例谈数学教学中的本质揭示*

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(秀州中学,浙江 嘉兴 314000)

●杨 威

(镇海中学，浙江 宁波 315200)

文献[1]在数学课程的十大基本理念中第七点“强调本质，注意适度形式化”中指出：“在数学教学中要强调对数学本质的认识，否则会将生动活泼的数学思维活动淹没在形式化的海洋里……”，尤其是在“指向高中数学核心素养的教与学研究”中，研究数学问题的本质揭示就有了重要的意义.“张金良名师工作室”于2017年9月4日在浙江省杭州高级中学举行了以“指向高中数学核心素养的教与学策略——数学问题的本质揭示”为主题的“名师面对面”活动，引起了与会者的浓厚兴趣．数学的教学过程应当努力反映数学问题的本质特征，并且在数学的产生、发展、应用的全过程中去贯穿．笔者以人教A版《数学(选修2-3)》第二章“随机变量及其分布”教学设计为例，谈谈如何在课堂教学中揭示数学问题的本质．

1 在“数学期望”教学中落实对“期望本质”的理解

数学中任何一个概念、定理、定义的产生必然经历了漫长的时间的检验，曾经也可能有过曲折与反复、分歧与斗争、停滞与突破.了解知识发生和发展的过程，认识到数学问题的本质，才能更好地加深对问题的认识．“随机变量及其分布”课堂设计的几个片段，从最初的“怎么算期望”，到“为什么这么算期望”，到“怎么算简单”，到“期望的其他应用”，层层递进，揭示期望的概念本质，展现“不一样的期望”．在解决数学问题的过程中，在思考数学问题的方法中，在揭示数学问题的本质过程中，逐步提升自身的数学素养与思维水平．

1.1 创设情境，期望之初探

片段1据新闻报道：2005年，麻省理工大学的一群大学生通过分析“Cash WinFall”彩票的投入和回报期望，发现了新规则的漏洞．2005年2月7日，其中一位大四的学生一次性购买了1 000张彩票，获得了大约3倍于投入额的奖金，之后他们组成“随机策略”团队专注于通过统计手段分析彩票漏洞，获利颇多，使得“Cash WinFall”彩票游戏于2012年1月26日退出了该地区彩票市场．

设计意图概率起源于赌博问题，生活中许多问题都要用到数学中概率论的知识．它可以帮助设计者制定规则，也可以让游戏者利用概率论的知识获取更多的利益．同时让学生了解，这中间用到的知识就是概率论，尤其是奖金额的大小设置就是利用数学期望来确定的．这是对期望的最初的认识，也是第一层次的理解．同时，为下面如何设计一个简单的摸奖游戏作铺垫，同时再次体会数学是来源于生活的．

1.2 创设游戏，期望之发展

片段2某班决定进行一次班级联欢活动，规则是：袋子中有8形状大小完全一样的球，其中4个球标的面值为10元，另4个球为5元．每位同学从袋中一次性随机摸出2个球，球上所标的面值之和为该同学所获的奖励额．

1)作为体育委员的小王，很想知道如果自己去抽奖，最有可能获得几元的奖励，且获得该奖励额的概率有多大，你能帮他算算吗？

2)作为学习委员的小吴更想预知，全班50位同学共有多少位有幸抽得最高奖20元，一半同学抽得最高奖励额的概率有多大？

3)作为班长的小李，想知道这一规则是否会超出班费奖励总额预算600元？

4)还有什么方法能够让所花费的总额控制在预算之内？

设计意图这个摸奖游戏是赌博问题的再升华，通过一连串的设问层层递进，复习一个思想(概率思想)、二个模型(超几何分布、二项分布)、三个关键(分布列、期望、方差)．在问题4)中利用开放性的问题设置，向学生揭示概率、期望的本质意义，引导学生认识期望在决策中的作用．

学生活动学生通过对问题的解答，复习相关知识并理解期望作为平均数的意义，尤其是问题4)学生通过对期望公式的分析，会得出“减小最大随机变量取值时的概率”和“减小最大随机变量取值”这两种方法．这是在期望计算过程中得到的结论，在运算角度初步了解期望，这是理解期望的第二层次．

1.3 考题计算，期望之回望

片段3已知甲盒中仅有1个球且为红球，乙盒中有m个红球和n个蓝球(其中m≥3,n≥3)，从乙盒中随机抽取i(其中i=1,2)个球放入甲盒中．

1)放入i个球后，甲盒中含有红球的个数记为ξi(其中i=1,2)；

2)放入i个球后，从甲盒中取1个球是红球的概率记为pi(其中i=1,2,)，则

( )

A．p1>p2,E(ξ1)

B．p1E(ξ2)

C．p1>p2,E(ξ1)>E(ξ2)

D．p1

(2014年浙江省数学高考理科试题第9题)

设计意图体会期望作为均值的意义，期望反映了随机变量取值的平均水平．当m=n时，从乙盒中取出一个球放入甲盒相当于取出0.5个红球和0.5个蓝球放入甲盒．球本没有半个，但是这种“相当于”的等价理解方式才是期望的本质，进一步让学生体会期望作为均值的意义所在．

学生活动大部分学生采用写分布列以及公式法求期望的方法，运算难度大．教师通过引导日常生活中的例子，逐步向学生阐述“当m=n时，从乙盒中取出一个球放入甲盒相当于取出0.5个红球和0.5个蓝球放入甲盒”这一期望本质，这是学生理解的第三层次．

1.4 大数据化，期望之应用

片段4某地区进行某种疾病普查，为此要检验每一个人的血液，如果当地有N人，若逐个检验就需要检验N次，现在问：有没有办法减少检验的工作量？例如现在要对某个学校今年将要毕业的900名高三毕业生进行乙型肝炎病毒检验，可以利用两种方法：

①对每个人的血样分别化验，这时共需要化验900次.

②把每个人的血样分成两份，取其中m个人的血样各一份混合在一起作为一组进行化验，如果结果为阴性，那么对这m个人只需这一次检验就够了；如果结果为阳性，那么再对这m个人的另一份血样逐个化验，这时对这m个人一共需要m+1次检验．

据统计报道，对所有人来说，化验结果为阳性的概率为0.1.

1)求当m=3时，一个小组经过一次检验就能确定化验结果的概率是多少？

2)试比较在第2种方法中，当m=4和m=6时哪种分组方法所需要的化验次数更少一些[2]？

设计意图在实际问题中，人们为了最大限度地降低风险，常常根据事物的进展情况和随机因素的信息，把数学期望作为决策参考的重要依据．离散型随机变量的数学期望能够反映离散型随机变量取值的平均水平，正是因为它所具备的这种“平均”特点，使得数学期望脱颖而出，从最大程度上用来刻画、反映各种随机因素的影响，从而成为风险决策的两大数字特征之一．尤其是在大数据时代，期望在解决实际问题的过程中发挥着重要的决策作用．这是对期望理解的第四层次，也是期望的应用价值所在．

2 在课堂教学实践中对于数学问题本质揭示的反思

2.1 对“数学本质”的再认识

从微观上看，数学问题的本质就是指具体数学内容的本真意义.某个具体内容的数学本质具有两面性，既表现为隐藏在客观事物背后的数学知识、数学方法、数学规律，又表现为隐藏在其知识本身背后的本质属性，更加表现为统摄具体数学知识与数学方法的数学思想、数学素养．“从教与学的观点来看，数学本质的内涵包括：数学知识的内在联系、数学规律的形成过程、数学思想方法的提炼、数学理性精神的提炼等”[3]．文献[1]中也指出：“数学课程应该返璞归真，努力揭示数学概念、法则、结论的发展过程和本质”，“通过典型例子的分析和学生自主探究活动，使学生理解数学概念、结论逐步形成的过程，体会蕴含在其中的思想方法，追寻数学发展的历史足迹，把数学的学术形态转化为学生易于接受的教育形态”.

2.2 本质揭示——抓住数学概念教学的落脚点

概念是高度概括和抽象的，如果教师采用“一读而过”或“机械性的记忆加大量的巩固练习”的方式进行应付，造成了学生的概念学习是建立在概念基础上的知识、方法、思想而没有深刻感悟的被动局面，对概念的认识是肤浅的、不深刻的．在概念教学中，教师若抓住了概念的本质，追溯概念本源,展现其形成过程,挖掘其内涵和外延，则能真正培养学生的数学抽象能力，这样才可以多角度强化对概念本质的理解，并能对概念的理解升华到一个新的高度，从而感悟概念的本质．

例如，在上面的案例中，笔者没有将期望的定义直接机械性地给出，或者仅仅通过练习简单地告诉学生如何求期望，而是仅仅围绕对“期望”本质也就是均值的概念去开展教学设计，展现了“期望”这个概念从发生、发展、研究到大数据应用的这样一个过程，这也正是追本溯源、挖掘“期望”概念的抽象形成的过程，学生可以更加全面地认识什么是“期望”．

2.3 本质揭示——注重数学思想方法的挖掘

数学思想方法不是孤立存在的，它总是“以具体的数学问题、数学知识等为背景，蕴含在具体的数学问题的解决过程中，蕴含在数学所有知识体系结构中，它是整个数学知识结构体系的有力支撑”[4]．我们现在所讲的数学核心素养，某种意义上来说也是一种对数学知识、数学思想方法的沉淀．因此，教师在平时的教学过程中，无论是概念课、习题课、复习课，都应该不断加强对数学思想方法和数学核心素养的渗透，让学生既能学到知识，又能感悟其中蕴含的数学思想方法、数学核心素养，从而提升理性思维的水平．

例如，在上面的教学案例中，先通过一个新闻报道让学生体会到“期望”是一种决策的重要依据，再通过设计摸奖的小游戏，帮助学生在面对决策问题时应树立“概率思想”，而这也正是“期望”本质所体现的具体数学思想．再如，在习题课“函数的图像”教学设计过程中，应紧紧把握函数图像这个“形”的特征，采用“画图—识图—用图”的方法，从不同的角度、不同的视角、不同的层次理解数学问题之间的内在联系，将抽象的数学语言与直观的数学图像结合起来，体会其中蕴含的数形结合思想，提升其直观想象和逻辑推理的核心素养．

2.4 本质揭示——倡导数学学习方式的转变

在数学问题本质揭示的教学过程中，倡导深度学习．在新课程改革的过程中，学生通过自主学习、合作学习、探究式学习、研究性学习的开展，开阔了学生的眼界，拓展了学习的方法，增强了学习的兴趣．尤其是与信息技术的有机整合等等都反映了一个事实——那就是新课程倡导数学学习方式的转变．反过来，这些新的学习方式也更加有助于学生了解数学概念以及数学结论产生的过程，理解直观和抽象的关系，让学生通过对数学知识、数学结论得到过程的探究，培养学生发现问题、提出问题、解决问题的能力，与此同时发展学生的创新意识和实践能力．

2.5 本质揭示——体现对数学文化的追求

数学是来源于生活的，数学中的每一个知识都是为了解决生活中的某一个或者某一类问题而产生的．在这些日常生活问题的解决过程中，形成了独特的数学文化．因此，这也是数学知识本质的来源之一．在数学知识本质的探索过程中，可以通过介绍数学的历史发展进程，尤其是数学突破时那种为科学献身的勇气，欣赏世界上著名数学问题，感悟著名数学家对那些知识孜孜不倦、百折不挠的探索经历等等，感受数学的博大精深，激发学生学习数学的热情．