思维生长，追求自然与必然——以“分式章首课”教学设计为例

☉江苏省南京市江宁区麒麟初级中学 谢蓓蓓

☉江苏省南京市竹山中学 黄秀旺

“生长数学”倡导根据具体的数学学习内容，顺应学生的思维发展规律实施教学，教师只在必要时对学生进行引导，让学生自然而然地向必然的思维方向生长.这对于每一章节的第1课时的教学设计来说是一个新的挑战.那么，如何在每一章节的第1课时让学生获得知识经验的快速生长呢？笔者是从以下几个方面着手的.

一、概念——注重自然内生

学生要想真正理解并能运用新的知识和经验，首先要对这个新知识的概念有深刻的理解.有的教师会选择直接告诉学生新概念的内容，这种强加给学生、非自然生长出的新知识是没有生命力的.建构主义认为，对于新知识的接受并不单单是把知识直接搬进脑中，而是在已有知识和经验的基础上，通过与外部的相互作用对新知识产生新的理解.也就是说，学习过程并不是简单的知识和经验的积累，而是新经验和旧经验冲突导致发生改变和重组的过程.从这个意义上说，在教学过程中，教师可以把学生的已有知识和经验作为新知识的生长点，引导学生从以往的知识和经验中生长出新的知识和经验.教师可以通过创设学生熟悉的情境或提出学生熟悉的问题，让学生在交流中感受、探究、发现，让新概念自然内生.

比如，在讲解新苏科版八下第十章“分式”第1课时时，笔者了解到在学习分式之前，学生在小学已经学过了分数，在七年级也已经学过了整式，教师完全可以把这些已有的知识和经验作为学生理解分式概念的生长点，让学生自然内生出分式的概念.经过思考，笔者提出了以下问题：

问题1：用代数式表示下列问题：

（1）某工厂有5吨货物，若安排4辆货车一次性将货物运走，那么平均每辆货车能运多少吨货物？

（2）某工厂有a吨货物，若安排4辆货车一次性将货物运走，那么平均每辆货车能运多少吨货物？

（3）某工厂有a吨货物，若安排b辆货车一次性将货物运走，那么平均每辆货车能运多少吨货物？

（4）某工厂有甲、乙两个车间，其中甲车间有a吨货物，乙车间有b吨货物，该工厂共安排4辆货车一次性运走所有货物，那么平均每辆货车能运多少吨货物？

（5）某工厂有a吨货物，原计划安排4辆货车将货物一次性运走，为了提高效率，实际运输时，该工厂又增加了b辆货车，那么实际运输时平均每辆货车能运多少吨货物？

通过问题1，创设情境，让学生列出代数式，为问题2中感悟分数和分式、整式和分式之间的区别和联系做铺垫.

问题2：你能将上述结果中的（进行分类吗？说说你分类的理由.

问题2的分类方法很多，有的学生可能将（1）单独归为一类，因为他认为分子、分母中都不含字母.借此，教师可以引导学生回忆小学时学过的分数的内容，为后面引出分式的名字做准备.有的学生可能将（1）（2）（3）归为一类，因为他认为这三个代数式的分子和分母都是单项式，而（4）（5）中，分子或分母是多项式.此时，教师正好可以追问（1）（2）（3）中哪些是单项式，（4）（5）中哪些是多项式，从而引导学生回忆整式的内容，并发现（3）（5）与整式的不同之处就在于分母中含有字母.这时，教师可顺势根据分母中是否含有字母将（3）（5）分为一类，剩下的整式（1）（2）（4）分为一类.需要注意的是，在学生回答过程中，只要学生讲出合理的理由，教师不应该急于否定学生，而应该顺着学生思维发展的方向，通过适当的问题引导学生感悟分式与整式的区别和联系.

问题3：你能再写出一些和（3）（5）归为一类的代数式吗？你能给这些代数式起个名字吗？

通过问题1和问题2的探索，类比小学分数的形式，学生自然而然就讲出了新概念“分式”的名称.

问题4：你能给分式下个定义吗？

让学生经历从感受到发现再到归纳的过程，最终，引导学生表达出分式的概念：“一般地，形如的式子叫作分式，其中A和B均为整式，B中含有字母”，在原来的知识和经验的基础上生长出“分式”这个新知识，同时，让学生了解“样子+条件”这种下定义的方法.

问题5：你能在下列条件下求出分式的值吗？

（1）a=1；

（2）a=3；

（3）a=-2.

通过问题5，促使学生在计算中感受分式何时有意义、何时值为0，从而加深对分式概念的理解.

二、整体——构建结构框架

“整体”是指由事物的各内在要素相互联系构成的有机统一体及其发展的全过程.在“分式”学习过程中，如果教师能够引导学生利用整体的观点探究数学知识，学生就会有一种“一览众山小”的感受.从这个角度而言，“分式”的第1课时既可以看作本章知识的敲门砖，更可以看作本章知识结构的引领.教师可以直奔“分式”主题，提出“分式”探究性的问题，让学生结合自己的学习经验，将“分式”学习的重点从碎片化的技能训练层面转移到探究学习一个新课题的层面上来.

以“分式”教学为例，教材是将分式的基本性质、分式的运算、分式方程及应用分开来研究，其实这样不利于学生整体思维的构建，所以，笔者在教学“分式”时，改变以往的教学方式，提出了以下问题：

问题6：如果让你来研究分式，你想从哪些方面研究呢？

为了让学生在脑海中对本章内容形成一个整体的框架，笔者提出了一个开放性的问题.对于这个问题，学生最容易联想到的就是分数.那么，教师可以顺着学生的思路，追问学生小学学过分数的哪些方面.学生自然联想到分数的基本性质、加减乘除等运算及相关应用.而学生关于分数各方面的知识和经验就可以作为研究分式的生长点，也便于学生理解研究“式”类问题遵循“概念—性质—运算—应用”的常见套路.所以，对于每一章节的第1课时，笔者希望学生不仅仅满足于完成本节课的教学目标，更应站在宏观的角度上对本章内容有一个整体的把握，要用整体的观点、联系的思想、统领的方法研究新概念，从而形成研究某类问题的套路，这样才能使得学生的思维得到自然生长.

三、类比——促进经验迁移

所谓类比，就是由两个对象的某些相同或相似的性质，推断它们在其他性质上也有可能相同或相似的一种推理形式.“分式”教学过程中，通过类比联想，可以帮助学生在探究中发现问题、提出问题、分析问题、解决问题.生长数学理念强调，一个知识能生长出另一个知识，这两个知识之间一定存在某种联系.在教学“分式”时，可以帮助学生类比分数而获得分式的特性，对已有的知识和经验进行提升和重组，从而得到思维力的生长.

“分式”学习中，学生已经从以往的知识和经验中明确了分式的研究方向.如果要深入下去，还需要将学生引入分式和分数、分式和整式的学习境界中.

问题7：类比分数的基本性质，你能尝试描述分式的基本性质吗？

从分数到分式意味着数到式的变化，教师可引导学生注意区别和表达，最终得到分式的基本性质：分式的分子、分母同时乘以或除以同一个不为零的整式，分式的值不变.同时，教师可再次引导学生说出“和分数的基本性质一样，我们也可以利用分式的基本性质对分式进行约分和通分”.

问题8：学习性质，是为了更好地进行运算，你想如何研究分式的运算呢？

关于分式的加减，学生通过类比分数，能够想到将分式的加减分为同分母和异分母加减两种情况.计算异分母加减时，可通过通分的方法转化为同分母的加减运算.至于分式的乘除，学生联系分数，也不难联想到解决方法.需要注意的是，教师在学生探究的过程中，不仅要引导学生联想分数和分式运算的相同之处，同时要让学生注意它们的不同之处.在进行分式有关运算时，会遇到整式之间的加减，此时就需要使用去括号、合并同类项等计算法则.有时，分式的分子和分母不一定是单项式，也可能是多项式，这时该怎么找出其中的因式，进行通分或约分呢？如果学生难以解决这个问题，教师可引导学生将多项式变成乘积形式，这样才方便看出其中的因式.此时，学生就容易想到应该将多项式进行因式分解.这时，学生的思路就不会仅仅局限于小学的分数，而是将思路上升到“式”这个层次.

问题9：某厂要生产玩具a只，原计划每天生产b只，实际比原来每天多生产了c只，则实际提前_____天完成任务.

通过实际问题，让学生进一步感受学习分式的必要性，以及学习分式的价值.

问题10：我们学习整式时，除了研究整式的概念、性质、运算和应用，还研究了关于整式的什么方面呢？

此问题旨在引导学生联想到整式方程，并类比熟悉的一元一次方程，继续探究分式方程的相关内容.

问题11：你想怎么研究分式方程呢？

从整式的概念、性质、运算和应用类比到分式的概念、性质、运算和应用，这既是一次知识的生长，也是一次经验的生长.再类比这样的研究方法，引导学生从整式方程出发，寻找研究分式方程的生长点，从整式方程的概念、解法和应用再次迁移到分式方程的概念、解法和应用，在生长点中形成生长节，让知识和经验再次生长，思维再次发展.

教学“分式”时，我以整体的眼光构建了本章的知识框架，以类比的方法引导学生自然生成分式的概念，掌握了研究“式”类新知识的方法.学生不仅获得了知识和经验的生长，更重要的是经历了在探究过程中自我完善和优化的思维过程，这些思维过程有力地促进了学生数学思维的生长.