数学魅力：“首课”教学的生长力量

☉江苏省南京市宁海中学分校 卜以楼

这里的“首课”，是指初中学段的开学第一课、每个单元的统领第一课、接手其他老师教过班级的“接班”第一课，以及其他形式与学生第一次见面的第一课的简称．

“首课”教学的意义在于策略，定位在于整体，价值在于统领．生长数学认为，首课教学要以高品位的立意，来展现思维的魅力、激发学生的兴趣、揭示生长的力量．不过数学思维的魅力具有多样性，不同的人会有不同的理解．我们认为，首课教学要注意展现下列三种思维形式，来凸显数学思维的价值与魅力．

一、运用结构思维，把复杂的问题变得简单

数学之所以成为一门自然学科，是由其独特的思维品质和结构内涵决定的，所以从某种程度上说，数学就是一种结构．从结构上讲，首课教学要注重战略突破，而非战术研究．毛泽东早就指出，在战略上要藐视敌人，战术上要重视敌人．这是因为战略针对整体性问题，战术针对局部性问题；战略针对长期性问题，战术针对短期性问题；战略针对基本性问题，战术针对具体性问题．为此，将上述特质迁移到单元第一课再也恰当不过了．

现在我们以“分式”这一内容教学为例，说明运用结构思维，将复杂的问题转化为简单问题的教学策略．

分式是刻画现实世界中数量关系的一类代数式，是“数与代数”部分的重要内容，是继整式之后对代数式的进一步研究．主要内容包括分式与分式方程两个部分，其中分式主要研究分式的概念、基本性质、通分约分、加减乘除运算；分式方程主要研究分式方程的解法与应用．由于学生学习与研究这些知识，是建立在小学学过的分数与初中学过的一元一次方程的知识贮备之上的，又因为分式与分数具有相似的形式，类似的性质，所以就决定了它们有一致的研究方法，这也是由结构思维、数式通性和类比思想所决定的．

基于上述的结构思维分析，分式教学必须在为什么要学习分式、如何来研究分式、分式研究什么这三个方面进行章前领航．

1.为什么要学习分式，这是首要解决的问题．如果学生感觉不到学习分式的必要性和重要性，那么就形成不了学习的内驱力．解决这个问题通常有下列方法．

一是从学生的生活内部引入分式的概念，让学生感受到我们就生活在分式这个世界里，学习、生活以及日后的工作都离不开分式，分式将陪伴我们一生．因此，我们不能排斥分式，最好的方法就是和分式做朋友、要好的朋友，让分式为我们美好的生活服务．这就是“与其不能改变它，那么就不如适应它”的道理．那么如何从生活中引入分式呢？这是一个教学方法、甚至是一个教学艺术的问题．其中用“主题式探究法”来引入分式就是个不错的选择．主题式探究就是围绕学习、生活中的一个主题片断，来凸显分式存在的一种教学方法．通过这种方法，让学生亲身经历分式存在的过程，真实体验分式对于我们进一步学习的必要性，并以此来讲述数学思维的故事，让学生感受到分式的情深深、爱切切、意浓浓．

二是可以从数学内部引入分式的概念．从数学内部引入分式概念比起从数学外部引入分式概念具有逻辑性强、分式本质揭示到位等优势，但对于一部分学生来说，却存在趣味性不够等不利因素．这种引入法，我们可以从复习七（上）学习过的整式概念切入，然后提问学生对两个整式进行加减乘除运算，会产生什么样的结果，让学生感受到两个整式进行运算，特别是做除法运算后，结果不仅仅全是整式了，它是什么呢？它就像小学里两个整数相除会产生分数一样，从而让学生认识到分式的存在，并能让学生真实体验到分式由两个整式相除，并且一定是分母中含有字母的数学本质．

2.如何来研究分式，这是个智慧型的问题．它取决于学生自己的学习水平、经验、能力以及数学素养的正迁移，也是由学生内生生长的欲望所决定的．一般来说，当学生面对一个新生事物时，与生俱来地就有一种自主探究的欲望与兴趣，这就是自我生长的力量，也是实施单元学习的基础．

对于绝大部分学生来说，由现在的分式自然地会想到过去学习过的分数．事实上，学生此时已经这么想了，不然也得不到分式这个基本模型和定义了．有了这个基础，学生自然会插上类比的翅膀，运用最近联想的方法去探究分式的内涵、本质与精髓．所以说，类比思想是学习分式的内核，是研究分式的策略．

3.学习分式要学习什么、研究什么？这个问题与怎样研究分式既相互联系又相互交叉．因为分式学习的内容确定下来了，必将又进入到怎样研究具体的学习内容这一问题上来．具体地讲，分式的学习要利用七（上）学习代数式过程中积累的从数到式抽象过程的经验，通过类比小学学习的有关分数的基本性质、运算和应用的经验来探索，实现从分数到分式的跨越．因此，研究分式就是要研究分式的概念、性质、运算和应用这四个方面．

分式概念的形成过程、抽象过程、建立过程，在前面已涉猎，在此不需要重复．不过如何定义分式概念，仍是生长数学关注的重点，这涉及到如何对一个数学模型下定义的思维习惯问题，也是学生学习中遇到的一以贯之的问题．在这里用“样子+条件”的思维给一个数学模型下定义，这要成为学生下定义的理性自觉.这种思维方式，既基于结构思维，又是对学生一辈子有用的东西，也是数学核心素养的体现．

对分式的基本性质、分式的运算法则的探究活动，要基于类比的思维，构建“猜想—验证—结论”这一主题探究链，让学生大胆猜想，多途径验证，得到所要的结论．要在这里说明的是，这个系列的探究过程，要让学生感受到分式的基本性质是分式学习的关键．因为分式的约分、通分、分式的运算都是基于分式的基本性质而产生的一系列的推理活动．如果离开了这个事实，那么其余都将变成无源之水、无本之木，一切皆是空中楼阁．

分式方程的引入与解法，也要基于学生已有的解一元一次整式方程的经验来类比求解的过程与方法，至于解分式方程产生的增根问题，要根据教学实际进行选择．

还要指出的是，正因为是单元统领课，所以它给我们留下了自主开发的空间．我们不必过于拘泥于上述的教学设计，但是整个活动必须以学生的认知实际，有效、有序、有节奏地开展．同时，我们也不要过于侧重研究某一知识内容的战术性问题，因为那是新授某一具体知识内容的学习任务，所以才说要用结构性思维来进行每一单元的统领教学活动．

二、运用本质思维，把简单的内容变得深刻

学习数学是为了深刻地认识世界、改造世界，服务世界，因此钻研教材，阅读教材必须深刻．深刻意味着不仅仅把教材看懂，而是看穿、看透，一针见血、入木三分，挖掘出教材的精髓、内涵．教师把教材钻研得越深，悟出的道理就越透彻，讲起课来才能做到越深入浅出．

苏霍姆林斯基说：“教师越是能够运用自如地掌握教材，那么他的讲述就越是情感鲜明，学生听课以后需要花在抠教科书上的时间就越少．”例如，几何证明这一章的学习，就要将证明的体系展现给学生，让学生知道在进行几何论证时，为什么要进行证明，如何进行证明，怎样表述证明的过程．

我们先来说明“为什么要进行证明”的问题．这个问题一是要基于生活中的“教训”，让学生产生要进行证明的思维必然．要将生活中通过直觉得到的结论，通过“想当然”产生的判断，呈现给学生，让学生感知证明的必要性．二是要列举基于数学内部中合情推理、通过反逻辑形成推理的错误判断，让学生体验证明的重要性．只有让学生懂得证明的必要性，他们才会有证明的兴趣，才能产生学习的欲望．

然后来解决“如何进行证明”的问题．当学生知道了面对一个命题需要进行证明时，那么接下来的是如何进行证明，这是证明体系中的核心问题．如何进行证明呢？这得首先要有相同的核心价值观、逻辑观和世界观，这是扬帆远航的起点，也是开展一项活动的基本现实和公共认同．这个公共认同就是证明体系中的公理，即《义务教育数学课程标准（2011版）》中的9条基本事实、各种数学对象的定义、数学运算的算理和每道题中的已知条件，在这个起点上运用逻辑推理、演绎推断进行系统论证，从而得到待证结论．因此，证明的价值在于让学生感受到它是个逻辑连贯、环环相扣、滴水不漏，充满理性气质的生长过程，是个理直气壮、刚正不阿、欲罢不能，充满底气十足的学习结果．

最后要解决“怎样表述证明过程”的问题．如果仅从上述所及的基本事实、概念定义、运算算理和已知条件出发，那么在证明的过程中，特别是遇到一些较复杂的问题，就需要花较大篇幅、较长过程、较多环节来论证这个问题．为了解决这种烦锁的论证过程，数学家们在数学内部，将某些经过证明了的正确结论压缩打包，把它称之为几何定理．把几何定理和上述基本事实、概念定义、运算算理一起，作为证明的依据，这样就可大大减少论证的过程和时间．而这些定理，不是某一个具体论证者随意增加的．它是要在证明这个系统中，起到关键节点联络的作用，才可以约定成固定不变的道理．例如，在三角形中，内角和等于180°，任一外角等于和它不相邻的两内角之和；两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．三角形中仅需要这些，人们在论证任何一个三角形的问题就够用了，而且它还具备了好用、实用的特质．

数学教学的核心应该是数学思维，因而在实际教学中，要通过设计具体的教学活动来说明这个事情，而不是将上述的道理直白地告诉学生．所以，我们提倡教学设计要新颖，便于生长，寓教于乐，使学生的思维更灵动、更活跃、更深刻，使学生参与的数学学习活动更有效．

关于运用本质思维，将简单的问题深刻化，还可以从下列的例子中得到启发．我们在教学过程中，都进行过下面三道题的教学：

在学习绝对值时，让学生解决：已知｜a｜=2，｜b｜=3，求a+b的值.

在学习垂直时，让学生解决：已知∠AOB=30°．画射线OC⊥OA、射线OD⊥OB．求∠COD的值.

在学习过勾股定理后，让学生解决：在△ABC中，AB=14，AC=15，BC=13，点D、E在直线AB上，且AD=AC，BE=BC，求△DCE的面积．

如果我们的教学不止于仅教会学生做这三道题，而是从问题的本质出发，探究这三个问题的关联度和本质化，那么无论是教学的境界、还是学习的内涵，便是另一番风景．

三、运用普适思维，把深刻的思想变得有趣

数学教学的最高境界就是将数学课当成一种文化来传播，这就要求将人类几千年积淀下来的普适文化与数学思维策略、数学文化相融合，让深刻的思想变得有趣，让数学思维、数学素养在日常生活中落地生根，蓬勃生长．

例如，每一年的新年伊始，都能以本年的年号为素材给学生上一节充满思想哲理的第一课．这不仅是对学生进行一次人生教育，也是展现数学思维魅力的有效平台．像去年就可以用年号2017来凸显数学魅力．

首先，它是个“顺子数”．

2017=10+9+8+7+6+5+4+3+2+1+987+654+321.

预示今年事事一帆风顺．

其次，它又是个“番子数”．

2017=73+113+73.

预示今年的努力会事半功倍，得到立方的回报，财富呈现立方增长．

最后，它还是个“完美数”．

2＋0＋1＋7＝10.

预示今年万事如意，十全十美！

2017我们携手一起赢．

像这样的素材，网络上每年都会有许多，我们要注意搜集．

苏霍姆林斯基说：“教师如果不想方设法使学生保持情绪高昂和智力振奋的内心状态，而只是不动情感的脑力劳动，学生就会感到疲倦．处于疲倦状态下的头脑，是很难有效地汲取知识的．”例如，在学习轴对称这一内容时，我们还可以通过魔术表演来让深刻的思想变得有趣．

事先可以将一叠扑克牌打乱，花色朝下，让学生任意抽取一张，让学生记住花色数值，教师看不到，插回打乱洗牌，教师再准确无误地找出该牌．通过几次眼明手快而且准确的猜牌游戏，同学们的好奇心被激发了．咦？怎么弄的？老师很厉害呀……学生们跃跃欲试，急于了解．此时放慢速度，让学生仔细观察，发现老师的“手脚”，原来抽出的扑克牌，放回时被颠倒了！那么牌被颠倒了，会有什么奥秘呢？把那一张抽出的牌，逐一投影给学生看，让学生记住，最后把手上的牌都投影给学生看，让学生说说这些扑克牌都有什么共同的特征？学生在交流讨论中逐渐找到提供的扑克牌的特征，从而揭开谜底．这个过程十分形象地让学生感受到了“观察、发现、探索、归纳”这一抽象的数学思想方法，同时也能感受到数学思维的魅力．

学科教学最本质的内涵就是学科育人，从根本上就在于培育学生的世界观、人生观和价值观以及必备的数学素养．在日常的教育教学工作中，需要我们探索的东西有很多很多．王国维在《人间词话》中指出：“词以境界为最上．有境界则自成高格，自有名句．”同样，生长数学倡导以立意为最上，立意高远则自会育人，自成经典．让我们扬帆生长数学的教育理念，践行生长数学的教学主张，以实现数学教学的核心价值．