对一道中考压轴选择题解法及变式的探析

四川省巴中市巴州区大和初中

李发勇 (邮编：636031)

近年来，各地中考数学中不断涌现了一批立意好，创新佳的客观性试题，具有压轴题的功能，让人耳目一新.通常解答很具有挑战性，对考生灵活思维提出了较高要求.下面对一道中考压轴选择题开展解法和变式探究.

题目(2012年重庆中考)甲、乙两人玩纸牌游戏，从足够数量的纸牌中取牌．规定每人最多两种取法，甲每次取4张或(4-k)张，乙每次取6张或(6-k)张(k是常数，0

此题属于应用类问题，设计了数的整除、一次函数的增减性及最值的求法，综合性较强，此题对考查基础知识和基本能力有很好的体现，题目具有创新性，是一道立意优秀的好试题.但对很多考生来讲，抽象难懂，加之问题中一个“或”字了得，更是愁煞了许多学生.

1 问题提出

参考答案：设甲a次取(4-k)张，乙b次取(6-k)张，则甲(15-a)次取4张，乙(17-b)次取6张，则甲取牌(60-ak)张，乙取牌(102-kb)张.

则总共取牌：N=a(4-k)+4(15-a)+b(6-k)+6(17-b)=-k(a+b)+162，

从而要使牌最少，则可使N最小，因为k为正数，函数为减函数，则可使(a+b)尽可能的大，由题意得，a≤15，b≤16，

又最终两人所取牌的总张数恰好相等，

故k(b-a)=42，而0

则由整除的知识，可得k可为1，2，3，

①当k=1时，b-a=42，因为a≤15，b≤16，所以这种情况舍去；

②当k=2时，b-a=21，因为a≤15，b≤16，所以这种情况舍去；

③当k=3时，b-a=14，此时可以符合题意.

综上可得：要保证a≤15，b≤16，b-a=14，(a+b)值最大，

则可使b=16，a=2；b=15，a=1；b=14，a=0；

当b=16，a=2时，a+b最大，a+b=18，

继而可确定k=3，a+b=18，

所以N=-3×18+162=108张．

利用分类讨论和方程思想，虽答案正确，但过程繁复，估计选择这样解法的学生凤毛麟角，同时，教师这样讲解也不利于学生理解和学习.有没有简便一些的解法呢？

2 问题解决

2.1 利用关键条件“乙至少取了一次6张牌”

解法1构造不等式

设甲取了x次4张牌，取了(15-x)次(4-k)张牌，乙取y次6张牌，取了(17-y)次(6-k)张牌.依题意得：4x+(4-k)(15-x)=6y+(6-k)(17-y)，化简得k(x-y)=42-2k，因0

故当k=1时，x-y=40>15，不合题意；

当k=2时，x-y=19>15，不合题意；

当k=3时，x-y=12<15，又y≥1，即y=x-12≥1，故x≥13.

共取牌总张数M=3(x+y)+66，当x=13，y=1，M最小为108.

故纸牌最少有108张.

解法2利用一次函数性质：设甲4张取a次、(4-k)张取(15-a)次，乙6张取b次、(6-k)张取(17-b)次，满足0

由0

(1)当k=1时，甲取牌4a+3(15-a)=a+45张，乙取牌6b+5(17-b)=b+85张，

则a+45=b+85，所以a-b=40，不可能，舍去.

(2)当k=2时，甲取牌4a+2(15-a)=2a+30张，乙取牌6b+4(17-b)=2b+68张，

则2a+30=2b+68，所以a-b=19，不可能，舍去.

(3)当k=3时，甲取牌4a+1(15-a)=3a+15张，乙取牌6b+3(17-b)=3b+51张，

则3a+15=3b+51，所以a=b+12.

则取牌总张数为W=3(a+b)+66，即W=6b+102.W是b的一次函数，当b最小时，取牌张数最小.当b=1时，a=13，W最小=108.

综上，所求最小值为108张.

思考1还有没有更简单一些的解法呢？

2.2 充分利用隐含条件

根据甲乙取牌数相等且总数最小，可得只需乙最小即可，进而要求k最大，同时让乙的最大牌数次数最少，这样解答，简单、直白.

解法3数学直观 因为乙共取了17次，并且乙至少取了一次6张牌，所以要使乙的张数最少，他就只能取一次6张牌，并且6-k最小，只能k最大，由题意当k=3时，6-k=3，即3张牌取16次，乙最少共取54张.甲对应取4×13+1×2=54张，甲乙一样多，所以两人共108张.

解法4列举法 因乙取6张至少一次，要使乙的张数最少，乙取6张牌的次数越少越小.当6张取1次，则6-k张应取16次.下面分类讨论：由题意得，当k=1，2时，乙取牌为6+(6-1)×16=86和6+(6-2)×16=70，而甲最多能取4×15=60张牌，甲乙不可能相等，舍去.当k=3时，有6+(6-3)×16=54张，这时甲取4×13+2×(4-3)=54，甲乙一样多，故最少为108张.

解法5构造一次函数

(1)设甲取4张x次，则取(4-k)张(15-x)次.由于乙最多取6张1次，于是(6-k)张取16次.则甲所取的纸牌张数M=4x+(4-k)(15-x)，乙所取的纸牌张数N=6+16(6-k)=-16k+102.则N是关于k的一次减函数.

(2)因为0

(3)又因为最终两人所取牌的总张数恰好相等，所以3x+15=54时，x=13，即甲取4张13次，取1张2次，那么可以使其张数为54.

(4)那么纸牌最少有54×2=108(张).

思考2k取最大值3和乙至少取了一次6张牌，谁具有一般规律呢？下面通过变式探索，寻找数学本质.

3 变式

变式1只改变甲的条件为“甲每次取5张或(5-k)张”，其余不变.

甲、乙两人玩纸牌游戏，从足够数量的纸牌中取牌．规定每人最多两种取法，甲每次取5张或(5-k)张，乙每次取6张或(6-k)张(k是常数，0

解设甲取5张a次、取(5-k)张(15-a)次，乙取6张b次、取(6-k)张(17-b)次， (0

当k=4时，甲共取5a+1(15-a)=4a+15，乙共取6b+2(17-b)=4b+34，

由题意，得4a+15=4b+34，所以4(a-b)=19，无解，舍去.

同理，当k=1、2、4时，都无解.

当k=3时，甲共取5a+2(15-a)=3a+30，乙共取6b+3(17-b)=3b+51，由题意，得3a+30=3b+51，所以a=b+7.

设取牌总张数为P，则P=3(a+b)+81即P=6b+102.P是b的一次函数，当b最小时，取牌张数最小.取b=1，a=8，得P最小=108.

综上，所求最小值为108张.

变式2修改甲、乙取的次数，譬如“甲共取了13次，乙共取了16次”，其余条件不变，将结果改为存在性问题.

甲、乙两人玩纸牌游戏，从足够数量的纸牌中取牌．规定每人最多两种取法，甲每次取4张或(4-k)张，乙每次取6张或(6-k)张(k是常数，0

略解不存在.理由：设甲取4张a次、取(4-k)张(13-a)次，乙取6张b次、取(6-k)张(16-b)次，(0

(1)当k=1时，甲共取4a+3(13-a)=a+39，乙共取6b+5(16-b)=b+80，由题意，得a+39=b+80，所以a=b+41，因0

(2)当k=2时，甲共取4a+2(13-a)=2a+26，乙共取6b+4(16-b)=2b+64，由题意，得2a+26=2b+64，所以a=b+19，因0

(3)当k=3时，甲共取4a+1(13-a)=3a+13，乙共取6b+3(16-b)=3b+48，由题意，得3a+13=3b+48，所以3(a-b)=35，无解，舍去.

综上，所求最小值不存在.

变式3条件修改为“甲共取了17次，乙共取了15次”，其余不变.

甲、乙两人玩纸牌游戏，从足够数量的纸牌中取牌．规定每人最多两种取法，甲每次取4张或(4-k)张，乙每次取6张或(6-k)张(k是常数，0

解设甲取4张a次、取(4-k)张(17-a)次，取乙6张b次、取(6-k)张(15-b)次， (0

(1)当k=1时，甲共取4a+3(17-a)=a+51，乙共取6b+5(15-b)=b+75，

由题意，得a+51=b+75，所以a-b=24，不可能，舍去.

(2)当k=2时，甲共取4a+2(17-a)=2a+34，乙共取6b+4(15-b)=2b+60，

由题意，得2a+34=2b+60，所以a=b+13.

设取牌总张数为P，则P=2(a+b)+94即P=4b+120.P是b的一次函数，当b最小时，取牌张数最小.取b=1，a=14，得P最小=124.

(3)当k=3时，甲共取4a+1(17-a)=3a+17，乙共取6b+3(15-b)=3b+45，

由题意，得3a+17=3b+45，所以3(a-b)=28，不可能，舍去.

综上，所求最小值为124张.

变式4修改甲乙条件，改变乙的必取张数，问题不变.

甲、乙两人玩纸牌游戏，从足够数量的纸牌中取牌．规定每人最多两种取法，甲每次取6张或(6-k)张，乙每次取5张或(5-k)张(k是常数，0

解设甲取6张a次、取(6-k)张(13-a)次，取乙5张b次、取(5-k)张(19-b)次， (0

(1)当k=1时，甲共取6a+5(13-a)=a+65，乙共取5b+4(19-b)=b+76，

由题意，得a+65=b+76，所以a-b=11.

设总张数为P，则P=a+b+141即P=2b+152.P是b的一次函数，当b最小时，取牌张数最小.取b=1，a=12，得P最小=154.

(2)当k=2时，甲共取6a+4(13-a)=2a+52，乙共取5b+3(19-b)=2b+57，

由题意，得2a+52=2b+57，所以2(a-b)=5.不可能，舍去.

(3)当k=3时，甲共取6a+3(13-a)=3a+39，乙共取5b+2(19-b)=3b+38，

由题意，得3a+39=3b+38，所以3(b-a)=1，不可能，舍去.

(4)当k=4时，甲共取6a+2(13-a)=4a+26，乙共取5b+(19-b)=4b+19，

由题意，得4a+26=4b+19，所以4(b-a)=7，不可能，舍去.

综上，所求最小值为152张.

通过上述探究，你有什么发现呢？发现：①k取最大值既不是特例，也不具有一般规律，而是原题条件下的巧合.②在甲乙取法中，乙的最大张数至少取1次，具有一般规律性.这些都是命题和讲解时需要注意的问题.因此，上述解法中，参考答案、解法1和解法2具有普遍性.

思考3如果假定甲的最大张数至少取1次，可以不？答案是肯定的.

4 一般化

甲、乙两人玩纸牌游戏，从足够数量的纸牌中取牌．规定每人最多两种取法，甲每次取A张或(A-k)张，乙每次取B张或(B-k)张(k是常数，0

设甲取A张a次、取(A-k)张(M-a)次，乙取B张b次、取(B-k)张(N-b)次，

0

由于最终甲乙一样多，则Aa+(A-k)(M-a)=Bb+(B-k)(N-b).

整理，得

k(a-b)=(B-k)N-(A-k)M(*)

由于0

若(*)式无解，则纸牌没有最小张数；

若(*)式有解，总数P=AM+BN+k(a+b-M-N)，取其最小者为所求.

5 对命题的反思

客观题的功能主要在于考查“四基”，若为增加区分度，在客观题中命制一道压轴题是可取的措施，但要控制难度，把控效度，这对命题老师提出了较高要求.倘若这类试题难度过大，超过应有的限度，不仅会降低本题的信度，而且可能影响整套题的效度，就得不偿失了，这是值得命题人重视和改进的.让数学中考客观性压轴题多一些启迪，少一些纠结，这是大家所期盼的.