学习力视角下数学课堂教学的难点突破*——以“方程的根与函数的零点”为例

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(浙江师范大学附属宁波市四明中学,浙江 宁波 315040)

●唐恒钧

(浙江师范大学教师教育学院，浙江 金华 321004)

在信息化社会，学会学习已成为学校教育的一个重要目标，而学生学习力的发展是实现学会学习的重要保障.文献[1]提出了数学学习力的结构模型，其中3个基础性要素为“知识与经验”“思维与方法”“兴趣与价值”[1].这事实上也为课堂教学的难点突破提供了指向.具体地，课堂教学的难点往往产生于3个方面：1)新学内容本身过于抽象；2)学生缺乏学习新学内容的知识与经验基础，缺少固着点；3)学生对新学内容缺乏价值感.笔者正是基于这些方面的思考，通过课例的形式开展如下教学探索.

1 课例设计的背景与基本思想

“方程的根与函数的零点”设置在《数学(必修1)》第2章借助图像研究了基本初等函数的性质之后和第3章应用函数模型解决实际问题之前，为下节课“用二分法求方程的近似解”等算法的学习作准备，起着承上启下的作用，对于学生核心素养的提升与发展起着非常重要的推动作用.

由于学生认知水平的局限性，学生对于图像穿过x轴这种直观感受不够深刻，也缺乏用抽象的代数符号来描述这种现象的学习经验，因此对于零点的存在性定理在理解上存在较大的困难.

在教学设计中遵循了以下思路：提高学生对函数的广泛运用以及函数与方程等数学内容有机联系的认识，加强知识之间的联系，具体体现在结合函数的图像、判断方程根的存在性及根的个数，从而了解函数零点与方程根的关系，进而探究函数零点存在的条件.为了突破难点，笔者尝试通过借助信息技术手段，经历具体的二次函数到一般的二次函数再到一般的函数的过程，层层递进，设计恰当的问题[2]，自然地引出函数零点存在的两个条件.

2 教学过程简录

问题1浙江省绍兴市某日早晨2时的气温是-1 ℃，中午12时的气温是4 ℃，在这段时间内，假设气温是均匀变化的，问是否存在某时刻的气温为0 ℃？你能从数学的角度来解释这个现象吗？

设计意图从学生熟悉的生活实际出发，引导学生复习函数的概念，得出该函数是一次函数.教师追问函数的图像，学生可能会忽视定义域[2，12]，回答是一条直线，教师及时纠正，再引导学生从形的角度观察是一条穿过x轴的线段，因为经过点(2,-1)与点(12,4)，又是连续不断的，必然会与x轴相交，引导学生思考“如果从数的角度怎么解释呢？”从而自然地引出本节课的课题.

问题2用几何画板展示方程x2-2x-3=0，x2-2x+1=0，x2-2x+3=0的根及对应函数的图像，再用动画演示一元二次方程的一般形式中改变各系数时对应的动态图像.请大家观察具体的一次、二次方程的根与对应的函数图像，你能发现这其中有什么关系吗？这种关系能在一般形式的二次函数中成立吗？

设计意图从学生熟知的、具体的二次函数入手，在学生的最近思维发展区设置问题，使新知识与原有知识形成联系，并通过从具体到一般的认知过程，自然地给出零点的概念.这样做，既有利于学生掌握知识，又有助于学生抽象思维能力的形成，培养他们的归纳概括能力，同时用动画演示非常形象生动，让学生在直观上对二次方程的根与交点的横坐标之间的关系有深刻的印象.

问题3方程的根、函数图像与x轴是否有交点以及函数的零点之间有什么关系？除了二次函数之外，其他函数也有这种关系吗？

设计意图引导学生讨论得出在具体的二次函数中存在等价关系，事实上可以推广到一般的二次函数中，进而可以推广到更一般的函数中，体会“具体到一般”的数学思想.教师在学生回答的过程中应及时纠正引导，三者虽然是等价关系，但涵义是不相同的，并且等价关系具有传递性，即方程有实数根、函数图像与x轴有交点以及函数有零点是相互等价的，可以相互进行转化.

问题4那又怎样判断函数有没有零点呢？

设计意图希望除了用方程有没有根、函数图像与x轴有没有交点之外，寻求别的方法，自然地去探究零点的存在性定理.结果这里学生的回答比较出乎预料，从学生的回答中发现他们有根深蒂固的认识，就是方程的根就只理解为一元二次方程的根，这也是知识负迁移的结果，教师应引起重视.

问题5除了求相应方程是否有根外，还可以用什么方法呢？请大家观察函数y=x2-2x-3的图像，你能发现什么现象？

(用动画演示函数图像上的动点从x轴上方穿过下方、再从下方穿过上方的动态的过程，同时用声音突出显示动点穿过零点所在的位置时的变化，以及用颜色显示相应端点函数值的符号变化，加深学生的直观感受.)

问题6我们发现，二次函数f(x)=x2-2x-3在区间[-2,1]和区间[2,4]内各有一个零点，在这两个区间内，函数图像有什么共同点？函数值的变化有什么共同点？

设计意图希望学生得出函数图像的共同点是“经过x轴”，函数值的变化共同点是“在零点的左右两侧，函数值异号”[3]，体现从形到数的思想，也体现出从动到静的变化，但是学生对于把“穿过x轴的图像特征”转化为“代数表示”是有很大难度的，对零点存在性定理的概括和准确描述也是有困难的.于是组织学生讨论：在区间[-2,1]内，f(-2)>0，f(1)<0，函数值一正一负，在区间[2,4]内，f(2)<0，f(4)>0，函数值一负一正，它们可以归类为函数值异号.并进而引导学生建构出用两个函数值相乘为负(f(a)·f(b)<0)来表示异号.

问题7刚才发现，当这个二次函数在区间的两个端点上函数值异号时有零点，那函数值同号时的情况又怎样呢？

设计意图引导学生从直观上感受发现函数值同号时可能有零点，也可能没有零点，在此可以借助信息技术多展示一些基本的初等函数图像，比如当Δ=0时的二次函数图像，为帮助学生理解零点存在性定理中的条件是充分不必要的做好准备.

问题8进一步把问题进行推广，在讨论中发现：若二次函数在区间两端点上的函数值异号时，则在这个区间有零点；若同号，则不一定不存在零点.这个结论能推广到一般的函数吗？需要符合什么条件？

设计意图对于函数零点的存在性定理，由于高中不讲“连续函数”的概念，不可能以有关连续的定义来进行推理，《数学(必修1)》的教师教学用书也明确提出只要求学生理解并会用，不需给出证明，因此只需让学生从直观上再次体会“具体到一般”的思想，探究后自然地得出函数零点存在的两个条件[4]，让学生尝试描述零点存在性定理，并完善补充.

在之后的教学中，通过4个辨析题加深对零点存在性定理的理解.因为零点存在性定理中的条件对于结论而言是充分不必要的，而且结论是至少存在一个零点，要判断零点的个数又需要结合函数的单调性等性质进行判断，自然地引出下面教材例1中零点唯一性的讨论.限于论文的主题，不再展开这些环节的教学描述.

3 若干反思

在本节课的教学中，笔者试图从以下3个方面突破教学难点：首先，为了使学生的数学学习建立在其经验基础之上，教学中采用了利用生活经验理解数学问题及数学知识的策略，即在导入阶段创设了“绍兴一天温度变化”这一生活情境，并要求学生从数学尤其是函数的角度理解这个问题，这既让学生感受到数学就在身边，增强数学学习的兴趣及价值感，同时也为后续新知识的理解提供了一个范例性的表征.

其次，为了减缓由于数学内容的抽象性给学生造成的困难，教学中采用了具体化的处理手段.具体地，课堂中让学生从对一次函数、二次函数等熟悉的函数及相应的方程的探索开始，初步归纳出结论，进而推广到一般函数及相应方程中的结论.而在上述探究过程中，还利用信息技术，通过函数图像上点的动态变化过程，让学生直观地发现在点穿过x轴前后函数值的变化特点，使零点存在性定理这样一个比较抽象的定理显性化.

再次，通过过程性的经验展现数学的思维过程，使逆向思维变得更容易.在零点存在性定理的发现过程中，需要应用逆向思维，这对于学生而言是比较困难的.教学中让学生经历从具体函数到一般函数的探索过程，使得逆问题的提出变得更为自然而有脉络，而上述探索过程又为学生理解逆向问题提供了讨论基础与经验.

[1] 唐恒钧,陈碧芬,张维忠.基于学习力视角的高中数学课程建设[J].当代教育与文化,2016,8(2):17-21.

[2] 唐恒钧.基于问题驱动的数学教学设计[J].中学数学教学参考，2013(6):64.

[3] 章建跃.方程的根与函数的零点的教学[J].中国数学教育,2012(1/2):17.

[4] 魏仁洪.方程的根与函数的零点的教学实录与教学反思[J].数学通讯，2016(8):30.