画法几何新解

何援军

画法几何新解

何援军

(上海交通大学计算机系，上海 200240)

从几何学的角度重新认识画法几何，结合计算化需求，梳理画法几何的理论体系。首先，以新的视角，分析画法几何教材在表述上的一些问题；其次，揭示了投影、2D/3D对应和尺规作图以及轴测图、阴影与透视等理论的本质；并讨论上述理论的计算化问题，给出了画法几何在理论与应用方面进一步发展的设想。

几何；图学；画法几何；投影

这是论述大“图学”学科的第7篇文章[1-6]，讨论工程图学的理论基础画法几何的一些问题。工程图学是图学中唯一一个被列入二级学科的工程与技术科学基础学科，许多制图教师在这个学科下积极推进理论与实践、教学与工程的结合与发展[7-12]。工程图学的教材与教学面对一个新的现实是计算机的介入改变了原先的制图工具，使得尺规工具的作用在降低，应用范围在缩减。制图过程中人的思维与计算机图形软件两个终端的直接连接使工程图学处于一个尴尬境地。但是，这并不意味着要抛弃手工制图以及识图的一些基本训练。通常，初始的构想与设计是从人的手画草图开始的，例如建筑草图设计需要娴熟的运用透视原理，机械的三视图读图训练等仍为必须，这些都离不开手工制图。而且，图纸作为工程语言的地位并没有改变，制图、读图、图纸的信息共享等理论、方法与技术仍需要工程图学去承担。

在工程图学界也有不少人认为，由于计算机科学和计算技术的飞速发展，现在讨论画法几何已经没有什么价值。画法几何正在被边缘化，这是很不正常的。本文立足于画法几何研究的基本对象也是几何的认识，梳理画法几何的理论体系，试图从一个新的视角，分析画法几何在表述上的一些问题，给出其发展和进一步应用的一些设想。

1 画法几何

早在1103年，中国宋代李诫所著《营造法式》中的建筑图基本上符合几何规则，但在当时尚未形成画法的理论。在画家的写生过程中，物体的长度与角度已被扭曲，其弄歪的程度与方式可是被描述的各物体间的相对位置，原物的几何结构仍可见于画布上。这主要是因为一个“在射影下不变的”几何性质存在，这些性质在像上仍然不变，因而使人们能认识原物。投影几何学的原始动机是帮助画家，其发展的目的是要发现并解析这些不变性。

画法几何(投影几何)本是几何的一个分支，其研究的基本对象也是几何，属于研究形的科学[13-16]。17世纪一些几何学家将其方法与结论视为欧几里德几何学的一部分，直到1799年法国几何学家蒙日(Gaspard Monge，1746-1818年)非数学地阐述了投影理论，使画法几何(descriptive geometry)成为一门独立学科，19世纪更发展出投影几何(projective geometry)，使这些方法与结论被发展为另一支几何学，只是其结论与所用的方法更偏重于几何化。但当时流行的是“以代数方法处理几何问题，即坐标几何”[14]，真正的几何则偏重于解析方法。而投影几何是以综合法得到一些定性的关系，所以在对代数与微积分的偏爱下而失宠。因此还原历史，应该回归画法几何的几何学地位。

1.1 画法几何的基本理论

“非数学地阐述了投影理论”，意味着其与当时“几何代数化”的解析法主流的区别，是一种图解化方法，descriptive geometry翻译成画法几何很确切。图解化，从数学的观点就是几何化。

画法几何以“正投影”理论为基础，通过投影将空间物体转换成平面图形，引导人们在平面上去描述、去虚构三维物体，解读三维空间。由于维数的降低导致信息的缺失而需要多个视图表述三维物体，引发“2D/3D对应”理论的出现，其是将三维物体表达成视图，而又将视图还原成三维物体的理论基础。三维物体化为平面问题以后，平面图形基本上只要考虑点、线、圆等基本几何元素了，这导致“尺规作图”方法的诞生，即由几种基本的作图方法就可作出大部分平面图形。

1.2 画法几何的核心思想

画法几何的基本理论至少可从投影理论、2D/3D对应理论及尺规作图的3方面解读。前两者的核心是降维处理，后者是几何问题几何化。与数学上几何理论的不同在于，几何是基于笛卡尔的“几何代数化”而采用解析化求解，而画法几何仍基于几何解法。

以前对画法几何的计算机化的研究似乎缺少对这一思想的认识，不是将画法几何定位为几何的一个分支，在教材和教学中不重视对画法几何最核心的几何思想的阐述和几何化方法的运用，不是从几何空间整体的角度入手，而是将对投影理论的研究变成对投影过程的模仿，过于追求投影作图步骤的计算机模拟，就事论事地讨论投影作图问题、三视图问题等等。在制图的计算化过程中又往往追求作图的自动化，方法上将尺规作图看作是对手工作图过程的模拟，这样，很难发挥人的空间思维优势，也没有从“降维”与“几何化”这两个核心思想上去做深度的研究与开发，这是很可惜的。

2 正投影

通过物体的投射线向选定的面投射且在该面上得到图形的方法叫投影法，根据投影法所得到的图形叫投影(图)。如果投射线与投影面垂直，就是正投影法，得到的是正投影[17-20]。

2.1 投影体系

画法几何采用投影的方法在平面上表示三维物体，但是不能用单个视图描述一个空间物体，画法几何建立了独特的投影体系，用多个投影去描述一个空间物体。

画法几何投影体系用3个互相垂直的空间平面，并将空间分成8个部分，称为8个分角。我国制图国家标准(GB/T14692-2008和GB/T13361-2012)规定采用第一分角作为投影体系(图1)。第一分角投影体系正立的投影面简称为正面，用标记；侧立的投影面简称为侧面，用标记；将水平放置的投影面称为水平面，用标记。、和3个面两两互相垂直，其交线、和为投影轴，如果在三投影轴标出尺寸，那么三投影面体系就可构成一个空间直角坐标系，3个投影轴相当于3个坐标轴，三轴交点称为原点。

第一分角投影体系简称E法，俄、英、德、法均采用E法，而美、日、加拿大和澳大利亚等则采用第三分角投影体系，简称A法。第三角画法的俯、仰、左、右视图靠近主视图的一边(里边)，均表示物体的前面，远离近主视图的一边(外边)，均表示物体的后面，与第一角画法的“外前，里后”正好相反(图2)。从外前、里后对应的角度讲，似乎A法更合乎人的感觉。

不管采用第一分角还是第三分角，以三面投影体系为主构筑正投影体系，在平面上表示空间物体就是正投影体系，在这三个正投影面上投影可从三个角度分别准确反映形体的形状和大小。

图1 第一分角投影体系

图2 第三角画法与第一角画法的主要区别——视图配置不同

2.2 三视图

画法几何投影体系主要体现的是三视图。将空间物体投射到、和面上表示物体，并通过物体在、和面上的投影解读空间物体的方法就是三视图理论。三视图理论和实践已十分成熟，在工程上应用相当广泛。

因为只能在平面上绘制图形，需要将3个投影面放置在同一个平面上，于是将平面绕轴往下旋转90°，平面绕轴逆时针旋转90°(图3(a))，这样，、和面3个空间平面将落在同一个平面上，就得到三面投影图，即所谓的三视图(图3(b))。

图3 三面投影与三视图

按这个规则布置、和面，将三面投影表现在同一平面的三视图上，其中，面与面共轴，面与面共轴，通过原点45o线的对称，面与面可共享轴，这样形成的三视图正投影体系，三面投影满足“长对正、高平齐、宽相等”的所谓“三等关系”规律，这个三等关系弥补了将空间轴一分为二的缺陷。在两个视图上分别得到点的2个坐标，就可合成点的空间坐标，也为通过投影进行空间几何降维计算提供了可能性和理论基础。

三视图是通过人为旋转形成的。画法几何基于手工作图求解，所以借三视图对准。从几何的角度，则是三个独立的平面，只是其用了共原点而不同坐标轴的坐标系。画法几何中的三面投影体系转换成笛卡尔直角坐标系，则投影面、、相当于坐标面。正投影图的最大优点就是表达准确、作图简便、度量性好。

2.3 点的正投影[17-20]

任何形体的构成都离不开点、线、面三要素，点是构成形体的最基本元素。要正确地表达或分析形体，首先必须掌握点、直线、平面的投影规律，而点的投影规律又是其基础。如图4所示，任一空间点置于三面投影体系中，分别向、和投影面垂直投射，到点在3个投影面上的正投影、′和″。

如图4(a)所示，在空间，因为⊥面，′⊥面，设平面′与的交点为a，则点a在平面′上，且有′a⊥，′a⊥。根据投影体系的展开规则，′⊥，且a在直线′上(图4(b))。

同理可证′″⊥，且在直线′″上；aaH⊥；″aW⊥。

且有aa=Oa=Oa=aa″=Y，Oa=aa′=aa=X，aa′=Oa=aa″=Z等。

这些性质及a、a、a位置的确定不仅在后面的阴影作图时起到辅助作用，在投影体系化作为坐标体系时，这些等式将反映出空间点分别在、和面上分别呈现2个坐标，协助空间问题的降维解析计算。

图4 点的投影

2.4 点在任意平面上投影的计算化[15]

画法几何是用作图法求取点在平面上的投影，求取点在任意平面上的投影就困难一些。

设为平面的法向量，Q为平面上的一点，求空间点在平面上的投影点为P。

(1) 一般几何解法。P=–[(–Q)·]·。

(2) 基于向任意面投影的解法。先构建一个新的坐标系，将作为新坐标系的*=0坐标平面，在这个新坐标系****下向平面上的投影就变成向*=0坐标平面的正投影了。预做的工作只是先将点(,,)的坐标变换到这个以为坐标平面的新坐标系下，为*(*,*,*)；于是S*(*,*,0)就是点在上的投影，只是在新坐标系****下，将S*(*,*,0)逆变换回原始坐标下得到P(x,y,z)，即S就是点在上的投影。

(3) 算法分析。现在对上面2种算法进行分析。如果按照一般的几何解法直接求取点在任意面上的投影，例如P=–[(–Q)·]·，其推导是个性化的，且不是显而易见的。问题的关键在于这种“真投影”计算将空间的点全部变换到投影平面上了，因此一个空间的物体变成了在那个投影平面上的“平的物体”，如果希望得到在任意平面上的消隐画面，深度信息就丢失了。而构建以任意平面作为新坐标平面的坐标系将坐标参考系作了改变，使几何计算在更为“合适”、更为“标准”的坐标系下进行，简化计算。而且，这种变换是在两个三维坐标系下进行的，是三维间的变换，只是选择的坐标参考系不同而已。这种变换是共性的、通用的，所谓“投影”的工作并没有真正实行，而是取其中的二维坐标作为显示而用的“假投影”，而消隐等三维处理工作需要的深度信息没有丢失。

3 轴测投影与轴测图

由于正投影及其所产生的三视图都是平面图形，反映一个空间物体并不适合于人的视觉系统，画法几何引入了轴测投影轴测图慨念。

轴测图是一种单面投影图，在一个投影面上能同时反映出物体三个坐标面的形状，并接近于人们的视觉习惯，形象、逼真，富有立体感。但轴测图一般不能反映出物体各表面的实形，因而度量性差，同时作图较复杂。因此，在工程上常把轴测图作为辅助图样，来说明机器的结构、安装、使用等情况，在设计中，用轴测图帮助构思、想象物体的形状，以弥补正投影图的不足。

一般教科书均将轴测投影图定义[17-20]为：“用平行投影的方法，把形体连同它的三个坐标轴一起向设定的投影面投影得到的投影图为轴测投影图(简称轴测图)”。其说法不直观也缺乏可操作性，在教科书中没有人从这个定义出发去描述轴测图的生成方法并制作轴测图。很少有这种定义与方法不一致的现象，所以需将此问题说清楚。

3.1 轴测投影的基本概念

先从画法几何的角度阐述轴测投影的基本概念与原理。将物体和连同确定其的空间直角坐标系，用平行投影法一起投影到选定的(轴测)投影面Π上，这种方法称为轴测投影法(图5)。在该Π面上得到的投影称为轴测投影，简称轴测投影图(图6)。依投影方向与Π面的关系可分为：

(1)正轴测投影：投影方向垂直于投影面Π。

(2)斜轴测投影：投影方向倾斜于投影面Π。

图5 轴测投影

图6 正轴测投影原理图

空间坐标系在轴测投影面上的投影构成了轴测投影图的轴测坐标系，相邻两轴测轴间的夹角称轴间角，分别记为∠1、∠2和∠3；空间坐标系的单位长度去除其在投影面上的投影长度，称为轴向变形系数，分别记为η、η和η。画法几何中常用正等测、正二测和斜二测等3种轴测投影的轴间角(图7)。

正等测投影，取η=η=η=0.82，一般简化为η=η=η=1.0。

②正二测，取η=η=0.94，η=0.47，一般简化为η=η=1.0，η=0.5。

③斜二测，取η=0.5，η=η=1.0。

图7 常用轴测坐标系

轴测图并不是空间的精确描述，其功能是产生较好的空间视觉效果，并根据需要选用其中一种轴测图。上述轴向变形系数和轴间角是画法几何的经典值，但并非是严格的标准，将轴向变形系数调整，只是将形体沿轴测方向等比扩大或缩小而已，视觉完全能够接受。由于计算机绘图给轴测图的绘制带来了极大的方便，轴测图的分类也不像以前那样重要。

3.2 轴测投影与轴测图的若干问题

有关轴测投影的轴间角和轴向变形系数都是根据画法几何轴测投影的定义，一个空间形体用平行投影的方法，在设定的投影面投影得到轴测图这样一个概念上叙述的。但在轴测图的实际绘制中，并没有按照这种投影的方法去绘制，因为从这个定义出发困难重重。下面分析轴测轴的决定方法。

3.2.1 从投影定义出发得到所要求的轴测图比较困难

一些计算机绘图的书上考虑了从投影定义出发得到所要求的轴测图[21-22]。

(1) 正等测图。如果以–平面作为投影面，并产生正等测图。那么可先将空间形体绕轴正旋转–45°，再绕轴正旋转35.264 42°(35°15.865′)然后向–平面投影(取、坐标)，得到正等测图。

(2) 正二测图。如果将空间形体绕轴正旋转20°42′，再绕轴正旋转19°28′然后向–平面投影(取、坐标)，得到正二测图。

(3) 斜二测图。先沿向错移–0.353 5且离开轴([3,0])，然后沿轴错移–0.353 5且离开轴([3,1])，然后向–平面投影(取、坐标)，得到斜二测图。

这里，正等测图、正二测图基本符合由投影直接生成轴测图的定义，但斜二测图似乎并非由此定义得到的。

且不说上述复杂的参数如何得到，如何应用到手工轴测图制作中？即使是电脑制作也无甚直观性。因此，在工程应用之中，没有见到直接从轴测投影的定义出发去制作轴测图的。

3.2.2 工程上轴测图的绘制方法只与轴测轴的决定有关

一般画法几何教材中使用的关于绘制轴测图的步骤为：

(1)根据需要画好轴测图的轴测轴；

(2)在三视图上沿轴向获取物体的线性尺寸(因为三视图反映了空间形体的实际尺寸)；

(3)在轴测图上分别沿轴向量画出物体上相应的各点、各线段和整个物体的轴测投影。

点是最基本的几何元素，以如何作点的轴测投影出发讨论轴测图的绘制过程。

作图：已知点的正投影图及轴间角和轴向变形系数，作点的轴测投影。

作图步骤(图8)：

(1) 按轴间角画出轴测轴、、，通常将放在垂直位置；

(2) 在正投影图上量取点的方向长度Oa，根据方向的轴向变形系数得出轴测图上的方向长度，在轴上截取该长度得×Oa；

(3) 在正投影图上量取点的方向长度aa，根据方向的轴向变形系数得出轴测图上的方向长度，过a作的平行线，在该线上截取长度×aa，得到；

(4) 在正投影图上量取点的方向长度x′，根据方向的轴向变形系数得出轴测图上的方向长度，过作的平行线，在该线上截取长度×aa'，得到点。

显然，这种轴测图的制作与轴测投影定义无关。

点轴测投影的作图是基础，直线、平面和简单平面体的投影也可按此制作，因为直线可由两点确定，平面可由三点确定，平面体可由平面体上各顶点确定。

图8 作点的轴测投影

3.2.3 轴测轴的几何本质

上述轴测图的绘制方法是先决定轴测轴，再将正投影上的尺寸(其反映几何在空间的真实性)按平行于轴测轴的方向去找到点的位置。这与画法几何关于轴测投影的定义没有多大关系，关键是如何绘制好平面上的轴测轴，轴测轴不同，绘出的轴测图也不同[23-25]。

因此，需要对传统画法几何的轴测投影和轴测轴的确定有一个新的说法，使其能够解释画法几何的轴测图绘制方法。

先从数学的角度来看一下坐标系的本质。按照线性空间的理论，在平面上经常使用的是两两垂直的单位向量作为基底建立坐标系(图9(a))，偶尔也采用一些非正交的坐标系(图9(b))。两种坐标系下点坐标的计值方法是不一样的，垂直坐标系以点到坐标轴的垂直距离作为坐标值(图9(a))；非正交坐标系下点的坐标的确定方法是：通过点分别作坐标轴的平行线，平行线与轴的交点在相应坐标轴上的计数作为点的坐标值(图9(b))。这意味着，在平面上从任一点出发的两条任意不共线向量均可构成一个坐标系，从任一点出发的3条任意不共线向量即构成表示三维空间的坐标系(图10)。

图9 平面坐标系

图10 三维空间的坐标系

再从三视图的形成方法上分析。三视图是将投影面绕轴向下旋转至投影面共面，投影面绕与轴逆时针旋转至投影面共面，使空间的3个正投影面全部放置到一个平面上，与空间的面共面而形成同一平面上的3个视图。其保持了空间形体的几何计量而牺牲了图示的直观性。一个关键因素是：其将轴人为拆分为二了。

根据上述两条思路，将空间3个投影面同时在一个平面上展示出来，并非一定要动投影面才能达到！可以设想一下，与轴本就在一个平面上，如果将轴绕旋转至平面上，此时3个投影轴就在一个平面上了，构成轴的两个平面和面也在这个平面上，形成了从出发的、由3条投影轴构成的3个投影平面，这3个投影面分别代表了空间的3个完整的投影面。图11展示了这种轴测轴的形成过程。

图11 轴测坐标系的构造

最后一个变换，绕旋转轴或轴，调整3个轴测轴之间的夹角∠1、∠2和∠3，就可以得到任意的轴测轴的布置，图中列出了画法几何常用的3种轴测轴。且轴测轴不再被分离，不像三视图中有一个“缺口”。其与三视图的区别是：在三视图中，3个轴测轴是互相垂直的，可以用直角坐标系分别表示三维空间的投影面，因此可以反映空间形体的真实几何量。而这里，3个轴测轴并不互相垂直，是用3个斜坐标系分别表示三维空间投影面的，因此其不能反映空间形体的真实几何量，但能呈现空间形体直观的立体感觉。

根据此，手工制作轴测图的过程就变得顺理成章了——先在平面上决定轴测轴，根据空间形体的实际尺寸(一般从三视图获得)沿轴向量决定点在轴测图上的位置，画出各点。

3.2.4 轴间角和轴向变形系数作用分析

平面上轴测坐标系两个关键因素是轴间角和轴向变形系数，这在画法几何中讲得较多。其实，轴间角只是影响轴测图的美观性而已，并无严格的标准。常用的正等测、正二测和斜轴测投影，只是人们一种习惯表达，精确地计算并无多大理论意义。

同样，因为轴测图的作用主要是直观，不体现在几何形体的尺寸量度上，这也是一种眼观标准，因此对于轴向系数，也无精确要求。实际绘制时，各类教材均建议对正等测和正二测的轴向变形系数靠向简单的比例因子。

如果制作一个简单的比例尺(图12)，轴向系数的计算因素可简单解决：设水平直线(主尺)长度尺寸为1，斜线(比例尺)长度尺寸为scale(例如为轴向尺寸比例因子)。两尺数字刻度相同，如主尺最大表100，则比例尺最大也是100。于是，在三视图上量得的尺寸，先在主尺上读得这个数值，并根据其在比例尺上量得新的数值，就是轴测图上的轴向尺寸了。

图12 轴向尺寸比例尺

3.2.5 轴测投影与轴测图的总结

综上所述，现在的画法几何中对轴测投影的内容有不妥的地方，讲解轴测投影的目的是绘制轴测图，但是与正投影完全不同的是，轴测图的绘制并不是从“投影”的角度去实现的，而是以轴测轴的定义决定的，按照“沿轴量画”的原则确定空间点的位置。因此建议在画法几何中讲解轴测投影与轴测图时，不强调轴侧图的绘制依赖于“用平行投影的方法，把形体连同它的三个坐标轴一起向设定的投影面投影得到的投影图为轴测投影图(简称轴测图)”这个从投影的角度出发的定义，而是认为轴测图是以二维图形的形式去表现三维立体，使其具有立体感。轴测图的类型由平面上一点出发的3条不共线的单位向量构成的轴测轴决定，绘制轴测图的关键是决定这些轴测轴之间的角度，这样构成的轴测轴类型有无穷多种。根据经验，为了保证轴测图的可视性，可以选择适当的轴向变形系数，“国标”建议参考或采用正等测和斜二测绘制轴测图，其画出的图立体效果好，另外，三角板有现成的角度，尺规绘图方便实现。但用计算机绘制，轴测图类型的限制就没有了。

3.3 轴测投影的计算化

当求得轴测的轴间角及轴向变形系数后，即可求得三维物体投影于轴测平面上的坐标变换公式。若给定从平面上一点引出3条不在同一直线上的单位向量，其间夹角分别为∠1、∠2和∠3，以这3条向量作为轴测轴，并分别以η、η和η作为其轴向变形系数，那么有[24-25]

=η∙∙cosα+η∙∙cosα+η∙∙cosα

=η∙∙sinα+η∙∙sinα+η∙∙sinα

最后，可得在轴向变形系数下的轴测变换矩阵通式为

以轴间角代替上述公式，可选取三维轴和二维轴一致(机械制图常用)或三维轴与二维轴一致(计算机图形学常用)，分列如图13所示。

4 尺规作图

4.1 尺规作图的本质分析

用画法几何的尺规作平面上一类图形只需用几种基本作图方法即可完成。通常只需8种基本作图方法：作一条线段等于已知线段、作一个角等于已知角、作已知线段的垂直平分线、作已知角的角平分线、过一点作已知直线的垂线、已知一角/一边做等腰三角形、已知两角/一边做三角形以及已知一角/两边做三角形等。尺规作图的步骤也常可分解为五种方法(称作图公法)：通过两个已知点可作一直线、已知圆心和半径可作一个圆、若两已知直线相交可求其交点、已知直线和一已知圆相交，可求其交点、若两已知圆相交，可求其交点等。

三维z轴和二维Y轴一致三维y轴与二维Y轴一致 ∠1=αy–αx，∠2=αz–αy+360°，∠3=αx–αz，αx=90°∠1=αy–αx+360°，∠2=αz–αy，∠3=αx–αz，αy=90° sinαy=cos∠2，sinαx=cos∠3，sinαy=1cosαy=sin∠2，cosαx=–sin∠3，cosαz=0sinαx=cos∠1，sinαz=cos∠2，sinαy=1cosαx=sin∠1，cosαz=–sin∠2，cosαy=0 画法几何使用的轴测图坐标体系计算机图形学使用的三维坐标体系

尺规作图本质上是用几何方法处理几何问题，而且这种原始的尺规作图的基本工具很少，约定是很苛刻的，其最朴素的思想是将复杂的几何问题分解成简单的、有序的基本几何问题。其与高等代数中“线性空间中的任一向量可以用它的基底线性表出”的思想一样厉害。引导人们联想：画法几何的几种基本作图方法也是几何作图“几何基”，图形用一系列有序的几何基表出。下面给出利用尺规作图，也即用几何基图解图形的一个例子。

已知3平行直线1、2、3，求作正△，使三个顶点分别落在3条平行线上(图14)。

【作法1，偏规作法(图14(a))】①1上任取一点为顶点，作正三角形△，使、落在2上(图中虚线为正三角形简易作法)；②作过、直线交3于；③以为圆心为半径作弧交1于，连接、、成△。

【作法2，偏尺作法(图14(b))】①2上任取一点作三平行线公垂线交1于，3于；②作线段的垂直平分线4；③过作直线使∠=30°，并交4于；④过、作直线交1于；⑤以为圆心为半径作弧交3于，连接、、成△。

上例显示该作图方法只用了没有尺度的直尺和圆规两种作图工具，没有代数的解方程的概念，其本质是用几何方法处理几何问题，偏重于定性而不是定量地考虑问题。

图14 三顶点在三平行线上的正三角形作法

4.2 尺规作图的计算化[15-16]

在讨论尺规作图计算化以前，先看一个简单的例子，求通过1、2和33点的圆。如果用代数的方法，可通过解三元二次方程得到所求圆心

可以看到，这两个算式十分复杂，可读性、可理解性及可交流性都很差；而且，当给出的3点呈共点、共线等的奇异情况时，两式的分母可能为0，此时需要轮换点再算予以排除。

但是，若依照尺规作图的思想，3点作圆的问题改用几何方法就变为：

(1) 作12的垂直平分线1，作13的垂直平分线2(共点的情况可在这一步排除)。

(2) 求1与2的交点即为圆心(如果无交点，则说明3点共线，无圆生成)。

(3) 圆心和3点中任一点的距离即为半径。

可以看到，从几何的角度，用模拟原始的“圆规、直尺作图方法”解决几何计算问题效率很高，奇异情况表现明显、排除简洁。这里，从代数的角度是“求三元二次方程的解”，从几何的角度是“求两条中垂线的交点”，两种方法，两种风格。虽然后者交点的求取最后也用到代数方法，但是从几何角度可更宏观地考虑问题。深层次的含义是，代数是从定量、有序的方式求解；几何是从定性、直观的角度思考，其对求取交点坐标的具体实施过程不感兴趣，这符合人的认知体系的。

5 应用与发展

画法几何是工程图学的理论基础，根据以上认知，对画法几何投影、2D/3D对应和尺规作图等主要理论和方法在应用面的扩展与计算化方面的一些工作与设想。

5.1 几何问题几何化

画法几何的基本理论，投影理论、2D/3D对应理论和尺规作图方法，核心是几何问题几何化，以前对画法几何的计算机化的研究似乎缺少对这一思想的认识。不从几何空间整体的角度入手，过于追求投影作图过程的计算机模拟，很难发挥人的空间思维优势。应该“回归几何”，强调从几何的角度，以空间思维，用几何的理论去处理几何问题。更宏观地从空间概念形象地观察世界、审视问题，发挥人类最有力的直觉武器，努力将一些问题归结为几何形式，因为这样可以利用人的直觉。淡化几何问题的代数化方法，几何问题几何化，扩大从形的角度，依赖于几何计算、数字计算以及计算机的算法等去构建图学的计算基础。将画法几何投影作图思想与现代计算技术相结合，综合图解法和解析法的优势，探索画法几何投影理论的计算化问题，最后构造出画法几何投影计算的基本工具和算法，是图学计算化，特别是画法几何计算化的一个重要部分。

文献[15]提出了一种基于几何问题几何化的“形计算”运算机制。形计算可从形的角度整体地去考虑几何问题，将思维、几何、代数及计算在几何计算中定位在4个不同的层次：思维在认知与设计层次、几何用于表述、代数是计算工具、计算最后执行。回归几何，淡化代数化计算。需建立一种“三维思维，二维图解，一维计算”的多维空间融合，追求形-数的顺滑过渡。更好发挥人的空间逻辑思维能力，加强人在计算中的主控地位。这将对数计算的非可读性、几何奇异引起的计算不稳定性等方面有较大的改善。

5.2 投影与降维计算

投影法的本质是降维——将三维问题降为二维问题，在平面上求解空间问题。降维不仅使得问题的难度降低，也使一些几何奇异问题的类型相对减少，使得图学计算的稳定性相对提高。

降维计算是分而治之策略在图学计算之应用。在三维整体概念下建立问题的求解策略，先利用投影几何理论，得到三维形的二维图表示，将空间问题降为平面问题。然后在平面上求得几何基序列解，由2D/3D对应理论建立的空间几何与平面图形间的映射关系，最后合成返回到空间问题的最终解。

降维计算关键要解决两个问题：建立合适的计算坐标系和向任意平面的投影[15-16]。一般先将几何转化在相关几何元的标准坐标系下，并以坐标平面作为正投影平面，建立所谓的计算坐标系；向任意面投是实现投影计算化的核心，在坐标平面上实现降维计算，实现线面求交。这是画法几何投影理论计算化研究的突破口，以此构建画法几何投影理论的计算化总体方案。

5.3 尺规作图与几何基

尺规作图偏重于定性而不是定量地考虑问题，这是一种很好的思想。这不同于数学上的几何偏重于解析方法，解析法依赖于坐标系和几何的坐标表示，是基于数字的运算，是所谓的“几何代数化”。

几何的构造、定位和度量工作虽然千变万化，但均基于点、线、面等这些少量的基本作图工具或基本几何函数，这些基本的作图方法可以完成平面图形的作图工作，将复杂的几何问题分解成有序的、简单的基本几何问题。这些简单的工具起到了高等代数中线性空间中基底的作用，可以作为构建几何大厦的“基”。形计算机制[15]根据这个思想引入了“几何基(Primary Geometric Functions，PGF)”概念，一个PGF对应于一个最基本的几何作图操作，那么对几何问题解的新解读就变为：“几何问题的解可由几何基的序列表述”。探索用PGF的序列去表述几何问题的解，这将彻底改变解的求解方式与表述形式，使求解(几何化)与实施(代数化、程序化)分离，使几何问题的求解结构化、直观化、简单化。

5.4 计算坐标系和向任意平面的投影

为了将三维物体在平面上呈现，需要绘制各种不同方向的投影图，这种投影实际上是建立在一个参考坐标体系上的，其优劣决定了一个场景表述的简单还是复杂。从解析法的角度，就是根据场景，即参与计算的几何系建立一个合适的计算坐标系。因为正投影的画法几何的基本投影，使得这种计算坐标系的构建依赖于投影平面的选择，即解决“向任意平面的投影”问题[15-16]。

按照线性空间的理论，在三维空间，从任一点出发的3条任意不共面单位向量即构成一个三维的坐标系。因此，要得到在任一平面Π上的投影，只要构建一个新的坐标系，而Π在新坐标系的一个坐标平面上，即平面Π是这个新坐标系下的一个坐标平面。这个方法就可将“向空间任一平面的投影转化为向坐标平面投影”。换个说法，在物体原坐标系下向任意平面的投影，就是在新坐标系下向坐标平面的投影。而向坐标平面的投影只要取空间点的其中2个坐标即可。

由于3个不共面向量是可以任意定义的(只要两两互相垂直时，新坐标系仍是直角坐标系)，可以参考某一个几何元为主建立计算坐标系(也决定了投影平面)，该几何元可作为“主元”，例如直线与球相交，以球为主元，圆锥与球求交，以圆锥为主元，等等。根据参与计算的几何元构建合适的计算坐标系，可任选投影平面，通过降维简化计算。

5.5 阴影与透视

画法几何在工程图学领域的机械制图和建筑制图上应用最为广泛，机械制图中最广泛的是三视图和轴测图，而建筑制图中还加了阴影与透视的必须内容。

绘制阴影的要素是光线的方向和承影面[17-20]，基础是基于点在承影面上的落影，实际上就是求取直线(光线)与平面(承影面)的交点。但是，画法几何理论是非数学化的理论，不能采用点的坐标、面的方程等用解析的方法求得线面的交点，其依据的是投影关系，根据投影关系，用尺规作图的方法去求取线面的交点。因此，阴影作图的核心技术是“如何通过平面作图方法找到空间直线与空间平面的交点”，求解工具是尺规，而非计算。

阴影的最后目标是求取在平行光源或点光源光照下的几何形体在其自身或在其他形体上或在某一指定落影面上的阴影区域，因此，产生阴影的本质是求取各阳面在平面上的区域边界或并集，这里的平面可以是在其他物体的空间平面上或在投影平面上。

透视投影与透视图阴影绘制是建筑制图的一个必修技能和特色。透视图阴影与轴侧图阴影并无本质区别，都是根据给出的光线三维方向向量及在承影面上的投影方向向量，在已知的、体现形体三维状态的图纸上绘制阴影图，只是一个在已有的轴侧图上加载阴影，而另一个在透视图上加载阴影。

图15显示了在画法几何投影理论与投影方法下，在建筑领域广泛应用的正投影图阴影、轴测图阴影和透视图阴影产生的理论依据和相互关系。

需要指出的是，基于手工，在特定的轴测图、透视图上绘制阴影，是一种个性化的东西，不具有普遍性，尤其当对图纸前景(消隐、渲染)和背景(阴影)同时要求时，这种作图方法就无能为力了。

图15 阴影与透视的理论基础和相互关系

只有从最本质的东西出发，在空间概念上、在计算性质上去阐述阴影与透视才是合理的。阴影与透视同样需要计算化研究。

6 总 结

画法几何是工程制图的理论基础，画法几何也是研究形的科学，属于几何的一部分。其基本理论可从3方面解读：投影理论、2D/3D对应理论和尺规作图理论。经过几何学科的发展，画法几何与一般数学中的几何理论已有所区别。数学上的几何理论通常是基于笛卡尔的几何代数化，采用解析化求解；而画法几何在蒙日非数学地阐述了投影理论后成为一门独立学科，并且仍基于几何图解法。

画法几何中的投影理论和2D/3D对应理论的核心思想是降维，计算化的关键在于向任意面的投影；尺规作图理论的核心是几何问题几何化，计算化的关键是建立PGF，通过PGF与最基本的几何作图操作的对应，得到对几何问题解的新解读：几何问题的解由PGF的序列表述。探索用PGF的序列去表述几何问题的解，将彻底改变解的求解方式与表述形式，使求解(几何化)与实施(代数化、程序化)分离，使几何问题的求解结构化、直观化、简单化。

轴测图并不是从轴测投影的定义出发去绘制的，而是只与轴测轴的决定有关，需要对画法几何传统的轴测投影和轴测轴的决定有一个新的说法。从数学的角度，坐标系的本质是：按照线性空间的理论，在平面上从任一点出发的两条任意不共线向量均可构成一个坐标系，从任一点出发的3条任意不共线向量即构成表示三维空间的坐标系。轴测图应以此为指导思想，据此解释画法几何的轴测图绘制方法。

最后，本文介绍了画法几何在计算机时代的发展和进一步应用所做的工作和一些设想。

本质地揭示使学科的概念更准确、更清晰，架构更完整、更简洁。只有对画法几何基本理论有一个全面、本质的认识，认识几何问题几何化的重要意义，才能厘清大图学学科的理论基础和计算基础！

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Interpretation of Descriptive Geometry

HE Yuanjun

(Department of Computer Science and Engineering, Shanghai Jiao Tong University, Shanghai 200240, China)

From the aspect of geometry, this paper gives new understandings on descriptive geometry. Combined with the demand for computerization, the theory system of descriptive geometry is clarified. On this basis, some expressions in some textbooks of descriptive geometry are first reframed. Then the essences of theories on projection, 2D/3D corresponding, drawing by ruler and compass, as well as isometric drawing, shadow and perspective are revealed. Problems related to computerize these theories are further discussed. In the end, some assumptions are proposed to the development of descriptive geometry both in theory and in application.

geometry; graphics; descriptive geometry; projection

TP 391

10.11996/JG.j.2095-302X.2018010136

A

2095-302X(2018)01-0136-12

2017-06-06；

2017-06-30

何援军(1945–)，男，浙江诸暨人，教授，博士生导师。主要研究方向为CAD/CG和几何计算。E-mail：yjhe@sjtu.edu.cn