利用分类讨论法解答初中数学问题

☉山东莱芜市雪野旅游区雪野镇中心中学 魏衍彬

纵观国内近几年的中考数学学科试卷，可以发现其中有很大一部分试题考查学生分析和解决问题的思维能力，其中有关分类讨论的数学试题比较多.但是由于部分初中生缺乏分类讨论思想或思维能力不强，使得解题过程中常常出现解题结果不完整，失分比较严重.因此，如何才能强化学生对分类讨论思想的认识和应用是当前初中数学教学的重点.

一、分类讨论法概述

1.分类讨论法及其作用.

分类讨论法的核心在于“分类”和“讨论”，即先根据实际的数学知识将相关问题根据事物性质进行分类，但是需要注意的是，要明确分类的原因和标准，确保可以从事物本质层面对相关问题进行划分，然后在不同分类条件下进行针对性讨论.从本质上来讲，分类讨论法实际上就是一种基于“化整为零，化零为整”的数学方法.作为一种重要的数学解题方法，分类讨论方法是学生解决数学问题的一个重要工具.在初中数学题求解中，强化初中生对于分类讨论法的理解、认识和应用具有重要意义.

2.分类讨论法的规则.

为了确保分类讨论法应用的准确性，确保分类的合理性，必须明确其需要遵从的一些基本规则，具体主要包括如下几个方面：

（1）同一性规则.在对数学题进行分类的过程中，需要按照同一标准和规制来进行，不可在分类时采用不同的几个分类依据和标准进行，否则容易造成错误分类，影响结果的准确性.比如，部分初中生在对三角形进行分类时，主要分成直角三角形、锐角三角形、钝角三角形、等腰三角形和不等边三角形，这种对三角形的分类标准是错误的，主要是由于其中等腰三角形既可以划归到锐角三角形分类中，也可以划归到钝角三角形分类中，或者锐角三角形也可以归到等腰三角形或不等腰三角形分类中.可见，上述这种分类采用了两种不同的分类标准，混乱的划分影响了分类的准确性.

（2）互斥性规则.在对数学问题进行分类的过程中，各个分类的子项之间要保持互斥性或互不相容.换言之，在进行分类后，各个类别中的事物仅归属于该类别，不可再归属于其他分类.例如，某班级总计有10名学生参加了田径和篮球两项比赛，其中7人参加了田径比赛，6人参加了篮球比赛，此时如果将这10人分成田径比赛和篮球比赛两类，就会造成分类错误，这主要是由于其中必然有3人同时参加了两种比赛.

（3）相称性规则.在进行分类的过程中，需要确保划分后子项外延的总和保持与母项外延之间的对等性，即不可在分类的时候，造成部分缺项情况的出现.例如，部分学生在对有理数进行划分时，常常将其分成正、负两个方面，但是这种分类不满足分类的相称性规则，这主要是由于缺少了零这个“项”，使得分类后的子项总和小于原有母项的范畴.

（4）多层次性规则.在对初中数学题进行分类时，有一次和多次分类的差别，其中一次分类主要是被讨论的对象进行一次分类；多次分类则主要是将分类之后的各个子项当作次级母项后，继续进行分类，这种反复的层次分类可以逐步将复杂的问题简单化，直至求解后为止.比如，“二分法”这种分类方法实际上就是一种常见的分类方法，其主要是按照对象有无某性质来进行分类，之后将讨论的各个子项进一步划分，直至最后分类结果可以便捷求解为止.

3.分类讨论法应用的基本步骤.

在初中数学题目求解的过程中，为了确保分类讨论法应用的质量，除了明确分类讨论法的基本分类规则，还要注意明确其基本的应用步骤，确保可以按照同一衡量标准推进分析，做到不遗漏、不重复，增强问题讨论的全面性和系统化.从整体上看，分类讨论法应用的基本步骤主要包括如下几个环节：其一，先明确需要进行分类讨论的对象，确定所要分类讨论对象的取值范围；其二，选择恰当的分类标准和规则，对分类讨论对象进行合理分类；其三，根据不同的分类，进行逐类讨论，求解不同类别下的问题；其四，进行归纳、总结，得出结论，确保讨论的全面性和完善性.需要注意的是，需要充分重视各个分类讨论的步骤，确保分类的全面性和科学性，以及讨论的严谨性和合理性.

二、分类讨论法在初中数学题求解中的应用

1.在含绝对值的数学题求解中的应用.

在初中数学题中，常见的一类题就是带有绝对值符号的题，这时候通常无法直接采用一般的数学方法进行求解，而是需要利用绝对值的定义，将绝对值符号去掉，将其内部项分成正数、负数和零三类分别进行讨论，针对不同的类别采用不同的数学计算方法，确保分类讨论方法应用的质量.

例1化简：|x-2|+|x+3|.

分析：该题是一道典型的考查分类讨论思想的题.由于两个代数式均带有绝对值符号，所以需要考虑x在不同取值条件下，绝对值符号去掉时的对应等式情况，这时必须采用分类讨论法，根据不同的x的取值范围分别进行化简.

解：先根据|x-2|和|x+3|二者来确定x的两个关键边界为-3和2，之后根据这两个边界值来分别进行讨论，具体如下.

假定x≤-3，那么|x-2|+|x+3|=-1-2x；

假定-3

假定x≥2，那么|x-2|+|x+3|=2x+1.

例2 如果|m-n|=n-m，且|m|=4，|n|=3，则（m+n）2=_______.

分析：该题已经给出了取绝对值后参数n和m的大小，由|m-n|=n-m可得出n≥m.这时可以分别对m=±4和n=±3在不同搭配条件下的取值情况进行讨论.

解：当n=3时，参数m的取值必然为-4，此时（m+n）2=1.

当n=-3时，参数m的取值必然为-4，此时（m+n）2=49.

由此可知，该题的正确答案为1或49.

2.在考查数学公式、定理或性质的等数学题求解中的应用.

在初中数学题中，有一部分数学题主要考查数学公式、定理或性质，这时在不同条件下可能会得到不同结果，所以针对考查这些数学公式、定理或性质的题，也需要适当进行分类讨论.具体地，需要依据数学公式的条件进行合理分类讨论.需要注意的是，针对该种涉及数学公式或性质的数学问题的分类讨论，必须充分明确相关数学性质或公式的实际应用条件或限制条件，确保可以在分类讨论时做到严密，避免因为忽视数学公式或性质的应用条件而造成分类讨论时出现错误.

例3已知参数a、b和c满足那么参数k的值为多少？

分析：该题主要考查等比数列的性质.针对该题的求解，必须充分理解等比数列的性质在使用时的一些限制，具体就是要确保a+b+c≠0，但是该题中却没有给出这个条件，所以实际的求解过程中需要对a+b+c≠0和a+b+c=0这两种情况进行分类讨论，否则容易因为考虑不周全而影响最终求解结果的全面性.

解：根据题干信息可得：a=k（b+c），b=k（c+a），c=k（a+b），所以可以变形得到下式：（a+b+c）=k（a+b+c+a+b+c）.

分类二：假定a+b+c=0，那么可知b+c=-a，所以k=

例4已知函数y=ax2+x+1（a为常数）的图像和x轴仅有一个交点，试求参数a的值.

分析：考虑到待求参数a位于关键的位置，其值的选取会决定函数y是一次函数还是二次函数，所以在实际的求解过程中需要对参数a是否为0进行讨论.

解：假定参数a=0，那么该函数为y=x+1，这个函数与x轴的交点为（-1，0）.

假定a≠0，那么函数为二次函数，此时Δ=1-4a.由于函数图像和x轴有且仅有一个交点，所以令Δ等于0，可得此时函数和x轴有一个交点（-2，0）.

3.在已知条件不明确的数学题求解中的应用.

在初中数学题中，涉及许多给定的题干条件信息不明确，或者题目本身表述不太清楚，这时会因条件的不确定而产生不同的求解结果，所以为了确保求解的准确性，要注意采用分类讨论思想进行求解.比如，在平面上任选三个点，最多能确定多少条直线？这时根据选点位置的不同，可以确定为1条或3条，这种就是因为图形位置不确定所引发的需要进行分类讨论的数学问题.实际上，在初中数学众多题中，有一大部分数学问题是因为条件不确定需要进行分类讨论.

例5现在已知某直角三角形的两条边长分别为3和4，试求该三角形第三条边的边长.

分析：该题看似简单，考虑到许多初中生非常熟悉的勾股定理，“勾三股四弦五”，这些学生可能会因为思维定式而将3和4分别确定为直角三角形的两个直角边，这样势必会造成求解结果不全面的问题.

分类一：如果给定的两条边长分别为直角边，那么第三条边长为5；

分类二：如果给定的两条边长一个为斜边4，一个为直角边3，那么第三条边长为

例6已知相交的两圆的半径尺寸分别为4cm和5cm，公共弦长尺寸为6cm，试求这两个相交圆的圆心距.

分析：该题同样无法确定两圆的具体位置.考虑到圆本身的对称性，两个圆的公共弦不仅可以在圆心同旁位置处，也可以处于两圆心之间，所以实际求解过程中需要根据不同的位置进行分类讨论.

解：分类一：如果两个圆的公共弦处于两个圆的圆心之间，那么这两个圆的圆心距为4+

分类二：如果两个圆的公共弦处于两个圆的圆心同旁位置处，那么这两个圆的圆心距为

总之，分类讨论法是初中数学题求解中非常重要的一种解题方法，其可以化解某些比较繁杂的数学问题，降低解题难度.但是为了确保分类讨论法应用的质量，必须立足于数学分类讨论法应用的基本流程，结合数学性质和公式应用条件等合理制定应用方案，确保解题的系统性和全面性.