《墨子》的几何学与图学成就及其科学价值

刘克明



《墨子》的几何学与图学成就及其科学价值

刘克明

(华中科技大学人文学院，湖北 武汉 430074)

《墨子》是我国古代最早论述图学知识、图学思想的科技史著作。《墨子》一书中的论述与记载表明：图形、图样与文字、数字一样，在人类的社会进步和科技发展过程中起着不可替代的作用。对《墨子》的研究，特别是对其图学基本概念与基本理论的探讨及其历史地位；仍是一个有待深入和系统阐明的课题。本文通过考察《墨子》对有关图学理论研究的尝试，探讨中国古代科学技术中的图学实践与图学知识的成果，以及这些图学成果所体现的中国图学传统与科学探索精神。

图样；图学；墨子

《墨子》一书是墨子(约公元前476年—前390年)及其弟子的代表作。《墨子》一书中，“图”字仅出现两次，“图”在书中的意思，并无图学的意义。《墨子》中的“图”字，一是作为动词之用；二是作为名词之用，如“绿图”之图。

《墨子》中的“图”字，尽管没有今天所称之为的“图学”或“图样”的涵义，但《墨子》一书，记载了当时人们对图学知识及其理论研究的尝试，涉及几何学与图学的基本内容，较之先秦文献，确实最为详实。《墨子》包括图学的基本概念有：点、线、面、体的定义及相互逻辑关系，图形空间的比较方法，有穷与无穷的问题，方、圆、直线等几何性质等等。墨子及其弟子，多为工程技术工作者，所以《墨子》中的图学知识、对图学理论研究的探讨，多侧重于工程技术所急需的几何学知识与图学问题。《墨子》中有关图学的内容与论述，极大地丰富了中国古代人们对图形的实践与认识，以及先秦时期中国人对图学知识与理论的看法。

1 墨子时代的几何作图及《墨子》对几何基本概念的论述

《墨子》一书所讨论的图学、几何学基本概念及其定义、对投影的认识，是中国先秦数学理论及其图学理论研究最为精彩的论述。

1.1 墨子时代的几何作图

在科学技术的各门学科之中，图学是一门应用十分广泛的横断学科，其以图形系统来研究和认识客观世界，从构成图的要素来看，图形或图样是由点、线、面、体等几何要素所构成，这些几何要素的不同变化和组合构成了不同的图形。几何作图最能代表人们对几何学的认识。这是因为在工程技术中，常常会遇到大量由点、线、面、体组合的图形。因此，几何作图的基本方法及其技术水平，不仅能提高工程制图的速度和准确性，也能反映每一时代工程制图技术的发展程度；同时，按照已知条件，作出所需要的几何图形，是图学技术、图样绘制必不可少的组成部分，也是表现制图者几何观点和作图技能的重要手段，反映了图样绘制者的逻辑思维能力。

“几何作图”需要考虑点、线、面、体等几何要素。中国古代工程制图师们在长期的几何作图中，总结了很多简便的作图方法。墨子时代的图学成就，以几何作图为例，可见之于1978年夏重出人世的随州战国曾侯乙墓的文物与1986年发掘的包山楚墓文物，这两大古墓都是蕴藏先秦文物的宝库，反映了中国古代图学和几何作图及其绘图技术的成就，反映了当时人们对形体的认识与图绘的技术水平。

在曾侯乙墓和包山楚墓出土文物中，无论是青铜器、漆器，每件文物上面，都绘有各种变化的几何形图案，其集工程几何作图之大成；如等分线段、平行线、对角线、菱线、切线、矩形、圆、同心圆、椭圆、圆弧连接，等分圆周；包括4、5、6、7、8、12、16、20等分圆周，表现了极其熟练和准确的几何作图能力；同时这些几何图案加上鸟兽纹、龙凤纹等装饰纹样的机械重复，使造型更具有几何线条与艺术绘画理智统一的、明快的感觉。漆器的几何图案由点、线、面构成，由圆点纹、菱形纹、三角形纹、网纹、圆圈纹、圆涡纹等组成。其出现于西元前5世纪的战国之际，确实令人叹为观止。

先秦时期在几何作图方面的实践，反映了当时的制图能力，也是制图技术发达的标志。以曾侯乙墓和包山楚墓出土文物为代表，几乎涵括了几何作图技术的各个方面，既有尺规作图，即标准几何作图，又有近似几何作图，即非标准几何作图。尺规作图是用工具；即用规与矩来完成作图，这种作图是无误差及精确的。标准几何或正规作图均属于尺规作图的范筹。近似几何作图是指实际应用较多的图形，如绘制五等分圆周、七等分圆周等几何图形时，用尺规作图是无法实现的；因此，人们往往采取一种基本上近似的作图方法，故称近似几何作图。数学上，这种几何画法是不能用公理、定理等来证明的，而这些几何作图恰恰是曾侯乙墓与包山楚墓出土文物中图形、图案造型中的重要内容，如图1～4所示。曾侯乙几与墨子同时代，为公元前5世纪中期；包山楚墓则在墨子之后[1-3]。

图1 曾侯乙墓出土文物中的几何作图

图2 曾侯乙墓出土文物中的近似几何作图

图3 包山楚墓出土文物中的几何作图

图4 包山楚墓出土文物中的几何作图

1.2 《墨子》对几何基本概念的论述

图形的来源是形，“形是由点、线、面、体等几何要素构成的”。从图学自身发展的历史来考察，人们对图形与图样基本概念的定义，也是不断在发生变化的，并随着人类文明的进步而逐步完善。今天，人们谈论的图形与图样，大多是指能用数学方法描述的图形，其构成了科学与工程技术的基础；图学的核心是几何，图学与几何学是同步发展的科学，图学的历史也是几何的历史，早期的画法几何也是几何的一部分。因此，对图学基本概念；譬之点、线、面、体的定义，往往反映了人们对图学的基本及其认识水平。

《墨子》中关于图学，特别是几何学概念及定义，见之于《经上》、《经下》、《经说上》、《经说下》4篇，凡十九条。《经》所载为定义，《经说》则为对《经》中各条的解释和说明。

1.2.1 《墨子》关于点的定义

《墨子》将点称“端”，其具有数学上几何学“点”的涵义，并具有由点组成线，由线组成面，由面组成体的几何学思想。

《经上》：“端，体之无序而最前者也。”

《经说上》：“体也，若有端。”“端是无同也。”

“端”字在《墨子》、《经》与《经说》中，出现了15次，主要是指几何学上的点而言，是《墨子》有关几何学的基本概念之一。“端”的字义意，其一、相当于几何学中的“点”。其二、为物体的最前端，或直线线段的两极端。这两个字义虽有不同，但互相联系。“序”为“顺序”、“秩序”之义，一个物体与另一个物体依次排列，谓之“有序”。现在“端”是物体最前的一点，不可能有更之前的点，因而“端”是“最前”，不可能次于另一点之后。故《经》言：“端，体之无序而最前者也”。既然是端，其本质就是“点”，根据几何学的定义：点是没有大小，没有厚薄的。因此不可能有两个点处在完全相同的位置，否则其就不是“无序而最前”，就不能成其为“端”。《经说上》言“端是无同也。”《墨子》对“端”的分析和论证，由简至繁，其数学概念，甚为严密。

1.2.2 《墨子》关于线的定义

《墨子》多次讨论直线的性质和直线与其他几何图形的关系。《墨子·法仪》云：“百工为方以矩，为圆以规，直以绳，衡以水，正以悬。”“直以绳”是工程技术中取直的重要方法。治木求直，以拉紧直线作为标准，是古代工匠在工程制造中所取得的关于直线性质的认识，这种认识对直线的感性经验已在逐步地上升到理论形态。

“直以绳”几乎接近于几何学对直线性质的论述，即经过两点有并且只有一条直线；简单地说两个点决定一条直线，在“直以绳”的基础上，《墨子》还提出了直线性质的另一条规律，即《经上》：“直，参也。”

参：《广雅·释言》：参，三也，所谓“参”是数量上的“三”，为数词。《左传·隐公元年》：“先王之制，大都不过三国之一。”杜预注：“三分国城之一。”参且有罗列，并立之意。《后汉书·张衡传》：“参轮可使自转，木雕，犹参独飞。”《论语·卫灵公》：“立，则见其参于前也。在舆则见其倚于衡也。”即言人当前正立车上。几何学中直线的定义是线段向两方无限延伸而形成，一条直线上有无限多个点。

《墨子》用“直，参也”这一简短的关于直线的定义式的命题，对直线的认识是颇有见地的。意同欧几里得(前330年—前275年)所谓“某点介于另两点之间”，确切地说：“同在一直线上的三点，有一点恰好介于其余两点之间。”“直，参也。”也就是说，中正不曲叫直线，“参”是中正不曲的意思。也可以说，三点共线：即为直线，汉代以后“弩机”上的瞄准器“望山”就是据此发明的。

同时《墨子》中用“参”“直”互训。《经下》：“参，直之也。”

《说文》：直，正见也。清代段玉裁《说文解字注》：《左传》曰，正直为正，正曲为直，其引申之义也。见之审则必能矫其枉，故曰正曲为直，直为会意之字。

1.2.3 《墨子》关于平行线的定义

《经上》：“平，同高也。”

《经说上》：“必，谓台执者也：若弟兄。一然者，一不然者，必不必也。是非必也。”

“平”，《诗经·小雅·伐木》郑笺云：“平，齐等也。”，《广韵》：“平，正也。”“台执者”，“犹言二人抬物而各以双手执持也。二人抬物其高必等。”故经说当解释为：“‘平’，所讲的就像弟兄二人共同抬持物体一样，故其高必然相等。”

这里平的定义作为几何学而论，即指平行线。“同高”是指两条线平行，则两线之最短的距离，即垂线——高相等。《墨经》关于平行线的认识，如图5所示。高度1与2相等，那么直线平行于直线。

图5 《墨子》“平，同高也”示意图

1.2.4 《墨子》关于等长线段的定义

《经上》：“同长，以缶相尽也。”

《经说上》：“同，楗舆狂之同长也。”

《墨子》中的“缶”字，即“正”字，这是对两线段相等的定义，“缶相尽”即“正相尽”，是说两线段正好重合的意思。

1.2.5 《墨子》关于面的定义

《经上》：“有间，中也。”

《经说上》：“有间，谓夹之者也。”

《经上》：“间，不及旁也。”

《经说上》：“间，谓夹者也。尺，前于区穴，而后于端，不夹于端与区内。”

“间”者，即今“间”字。间者，所间也。有间者，能间也。惟点无间，线、面、体皆有间，凡形之可分析者皆有间。“区”者，如几何学所称之面，有长有宽，成一界域，故谓之区。先有点而后有线，先有线而后有面，故曰：“尺前于区而后于端”。尺既在端前区后，则似尺在端与区之间；而其实不然，盖“间”之义并非如此。《经说》又举“尺不夹于端与区间”作为反证。

1.2.6 《墨子》关于圆的定义

《墨子》中，写圆为圜。《周礼·冬官考工记》：“舆人为车，圜者中规，方者中矩。”“规之以视其圜也。”《汉书·梅福传》：“昔高祖纳善若不及，从谏若转圜。”注：“与圆同。”段玉裁《说文解字注》：“依许则言天当作圜。言平㘣当作㘣。言浑圆当作圆。”

《经上》：“圜，一中同长也。”

《经说上》：“圜，规写攴也。”

《经上》：“中，同长也。”

《经说上》：“心中，自是往相若也。”

以上是关于圆的定义及其性质的研究，“一中”，是指圆有一个圆心，“一中同长”是说到一个中心有相等距离的点所构成的图形。

根据几何对圆的定义，即平面内到定点的距离等于定长的点的集合，定点为圆心，定长为圆的半径，设为一圆，为圆心，则，，，各线俱等，故《墨子》以“心”为喻，“自是往者”自中心而往。故自圆心至圆之半径必相等，故曰“相若”。

“圆，一中同长”即讨论圆的几何性质，由圆的定义，可知圆的几何性质，即圆上各点到圆心的距离都等于定长半径。到圆心的距离等于定长的点都在圆上。故曰“一中同长。”如图为圆。为圆心，过作，两线，其中必与同长。《玉篇》：“规，正圆之器也。”“规写交攴”即今几何学所称之为作图，如图6~7所示。

图6 《墨子》“圜，一中同长也”示意图

图7 《墨子》“圜，规写攴也”示意图

墨子及弟子从事技术工作，精通手工技艺，可与当时的巧匠鲁班相比；他们从生产实践以及传闻和亲闻中，得到了“为圆以规”的经验知识，并“循所闻而得其义”，抽象出了“圆，一中同长也”的认识，并以此为法则，“量度天下之圆与不圆”，“曰中吾规者谓之圆，不中吾规者谓之不圆。是以圆与不圆，皆可得而知也”。由是观之，墨子关于圆的认识，就较前人的认识前进了一大步。

1.2.7 《墨子》关于矩形的定义

《经上》：“方，柱隅四讙也。”

《经说上》：“方，矩见攴也。”

这里关于正方形和矩形的定义。柱隅之柱，即方之边，隅为方之角。四讙即四权，方之四柱皆正边。四隅皆为直角。如图，，，四柱，皆为正边，∠，∠，∠，∠为四隅，皆为直角，故云：“柱隅四讙也。”《墨子》“天志”中亦有：“中吾矩者谓之方，不中吾矩谓之不方，是以方与不方，皆可得而知之。”

唐人杨倞《荀子·不苟》注：“矩，正方之器也。”写有画意。以矩画方，其四边相接且互相垂直。《周髀算经》卷上“圆出于方，方出于矩，”汉赵爽(约182—250年)注述：圆规之数，理之以方，方；周匝也。方正之物，出之以矩；矩，广长也。”如正方形，其中、二线相交于。，二线相交于。推之两点，同样以两线相交，故云：“矩写攴也”。《墨子》中关于矩形的定义，如图8所示。

图8 《墨子》“方，柱隅四讙也”示意图

1.2.8 《墨子》关于体的定义

《经上》：“厚，有所大也。”

《经说上》：“厚，惟无所大。”

《说文》：“厚，山陵之厚也。垕：古文厚，从后土。”按后土即谓大地。大地山陵，形成立体，故此厚系指立体形。

设与为二平面形，连结与二平面，使成一正方立体形，而任一边可以扩大为此正方立体形之厚，故与《经上》所云：“有所大”，盖所谓厚者即为所积之体故也。《墨子》中关于体的定义，如图9所示。

图9 《墨子》“厚，有所大”示意图

关于体的定义及其性质，《墨子》亦有所论述。

《经上》：“体，分于兼也。”

《经说上》：“体，若二之一，尺之端也。”

《墨子》以端为譬，详释“体”义。说明“体”和“兼”的区别及其关系，也就是给“体”作了定义。“盖并众体则为兼，分之则为体。”“体”为个体，就是部分。“兼”是部分之合。“体”和“兼”的关系就是部分和整体的关系。所以《经上》言：“体，分于兼也。”《经说上》举例，以明经意。“体，若二之一，尺之端也。”尺，即几何学所谓的线，“尺之端”者，线之点也，“若二之一”中的“二”是两个“一”合并，“线”是许多“点”集合，也是“兼”与“体”的关系的例证。《墨子》只说“体分于兼”不说体分于全，颇具特色。“一”是“二”的部分，但“二”并不是全体。“点”是“线”的部分，但不能说“线”就是全体。空间和时间是无限的，所谓“全体”，只可能有相对的意义[4-5]。

《墨子》中有关几何等概念的命题与定义，称点为端，称线为尺，称面为区，界内部分为间，形体的界为有间等是，墨子用端、尺、区的概念，即从点、线、面、体的角度来理解空间物体存在的形状。蕴涵了图形问题几何化，复杂问题简单化的思想！这与今天的工程图学、计算机图形学、计算机图像学等学科在理解“图形学与可视化”、“视觉与图像”、“几何设计与计算”所作的表述方法，是完全一致的。《墨子》从“形”的几何学的角度揭示图的本质，给出了“形”与“图”的科学表述。

2 《墨子》对投影理论的论述

确实，《墨子》中《经上》、《经说上》、《经下》、《经说下》所论几何学的概念，并不是打算用演绎推理的办法去证明任何几何定理，而是探讨投影几何与测量有关的事实；这在墨子的图学思想与理论中表现得十分明显。这是因为在人类文明历史的进程中，图学一直是人们认识自然，表达、交流思想的主要形式与工具。从象形文字的产生到现代科学技术的发展，人类的活动始终与图学有着密切的联系[6]。图学的重要性可以说是其他任何表达方式所不能替代的。而图学要解决的问题包括图示法和图解法两部分内容。图示法主要研究用投影法将空间几何元素——点、线、面的相对位置及几何形体的形状表示在图纸平面上，同时必须可以根据平面上的图形完整无误地推断出空间表达对象的原形。即是要在二维平面图形与空间三维形体之间建立起一一对应的关系。

投影法的基本概念；一是要有光线，二是要有被投影的物体，三是要有投影所在的平面。此三者就构成投影的基本条件。当人们将物体放在光源和预设的平面之间时，在该平面上便呈现出物体的影像。如果将这种自然现象加以几何抽象，就可得到投影方法。

现代图学理论的投影原理示意图，如图10所示，设定平面为投影面，不属于投影面的定点。(如光源)为投射中心，投射线均由投射中心发出。通过空间点的投射线与投影面相交于点，则称为空间点在投影面上的投影。

这种按几何法则将空间物体表示在平面上的方法称为投影法。投影法是图学的基本理论[7]。

《墨子》论投影的理论，见之于“经”、“经说”所论光学部分。共有八条，总字数343字，《墨子》论及图学部分，共计二十余条。光学八条者。首条论述阴影的定义与生成，其次解释光与影的关系，而尝试论述光有直线运动之性质。第三条则论述光具有直线运动之性质。

图10 现代图学理论中投影原理的基本概念示意图

2.1 对投影几何基本概念的认识

投影几何是现代图学最为重要的基础，投影几何的方法就是将三维空间的几何图形画在二维的平面上、解决空间几何问题，是制图技术的出发点，《墨子》中对投影几何的认识，见《经下》及其《经说下》：

《经下》：“景不徙，说在改为。”

《经说下》：“景，光至，景亡。若在，尽古息。”

《墨子》在此论述了运动中的物体与其投影的物理性质。“景”字在《墨子》中出现三十六次，除“景公”是人名，出现四次外，其他都与论及的图学、光学诸条相关，并屡屡出现于《经下》、《经说下》之中。《墨子》中“景”义有三。

其一：解释为光。如《說文解字》：“日光也”，如同投影几何中的投影中心。

其二：即物体蔽住光线所成之阴影。《釋文》，景本或作影。如《经典释文》“尔雅音义”：“景，境也。明所照处有境限也”。物之阴影。《說文解字》：“名光中之阴曰：影。”景，为古影字。已見高誘淮南子註，宋郭忠恕《佩觿卷上》：“形景”，“爲影”，“本乎稚川”。

其三：为光由反射面所反射而成之图形、图像。段玉裁《說文解字注》：“左傳曰。光者远而自他有燿者也。日月皆外光。而光所在處物皆有阴。光如鏡故謂之景。”

此三者已阐明投影理论的三大要素，①光，即投影中心；②投影物体；③投影，物体的投影。墨子所论与现代投影几何理论的思想方法是一致的。

由是可知，《经下》：“景不徙，说在改为。”及《经说下》的“景”俱训作第二义，即物体遮蔽光线所成的投影。而“为”，段玉裁《说文解字注》云：“凡有所变化，曰为。”《尔雅》“释言”：“作造为也。”“改为”者，光源运动、或物体运动之意。

因此，《经下》此文可释为：影不徙；若改徙，其故在光源或被投影的物体之间有移动。《经说下》：“景，光至，景亡。”一语，宜作“被投影物体遮蔽光线所成之阴影”之义。投影是因物体遮蔽了投射到地面或屏上的光线而形成的。当物体运动时，若前一瞬间的光被遮住出现投影的地方，后一瞬间就被光所照射，投影便消失了。若新出现的影子是在后一瞬间光被遮住的地方出现的，已经不是前一瞬间的投影。因此，墨子说：“景不徙。”如果物体运动后原先的投影不消失，就会永远存在于那个地方，即“尽古息”，那是难以想象的。那么，为什么投影又似乎随着物体而运动呢？这是因为物体的运动在时间和空间中表现是连续的，前后瞬间的投影也是随之连续不断地更新的，即“改为”，因此，看起来就仿佛影子随着物体在运动。墨子关于“景不徙”的论述，反映了墨子观察的敏锐，见解的准确，理论的独到。

《墨子》在论述了光源与投影物体之间的物理性质之后，接着论述了光源、投影物体与物体的投影三者之间的关系。

《经下》：“景二。说在重。”

《经说下》：“景二，光夹。一，光一。光者，景也。”

此条所及，进一步论述了光线与成影之间的关系，较上条更进了一步。“一”，谓光线唯一，《经说下》末句：“光者，景也”，此景字如“景不徙，说在改为”，解释为光义。此条亦在论述光源、物体以及投影三者地位与关系，略具一斑，而对于认识光为直线的观念，亦可其端绪。

2.2 《经》、《经说》论述投影几何的性质

毋庸置疑，《墨子》所论投影几何的基本概念与现代投影理论的思想方法是一致的。今天，人们在研究物体的形状、大小及相对位置等几何性质时，是用光线照射物体，在某个平面；如地面、墙壁等上得到的影子叫做物体的投影(projection)，照射光线叫做投影线，投影所在的平面叫做投影面。有时光线是一组互相平行的射线，例如太阳光或探照灯光的一束光中的光线。由平行光线形成的投影是平行投影(parallel projection)，由同一点(点光源发出的光线)形成的投影叫做中心投影(center projection)。投影线垂直于投影面产生的投影叫做正投影。投影线不垂直于投影面产生的投影叫做斜投影。物体投影的形状、大小与其相对投影面的位置和角度有关。阴影理论是假定在光线的照射下，平面上有一部分因被物体阻挡，光线照射不到，则将这部分图形，称为物体落在平面上的影。影在轮廓线为影线，影是由于光线被物体向光的一面挡住而产生的，因此，面向光的一面与背向光的一面的分界线的影，就是影的轮廓线。无论是阴影，或是投影，都必须具备光源，及被投影的物体和投影所在的平面。《墨子》论述投影物体与投影光源——即投影中心的关系，以及投影空间位置、大小、及其实验的结果，如《经下》及《经说下》所云。

《经下》云：“景之小大，说在地缶远近。”

《经说下》云：“景：木柂，景短、大；木正，景长小。大小于木，则景大于木。非独小也。远近。”

“木”即木表或标木，用以作实验以成像的物体。孙诒让(1848—1908年)《墨子閒诂》解释：“地”当为“柂”，柂即迤之假字。“柂”“正”文正相对。《尔雅·释训》，“迤逦，旁行也。”毕沅(1730—1797年)云：“木柂即木斜也”。“说在地缶远近”中的“缶”字，亦“正”字之误。《墨子》在此阐述了光源与物体的位置关系，从而决定投影之大小的原理及其规律；即视点与物体的位置变化，确定被投影的物体在投影面上的形状。

《经下》云：“景之小大”，言投影之短长。与《经说下》中的“景短大”、“影长小”之“短”“长”两字相应。“光小于木”者，光之形体小于木也。景大于木者，即投影之形状大于木也。最后的“小”字与“光小于木”之“小”字同义。“经说下”之“非独小木”，景亦大于木。“远近”为“木远，景短大；木近，景长小”。木远，木近者，木远于或近于光的位置。远则小，近则大。木正者，在与地垂直平面中，木与光线成正交。木柂者，不同于木正之方向。

《墨子》中这条原理可用数学予以证明：设光源自定点方向，投射于地平面上，与地平线成夹角。木竿以为中心，在平面中转动，画成一半圆形如12，木竿之投影，即在上长短变化。设木竿与地平面所成之角为，则其在上的投影为。如图11所示。

图11 《墨子》投影理论的数学原理

∵Ð=ЖÐ=–

Ð=Ð=–，即平行线间的内错角相等。

三角形内角和为p

∴Ð=p–ЖÐ=p–(–)–=p–

∴代入式(1)，得

以上所述实验，与《墨子》中“柂，短；正长”的论述，适相吻合。

有光源如，其形体小于木竿，如图12所示，置投影面于其后，则得投影为ˊˊ恒较实物为大，故曰“光小于木，景大于木”。反之，若光源大于木竿，如图13所示，则投影面上所得之投影ˊˊ亦大于木竿，虽其本影小于CD。若投影面愈向后移，则本影亦可大于。故曰“光大于木，景亦大于木”[8]。

图12 《墨子》“光小于木，景大于木”示意图

图13 《墨子》“光大于木，景亦大于木”示意图

在以上的论述中，不论小于或大于，投影面与光源间之距离若一定，则愈远于，投影ˊˊ愈短；故半影ˊˊ部分愈小，即影色愈深。反之，愈近于，则投影ˊˊ愈长，而半影ˊˊ部分愈大，即影色愈浅。故曰：“木柂，影短大；木近，景长小”。

《经说下》云：“大小于木，则景大于木。非独小也。远近”中的“远近”二字亦为省略句，该句意为：“远近亦同。”若将该句补充完整，当为：“光木远，则景小；光木近，则景大。”意即：“光源与标木距离远，则所成之像小；光源与标木距离近，则所成之像大。”可知，墨子的阐述，是建立在视点与投影物体、投影面相应的比例关系之上，《墨子》论中心投影及其性质，见表1[9]。

表1 《墨子》论中心投影及其性质

由是观之，墨子对投影几何的论述，已涉及视点与物体的位置变化确定被物体在投影面上的形状——这一原理及其规律。《经下》与《经说下》前部分，讲标木斜正与成像大小的关系；中间部分，讲光源大小与成像大小的关系；后部分，讲光源和物体——标木距离的远近与成像大小的关系，前后内容非常统一。“景之小大，说在地缶远近”，基于平行投影，用平行光束来说明投影关系，太阳光为天然平行光束之光源，平行投影是在一束平行光线照射下形成的投影。“木柂，景短大；木正，景长小。”讲的是中心投影，有一光源和一个物体，光源是以分散的方式照射到物体上的投影，这就是中心投影的原理。

故本条《经说下》之意为：标木倾斜，则所成之投影短而浓宽；标木正立，则所成之投影长而淡窄。光源小于标木，那么所成的投影就大于标木本身；但是，光源不会独独小于标木，如果光源大于标木，那么所成的投影就小于标木本身。光源与标木距离远，则所成之投影小；光源与标木距离近，则所成之投影大。

《墨子》中论及投影的生成，为光学诸条之首，且开宗明义，投影之定义，光源与投影的关系，浅显明了，与现代投影理论中投影形成的三条件，正相吻合。尽管《墨子》中未及图解法来解决空间几何图形的作图问题，但其所囊括了投影几何以及画法最基本的概念，是《墨子》那个时代对投影理论认识成果的反映。

3 《墨子》中有关制图工具的记载

图与图样是语言以外最重要的传递信息的方式，图学作为工程技术的基础语言，可投射人们的想象于真实世界，也就是说图与图样可将工程师的想象，实现于真实世界里。而实现这一过程的关键就是制图，而在制图的过程中，常用的绘图工具是保证绘图准确性的基础，也是衡量绘图水平的重要方面。正确地使用绘图工具是工程技术人员必须具备的基本技能，也是学习和巩固制图学理论知识的重要方法。在图学发展的历史上，无论东方还是西方，都是如此。

《墨子》中有关古代绘图工具的“规”与“矩”，记载详实，出现频率较高，这在先秦文献中，是不多见的。虽《墨子》的文字，人称难读，但论及其“规”与“矩”，条理严密，逻辑性强；其书中，“规”字共十一见，“矩”字共十见：俱出现于“法仪”、“天志”、“经说”诸篇之中。其云：

《墨子·法仪》第四，子墨子曰：“天下从事者不可以无法仪，无法仪而其事能成者无有也。虽至士之为将相者，皆有法，虽至百工从事者，亦皆有法，百工为方以矩，为圆以规，直以绳，正以县。”

《墨子·天志上》第二十六，子墨子言曰：“我有天志，譬若轮人之有规，匠人之有矩，轮匠执其规矩，以度天下之方圜，曰：‘中者是也，不中者非也。’今天下之士君子之书，不可胜载，言语不可尽计，上说诸侯，下说列士，其于仁义则大相远也。”

《墨子·天志中》第二十七：“是故子墨子之有天之，辟人无以异乎轮人之有规，匠人之有矩也。今夫轮人操其规，将以量度天下之圜与不圜也，曰：‘中吾规者，谓之圜；不中吾规者，谓之不圜。’是故圜与不圜，皆可得而知也。此其故何？则圜法明也。匠人亦操其矩，将以量度天下之方与不方也，曰：‘中吾矩者，谓之方；不中吾矩者，谓之不方。’是以方与不方，皆可得而知之。此其故何？则方法明也。”

《墨子·天志中》第二十八：“故子墨子置立天之以为仪法，若轮人之有规，匠人之有矩也。今轮人以规，匠人以矩，以此知方圜之别矣。是故子墨子置立天之，以为仪法。”

《墨子·经说上》第四十二：“圜：规写支也。”

《墨子·经说上》第四十二：“法：意、规、员三也，俱可以为法。”

《墨子·经说上》第四十二：“方：矩见支也。”

由兹可知，《墨子》所载“规”、“矩”，其意有二：其一、作为绘图的工具“规”。其二、“矩”与作为规范与标准的“规”与“矩”。

3.1 作为绘图的工具“规”与“矩”

作为绘图工具的“规”与“矩”，在先秦时期已经是人所周知的制图工具，墨子所云“中吾规者，谓之圜；不中吾规者，谓之不圜”，“为方以矩，为圆以规，直以绳，正以县”，反映了当时使用绘图工具的事实。

在几何里，被限定用直尺和圆规画图，称为尺规作图，最基本、最常用的尺规作图，称基本作图。由于只用几种基本尺规作图的方法就可完成一大类图形的制作，也就是说以形为核心，综合地、巧妙地融合几何、数学进行平面几何作图的问题，故最能将各学科的长处融合在一起，尺规作图的画法本质上是一种“形计算”。因此，尺规作图能够反映一个时代几何发展水平。

《墨子》同时代的曾侯乙墓中出土文物的几何作图，足以代表墨子同时代尺规作图的高度成就；曾侯乙器物中的尺规作图，不仅有严格的标准几何作图，而且还有大量的非标准几何作图，如五等分圆周的近似几何作图，其绘制之精，画法之严，线条之准；即使二千五百年以后观之，仍令人叹为观止！这是比曾侯乙晚一百多年的古希腊尺规作图远远所不能企及的。纵览古今，对比中西，至今都没有看到古希腊时期有象曾侯乙墓那样的近似几何作图与非标准几何作图。

3.2 作为规范与标准的“规”与“矩”

作为规范与标准的“规”与“矩”。如《天志》诸篇之中，《墨子》不仅详细地论述了古代作图工具——“规”与“矩”，以及用“规”与“矩”测圆与不圆、方与不方的事实。而且以规矩之用，比喻标准法度，以喻“为政之道”、“为事之法”、“为人之仪”；这在西方的科技文献中是不多见的。

即令是科学技术日益发达的今天，任何研究项目、施工工程，也是没有规矩，不成方圆的。《墨子》在强调规矩所云：“天下从事者不可以无法仪，无法仪而其事能成者无有也”，如同今日强化图绘标准化建设的重要性一样。图和图样作为科学、工程、艺术等的交流语言，一种传递构想与交换知识的工具，需要遵循一定的规范与标准。图形标准化支持人类创意的交流，其出自学科创新，又不断地促进学科创新，也作为图学的成果及共享展现，因此，“其于仁义则大相远也。”这也是为什么《墨子》成为古代绘图技术重要文献之一的原因所在。

4 结束语

(1)《墨子》中图学的内容，表现了中国古代科学技术重视几何学、图学的学术传统，《墨子》在图学方面的实践及其对图学理论研究的尝试，反映了中国人的科学探索精神。今天，即令是计算机的介入，图与图样作为工程技术语言的地位，并没有改变，乃至制图、读图、图纸的信息共享等的理论、方法与技术，现在仍需要图学去承担。因此，《墨子》在图学方面表现出的智慧与成就，仍然值得今人借鉴。梁启超[10](1873—1929年)在《墨经校释·自序》中称：“在吾国古籍中，欲求与今世所谓科学精神相悬契者，《墨经》而已矣，《墨经》而已矣”；绝非虚言。

(2) 从《墨子》的图学实践以及图学理论可以看出：墨子及其学派研究几何学的概念，并不是打算用演绎推理的办法去证明任何几何定理，而是探讨投影几何与测量有关的事实；这种思想方法一直影响着中国的文化与科技的发展。然而，中国古代的图学及其绘制技术；没有《墨子》所代表的古代图学家们对几何学、投影几何学的认识及其理论的积淀，要取得这些图学成果，同样也是不可能的。

(3) 学术研究追求学术的发展与超越。对《墨子》图学的考察，可以重新认识与定位图学的历史地位及其作用。《墨子》作为先秦时期墨家学派的一部著作汇集，不仅有相当一部分论述自然科学和生产技术的内容，譬之力学、几何学、数学、光学、测量学等方面，这些专业理论知识，“自相挹注”，都有具体的论述和科学的总结。《墨子》一书中，关于图学及其基本理论的内容，其文字虽简赅，其词语古虽奥，但《墨子》中记载的这些文字，毕竟是对古代图学实践的理论探索，实是先秦文献中所没有的，同时，也是同时期西方科技文献中没有的。这也使《墨子》成为中国文化典籍中第一部科学史、第一部技术思想史、乃至第一部图学史的著作而当之无愧。

[1] 湖北省博物馆, 北京工艺美术研究所. 战国曾侯乙墓出土文物图案选[M]. 武汉: 长江文艺出版社, 1984: 15-59, 87-89.

[2] 湖北省博物馆.曾侯乙墓[M]. 北京: 文物出版社, 1989: 167-175, 329-330.

[3] 湖北省荆沙考古队. 包山楚墓[M]. 北京: 文物出版社, 1991: 64, 112, 194.

[4] 谭戒甫. 《新编诸子集成》墨辩发微(第一辑)[M]. 北京: 中华书局, 1976: 136-144.

[5] 孙诒让. 墨子后语上, 载《墨子閒诂》, 《诸子集成》(第四辑)[M]. 北京: 中华书局, 1954: 13-21.

[6] 李约瑟. 《中国科学技术史》(第三卷): 数学[M]. 北京: 科学出版社, 1978: 201-214.

[7] 张世钧等编译. 投影几何学[M]. 沈阳: 东北教育出版社, 1951: 6-36.

[8] 钱临照: 释墨经中光学力学诸条。载方励之主编:科学史论集[M]. 合肥: 中国科学技术大学出版社, 1987: 1-36.

[9] 徐希燕. 墨学研究[M]. 北京: 商务印书馆, 2001: 187-189.

[10] 梁启超. 墨经校释[M]. 北京: 商务印书馆, 1922: 1-3.

The Achievements and Scientific Value of Mo-Tse in the Theory of Graphics and Geometry

LIU Keming

(School of Humanities, Huazhong University of Science and Technology, Wuhan Hubei 430074, China)

“Mo-tse” is the first systematic exposition of the theory of knowledge and science and technology in the history of science and technology in ancient China. “Mo-tse” records show that: drawings, drawings and words and figures play an irreplaceable role on the human social progress and the development of science and technology. However, it is still a subject that needs to be deeply and systematically to discuss “Mo-tse”, especially for the definition and status of the graph and descriptive geometry theory. Through the investigation of “Mo-tse” about basic concept and theories on graphics, this article summarized graphics mapping in practice and theories, and reflect the scientific exploration spirit.

drawing; graph theory; Mo-tse

O 110.11

10.11996/JG.j.2095-302X.2018010148

A

2095-302X(2018)01-0148-11

2017-04-19；

2017-07-10

华中科技大学文科专项基金项目

刘克明(1950–)，男，湖北武汉人，工学博士。主要研究方向为中国科技史、中国图学史。E-mail：liukeming@ hust.edu.cn