追本溯源，谈分式概念教学

郭源源

（江苏省南京市金陵中学西善分校）

在当前的教学背景下，存在着不重视章节起始课的概念教学的现象，即将概念的来源、概念产生的必要、概念本质生成的过程一带而过，将概念课上成解题课.章节的起始课，涉及到本章知识内容的学习路线，研究问题的一般方法，以及知识背后所体现的数学思想，所以概念起始课对于本章知识来说至关重要.笔者很认同李邦河院士的一个观点，他认为，数学根本上是玩概念的，不是玩技巧，技巧不足道也！以解题教学代替概念教学的做法严重偏离了数学的正轨，必须纠正.

笔者以“分式”一节课为载体践行“关注概念产生的必要性与合理性”的理念，基本想法是聚焦概念教学，探索概念教学的基本规律.期待笔者的案例能抛砖引玉，希望广大教师积极参与“如何讲好数学概念课”的讨论.

一、教学背景简析

“分式”是章节的起始课，属于概念课.笔者对这节课的感受是不难上、难上好.为此笔者没有采用大众化的讲法（通过问题情境产生代数式—分类辨析出定义—概念的应用拓展），而是认为想让学生从根本上认同这个概念，还需要从它产生的必要性和合理性来引入.

学生的认知结构中已经有了分数和整式的概念，为什么还要引入分式？相比而言分式有什么特殊的优势，而这种优势是分数和整式做不到的？针对这一点，笔者设计了“从整到分，从数到式”的活动1来阐释分式产生的必要性.

从分式的构造上来看，分式是否真的和整式一点联系都没有？分式可否认为是整式之间通过某种运算构造出来的？针对这一点，笔者设计了“分式构造”的活动2来解释分式和整式的关联.

二、教学设计简述

活动1：（1）40 m2的房子，有的面积铺地板，则地板的面积是_____.

（2）40 m2的房子，有的面积铺地板，则地板的面积是_____；如果有6套这样的房子，则地板总面积是_____.

【设计意图】有了整数和小数，为什么还要引入分数？活动1让学生充分感受到分数的优势：一方面，分数使数学中的问题结果更加简单明了；另一方面，有助于问题的进一步运算.这样的设计既让学生认同了整数到分数知识逻辑的合理性，又为后面的整式到分式做好铺垫.

（3）am2的房子，有的面积铺地板，则地板的面积是_____；如果有2b套这样的房子，则地板总面积是_____.

【设计意图】这一问将所有的数字换成了字母，从数的问题变成了式的问题.一方面，让学生理解当运算结果无法用整式呈现时，学生只能用一类新的式子（即分母中带有字母的式子）呈现；另一方面，这一类分母中带有字母的式子也更加有利于进一步的式的运算.所以在数到式的发展过程中，分式的产生是必然的，是有必要的.

在学生理解了分母中带有字母的式子产生的必要性和合理性之后，就应该给这样的式子定义一个名称，即分式.

整式和分式之间有联系吗？通过整式之间的运算可以构造出分式吗？

活动2：在(a+1)，3，(a-1)这三个整式中，每位同学任选两个整式进行加、减、乘、除运算，把所得的结果填在学习单中.

问题：（1）所得结果都是整式吗？

（2）新的代数式有何特征？

（3）它是由整式之间的何种运算构造出来的？

（4）你能从运算构造上给分式下个定义吗？

【设计意图】通过活动2让学生理解整式和分式并不是毫无关联的两个概念，整式之间的运算可以产生分式；同时让学生在经历了“分母中带有字母的式子就是分式”这样简单的认识之后，又更加完善地领悟了分式的完整定义，即一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式.

活动3：求分式的值.

（1）a=3；（2）（3）a=-2.

【设计意图】笔者并没有直接提问“当a为何值时，分式没有意义？”而是采用倒逼的方法.当a=-2时，学生在计算分式的值时会出现各种错误，学生就会思考：当分母为0时，究竟分式的值是0，还是无意义？从而总结出分式有意义的前提，即分母不为0.在学生的概念形成过程中，笔者认为不要刻意的去回避一些常见的认知错误，碰壁也是一次很好的纠正错误的机会.

活动4：关于分式，何时分式无意义？何时分式有意义？何时分式的值为0？

【设计意图】这样的题目既要兼顾到分子也要兼顾到分母，要求学生对分式有意义、无意义、值为0三种情形及背后隐含的条件理解到位；让学生在解决问题中产生困惑，基于困惑的内容去寻找抽象知识背后的本质，实现逐层的分解与消化，达到真正理解和领悟，并从中理清三种情形之间的关系，体会研究问题中“去杂”思想，进而探得概念的“完形”.

活动5：归纳总结.

（1）说说本节课我们是怎么研究分式的？

（2）你能用结构图的方法画出分式的研究顺序吗？

（3）你会用研究分式的方法，去研究今后要学到的无理数到无理式吗？

【设计意图】通过归纳总结，让学生站在思想方法的平台上进行思维追溯，以对数学的本质理解为理念，走出千篇一律的设计，给学生留下带得走的东西，让学生能在数学的道路上越走越远.

三、概念教学简思

何为概念？查阅资料显示，概念是人脑对现实的对象和现象的一般特征和本质特征的反映.每一个概念都有它的内涵和外延.概念的内涵是指概念所反映的事物本质属性的总和；概念的外延是指具有该概念所反映的本质属性的一切事物.总结一下笔者的感悟，可以从以下两点来理解.

（1）通过恰当的背景引入，结合前期同类知识在接下来研究过程中出现的困惑和不足，需要这种新概念的产生，从而揭示概念产生的必要性.

概念的建构需要经历三个阶段，即感觉、感知和感悟.感觉阶段学生仅凭自己的直观认识或字面意思对概念进行初步的了解，并不涉及到内在本质；感知阶段学生通过操作、体会、对比、实践等逐步掌握概念的内在属性和其细节；感悟阶段学生能通过自己的经验积累，类比知识发现其内在的联系，掌握和理解概念的本质属性.三个阶段中如何让学生清楚地体会到新概念的必要性？笔者认为要做好两点；一是了解相应的数学背景，根据背景选择恰当的切入点，使得学生已有的基础知识、基本方法或经验不足以解决新问题，因此迫切需要引入一种新的概念来延续和推广知识；二是背景的选择要有普遍性和适应性，能真实的反映问题，并能提炼出概念的本质属性，这种背景中的问题也是渗透新概念的研究方法和研究方向的载体.总之通过背景来引导学生发现问题、提出问题、分析问题、解决问题，进一步体会过程中蕴涵的思想方法，感知概念产生的必要性.

（2）通过课堂上的互动，多角度的思考问题并解决问题，用思维碰撞来揭示概念产生的合理性.

概念的生成过程是学生得以完善知识并提升自身认知水平的根本，也是培养学生数学思维、数学兴趣的媒介.本节课中，笔者并没有草率、快速地强调概念的关键词，并让学生记忆其特征，而是采用师生的互动、问题的碰撞，让学生明白为什么要这样规定？这样规定之后所有问题是否都能得以顺利解决？从而体现新概念的优越性，也进一步揭示了概念产生的合理性.