用教材教：“根的判别式”教学与思考

☉福建省三明市第三中学 马木龙

一元二次方程在中学数学中占有十分重要的地位，上承一元一次方程、多项式乘法（乘法公式）及因式分解的知识，下接二次函数等其他内容.一元二次方程根的判别式也是一个联通广泛的重要内容，而在有些教材中，却只是将其纳入一元二次方程的公式法一小节，用很小的篇幅“一带而过”.实际教学中，多数教师都会在此处增设课时，围绕根的判别式进行专题教学.本文梳理最近我们备课组打磨而成的教学设计，并阐释教学立意，供研讨.

一、一元二次方程求根公式教学流程

教学环节1：复习引入.

问题1：解方程：（1）x2+x－1=0；（2）x2+2x+1=0；（3）x2+x+1=0.

问题2：解关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）.

教学组织：问题1中3个一元二次方程分别有两个不相等的实数根、两个相等的实数根、没有实数根；问题2则走向一般，安排学生利用配方法或熟记求根公式，由这个习题可以引出本课关注的主题：根的判别式.

要求学生上台板演如下内容（如果学生步骤不全或语句不规范，安排其他学生上台订正）：

当b2－4ac＞0时方程有两个不相等的实数根；

当b2－4ac=0时，方程有两个相等的实数根；

当b2－4ac＜0时，方程没有实数根.

定义符号：我们把b2－4ac叫作一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式，通常用符号“Δ”（读作：/deltə）表示，记作Δ=b2－4ac.让学生感受到引出符号“Δ”也是数学“求简”书写表达的追求，感受数学前后的一致性.

教学环节2：完善性质.

对于一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）根的判别式Δ来说，逆过来思考，如果该一元二次方程一定有两个不相等的实数根，则必有b2－4ac＞0.成果扩大，我们还应该从“正、反”两方面来认识，这就是：

Δ＞0⇔方程有两个不相等的实数根；

Δ=0⇔方程有两个相等的实数根；

Δ＜0⇔方程没有实数根.

教学组织：对于这种等价符号，要提醒学生注意，它可以“双向推导，正反使用”.接下就是跟进一些相关的习题应用.

教学环节3：例题讲评.

例1不解方程，判断方程根的情况.

跟进练习：不解方程，判断下列方程根的情况：

（1）3x2=－4x－5；（2）4x（x－5）+25=0；（3）2x2+6x－3=0.

教学组织：主要训练根的判别式的“正向”使用，教师注意示范解题格式，比如，先将一元二次方程化为一般形式，再明确二次项系数、一次项系数和常数项，最后计算根的判别式，判定方程根的情况.

例2不解方程，判断关于x的方程x2－mx－m2=0（其中m是实数）的根的情况.

教学组织：从常数走向含参数的根的判别式的计算，主要训练根的判别式的“正向”使用，根据其正负判定方程根的情况.

例3已知关于x的方程x2+3x－a+2=0（其中a是实数）有两个实数根，试判断关于y的一元二次方程ay2+2（a+1）y+a－1=0的根的情况.

变式跟进：已知关于x的方程x2+3x－a+2=0（其中a是实数）有两个实数根，试判断关于y的方程ay2+2（a+1）y+a－1=0的根的情况.

教学组织：例3所给的两个方程都是一元二次方程，前一个方程的根的判别式Δ≥0，算出a≥，进一步计算后一个方程的Δ的表达式，并把a≥代入分析其取值范围，还要注意二次项系数a≠0；而“变式跟进”则去除这个限制条件，需要考虑a＝0时，关于y的方程为一元一次方程的情形.

教学环节4：小结检测.

引导学生回顾本课所学，从根的判别式“正反”运用的角度进行小结，谈学习心得体会，谈解题过程中的一些注意事项和值得积累的方法等.

最后给出一组当堂检测题（.略）

二、关于根的判别式的教学思考

1.根的判别式新授课上要加强解题格式与解法步骤的规范表达.

根的判别式的新授课教学，需要教师示范解题格式，并跟进同类练习让学生模仿练习，掌握先化为一般形式、找准各项系数，然后代入根的判别式计算，最后下结论的解题顺序，不能随意跳过程、省步骤，也不要书写更多的运算过程，比如，根的判别式的算式是如何计算的，这类过程可以在草稿上进行，而不必展示出来，也就是要学会“省略非必要表达成分”的解题要求.此外，根据教学经验看，少数学生对解题格式、规范要求比较漠视，常常“该写的不写，不该写的乱写”，对于这类现象，可以通过黑板或投影展示他们的不规范解法进行当堂纠正与评析，引起他们的重视，也让其他学生加深规范表达的要求.

2.根的判别式与“含参”一元二次方程关联紧密，需要变式多练.

直接判断一个一元二次方程是否有实数根的题型常常有如下两类：一类是各项系数均为已知常数，另一种是各项系数中含有1个或多个参数；后者往往较难，而且题型丰富多样，是需要认真组织训练和讲评的题型.目前各地考卷中后一类的“含参”问题渐渐成为一种命题热点，值得解题教学重视.根据讲评经验，这类问题往往有几个障碍使得有些学生适应性不好.障碍之一，不太容易辨识二次项系数、一次项系数或常数项，特别是当它们并不是一个单项式时，有些学生容易看错、写错这些系数或常数项中的某一项，造成高位错误，后续计算往往就是无效解答；障碍之二，有些含参问题计算出来的根的判别式是一个二次三项式，需要配方成完全平方式来进行分析，而基础不好的学生对配方的训练不到位；障碍之三，如果有两个及以上参数综合起来，往往除了根的判别式会提供一个数量关系，还会有另外的条件信息带来参数之间的等量关系，这时就需要联立关于参数的方程，通过消元（消参）策略实现从“多参”到“一参”，有效转化，实现求解.当然，教师对学情的了解也会影响选题或变式的方向或数量.

3.根的判别式在不同时期复习时都值得用一节习题课主题关注.

根的判别式虽然出现在一元二次方程求根公式的一个步骤中，但是它的地位十分重要，解题应用也十分广泛.像上文中介绍的课例一样，在新授课期间值得我们安排一节课主题学习根的判别式，讲解、规范相关题型的答题格式；在一元二次方程单元复习时，还需要专门安排根的判别式的专题复习，到时可结合一元二次方程的定义（二次项不为0）与根与系数的关系综合训练；在二次函数学习之后，结合二次函数图像与x轴的交点的研究，需要再次提出根的判别式这个式子（“数”的视角）可对应抛物线（“形”的视角）与x轴的交点问题；待到中考复习时，还可以从根的判别式的角度回看二次三项式、完全平方式，甚至不少数式最值（如对于正数x，分式的最大值如何分析）的问题.

三、写在后面

李庾南老师及其“自学·议论·引导”教学研究团队近年来倡导的“学材再建构”深得各地一线教师的共鸣和响应，从《中学数学（下）》刊发的很多课例文章来看，老师们对教材、学材的钻研和理解都达到了一定的深度，特别是教学内容的取舍既源于教材又高于教材达到了专业水准.我们在上面给出的根的判别式的课例与思考，也是对教材的一次灵活处理和增加课时的专业判断，欢迎大家提出批评与改进意见.

1.张晓波.一元二次方程起始课：从教教材走向用教材教——对两节“青优展评课”的概述与商榷［J］.中学数学（下），2018（3）.

2.戴璐.基于问题驱动的单元教学实践与反思——以一元二次方程起始课教学为例［J］.中学数学（下），2018（1）.

3.刘东升.关联性：一个值得重视的研究领域［J］.中学数学（下），2013（12）.

4.刘才云.赏析经典课例，感悟“三学”要义——李庾南老师“等腰三角形（第1课时）”赏析［J］.中学数学（下），2018（3）.F