化归思想的形象表述。

4.3应用分类要全面。分类思想是中学数学的重点、难点、考点。分类原则很简单，标准要统一，没有重复没有遗漏。但是，在具体的应用场景中，学会利用分类进行巧妙的解题是复杂的，本例子提供了很好的分类解题的示范。

4.4活用规则是关键。这种游戏，和数学解题是一样的，数学解题过程不过就是根据公式、定理、法则等，结合解题条件进行灵活使用，数学教师都知道，学生不会规则不会解题，记住规则是前提条件，但是仅仅会背规则可能一个题也不会解，必须活学活用。通过游戏，孩子能体验到这一点，这种体验对于学习数学是大有帮助的。