数学实验情境教育素养的取析原则

朱桂凤，孙朝仁

（江苏省连云港市凤凰学校；江苏省连云港市教育科学研究所）

数学是研究数量关系和空间形式的工具性科学，其发生与发展突出了“情境教育论”特征的可取析原则（人的思想是情境性的），包括原型使用、直观监控、建模回归，以及审美补偿的思考原则，而这些数学核心素养性质的基本原则，正是当下数学实验得以前沿发展的动作目标机制，其研究前景广阔、意义重大，是数学实验研究进入新时期的标志性事件.

基于约翰·比格斯（John Biggs）教授提出的SOLO（structure of the observed learning outcome，可观察的学习结果的结构）评价理论框架，即学生对某一具体问题反应的分析，对学生解决问题时所达到的思维水平进行由低到高的五个基本结构层次的等级划分：前结构水平、单点结构水平、多点结构水平、关联结构水平、拓展抽象结构水平.数学实验研究组把问题情境蕴含的数学问题分为单式结构、多元结构、关联结构和移情关系结构，涉及原型、直观、建模，以及审美等认知原则，这些结构关系的定性建设有助于数学实验核心素养成分适位取析，有助于后续课堂素养教学产生式形成，有助于数学实验素养力一般原则的科学建立.

一、原型使用原则

在数学实验素养形成范畴，原型特指专家头脑中观念的、内潜的、简缩的经验，这些高度简约的经验是心理模型的外部化，是数学实验研究的目标产物，有助于数学基本套路、基本方法的形成.可以说，原型使用的过程就是专家头脑内部的思维操作过程，包括原型定向、原型操作和原型内化三个维度.换句话说，“做数学”就是定向原型；“想数学”就是操作原型；“说数学”就是内化原型.就这一理解来说，原型使用的原则就是让学生在具体情境中，经历概念抽象，形成概念理解模型，并在使用和解释概念中，形成方法套路，有助于对数学概念本质的把握.例如，一个有素养的人，就是当其置身于特定情境的时候，有满足情境所需要的“恰当性、充分性或态度”，概念原型使用的过程也是如此，涵盖素养的“做”、素养的“思考”和素养的“表达”.

根据《义务教育数学课程标准（2011年版）》（以下简称《标准》）中的内容来看，模型思想就是心理原型的可替代概念，包括从现实生活或具体情境中抽象出数学问题，属于原型定向行为；用数学符号表示数学问题中的数量关系和变化规律，属于原型操作行为；求出结果并讨论结果的意义，属于原型内化行为.为此，在数学实验形成素养范畴，以突出单式思维结构为特征，要做好三个层面的认知工作：一是设计适合的问题情境，落实原型定向目标；二是通过“做数学”，构建原型操作意义；三是通过“想数学”，落实原型内化目标，实现原型使用的目标原则，落实原型素养建设意义.

不妨以“无理数”的概念课为思考窗口，显化原型使用的一般原则，有助于数学模型素养的建构与层级.该节课具体实施流程如下：（1）让学生任意画出两个面积为100 cm2的正方形并剪下来，再分别沿对角线剪开，得到四个完全一样的等腰直角三角形，再拼成一个大的正方形；（2）让学生猜想拼成的大正方形的边长a可能是什么数，并说明理由.借助数轴，呈现该正方形边长表示数的点，以及该数的特征，引进无理数概念；（3）让学生通过内模仿，在数轴上画出表示无理数-a的点，感受无理数可以用数轴上的点表示；（4）让学生设计在数轴上画出表示π和-π这两个无理数的点，并思考常见的无理数还可以有怎样的形式模型.

在问题情境的研究范畴，情境认知论从发展核心素养的目标出发，确定心理学研究的重点在于如何使个体接受外界输入的刺激（或信息），对信息进行加工的输出行为.原型定向的过程就是外界信息得以输入的过程，加工信息的过程就是操作原型的过程，输出行为就是原型使用与解释的过程，关乎概念的使用与解释.如果说，“画—剪—拼”的行为是问题情境的思维蓄势，那么“猜想—符号化—具体化—形式化”行为则是原型操作的表现，“内模仿—类化—再设计—产生式”行为则是原型内化的表现；如果说，情境为概念发生提供了客观条件，那么“做数学”则为概念属性的获得提供了行为认知支撑，“表达数学”则为概念的使用与解释提供了不可或缺的素养条件.因此，在数学实验素养教育范畴，原型使用的原则就是基于情境、抽象概念、使用概念和解释概念，落实模型应用意识目标.

二、直观监控原则

在数学实验认知论范畴，直观是初中阶段学生认知数学的主要方式，是通过对客观事物属性的直接接触而获得的感性认识.在大多数情况下，数学的结果是“看”出来的，而不是“证”出来的.在数学学科中，对于结果的预测和对于原因的探究，起步阶段依赖的都是直观.例如，基本图形的边、角要素、两点确定一条直线的基本事实等都是“看”出来的或“数”出来的一样，不需要逻辑证明.在数学实验情境研究范畴，直观监控就是通过直观的“做”获得感性猜想，通过直观的“想”获得理性认识，通过元认知的直观监控行为及时地将感性认识上升到理性认识水平，有助于学生对数学概念的完形把握和多元结构思维范式的形成.

从《标准》来看，数学实验研究领域的几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、形象，有助于探索解决问题的思路，预测事项结果.例如，在日常实验教学中，常常有一些学生能正确地确认答案，但却不能解释答案成立的依据，这或许就是直观的教育力量.当然，这里的几何直观是直观的概念成分，是初中段学生学好数学的思维起点，有助于学生直观地理解数学，形成创造性数学思维习惯.在一定层面上，可以说数学实验是一门系统性质的直观科学，在可能的情况下，要让学生在“动手—做数学”的过程中，伴随能力可及的反问监控（例如，你是怎么想的？这样思考的依据是什么？接下来还需要做哪些工作？等等），落实“知其然，且知其所以然”的素养认知目标.为此，教师在直观监控实验教学的过程中，要遵循三个基本原则：一是设计的问题情境要直观，便于思维监控的层次性操作；二是问题反应块要具有直观性，便于反问监控的随机发生；三是数学思考要直观，便于直觉思维选择功能的发挥，进而实现数学实验的经验课程意义.

不妨以“用字母表示数”章头实验为研究窗口，落实直观监控数学实验教育原则，具体研究路径如下：（1）让学生指出月历中相邻数据的数学关系，以及选择用字母表示数的方法，并尝试表示；（2）在设计月历游戏的过程中，通过学生的设计成果发展代数思维的直观性.学生设计的成果有：框出横行连续的四个数，如何用字母表示数？框出竖列连续的四个数呢？如何表示“2×2”型和“3×3”型矩形框中数字的数学关系，等等；（3）让学生在问题设计与问题解决中发展元认知监控意识.例如，小明一家外出旅游5天，这5天的日期之和是20，小明几号回家？其中元认知监控意识可以为：日期之和怎样确定符合目的性？5天之间的数学内部关系是什么？等等；（4）让学生设计同类型的数学实验问题，在问题解决中使学生积累用字母表示数的能力素养，落实数学实验多元结构性的直观认知目标.

在数学实验素养教育范畴，《数学领域中的发明心理学》一书从直观监控的原则出发，认证数学创造的过程需要经历准备（实验设计）、酝酿（操作思考）、顿悟（类比猜想）、整理阶段（验证、使用与解释）等多元思维结构行为.在雅克·阿达玛看来，无意识不仅要担当起构造各种各样思想组合的复杂任务，而且还要根据我们的审美原则去做最细微、最本质的选择.结合“用字母表示数”一课的实施过程来看，用字母表示数是算术思维到代数思维的过渡环节，是研究算术思维与代数思维的分水岭，反映直观监控知觉素养水平的本体意义.在这里，实验研究组把研究数学关系、尝试表示的直观行为看作是情境素养教育的起点，把设计月历游戏的行为看作是反问监控随机发生的具体表现，而“问题设计—问题解决”则是数学思考得以有序落地的外在表现，设计同类实验方案是数学实验思维得以延伸发展的可实现载体，有助于数学实验素养层级的可实现目标及其一般原则.

三、建模回归原则

数学建模和数学解模是数学实验研究的两个不同思维方向，前者是概念模型化行为，后者是还原概念模型行为，两者是哲学研究的两个方面，涉及抽象与具体的逻辑关系.在学科认知论范畴，数学建模是用数学的概念、原型和思维方法描述现实世界中具有数学规律性的事物.换句话说，依据学生的已有经验，尊重学生的年龄特征，让学生体验从实际背景中抽象出数学问题、构建数学模型、寻求结果、解决问题的过程就是建模与解模的一个框架范式.当然，数学建模都依赖于学科情境（数学内部关系，如通过整式乘法运算引进因式分解算理等关系行为）和生活情境（概念的几何背景或概念的先行组织行为）的结构关联，并在应用模型解决现实问题中体现出数学实验不可替代的工具性作用.

在数学实验应用意识范畴，《标准》从建模回归的意义出发，强调应用意识素养层级的积极意义.一方面，其内涵是有意识利用数学的概念、原理和方法解释现实世界中的数学现象，解决现实生活中的数学问题，反映数学服务生活的工具作用；另一方面，认识到现实生活中蕴含着大量与数量和图形有关的可实验问题，这些问题可以抽象成数学问题，用数学实验的方法予以解决.显然，这里的行为动词“抽象”就是实验建模的执行动作，而“解释”“解决”行为则是“还原数学”“回归数学”的表现形式.就这一理解来看，在整个数学教育过程中都应该培养学生的数学应用意识.为此，数学实验在建模回归层面有以下工作要做：一是提供先行组织材料，为抽象建模提供承担载体；二是搭建思维支架，落实建模过程；三是在思维发展区设置应用问题，验证模型及使用模型解释现实问题的能力.

不妨以“火柴棒拼图”这一微实验为例，基于数学建模素养的关联取析，落实模型化建设的结构思想，揭示数学实验在初中数学教育中的发展意义.具体实验建模线索如下：（1）让学生用火柴棒任意拼出1个基本图形（三角形或四边形），研究拼2个正方形和20个正方形各至多需要多少根火柴棒？各至少需要多少根火柴棒？拼一拼并猜想、验证你的结论；（2）让学生猜想用20根火柴棒至多能拼多少个正方形？200根呢？（3）让学生猜想拼n个正方形至少需要多少根火柴（结果为3n+4），说明理由，并通过拼图验证结论的合理性；（4）让学生设计用火柴棒任意拼三角形的方案，并猜想拼n个三角形至少需要多少根火柴棒？用100根火柴棒至多能拼多少个三角形？并验证设计方案的合规定性.

建模的过程，就是把复杂的实际问题简化、抽象为合理的数学结构过程.观察和研究实验对象固有的特征和内部规律，抓住问题的主要矛盾，建立数量关系模型，从而用数学理论方法进行分析解决.这里从“拼正方形”活动抽象出数量关系（3n+4），形成的模型框架（3n+4）可以看作是先行组织行为的外在表现；使用模型、验证模型和解释模型的行为是搭建思维支架的具体例子，反映数学实验的还原功能与解模过程，落地实验回归的本体意义.而把设计“用火柴棒拼三角形”方案看作是在最近思维发展区设计问题的可靠表现，并以此投射数学实验的建模作用和关联结构意识的进一步发展，有助于数学建模关系的回归与可实现意义.换而言之，也就是建模回归为数学关联结构关系的建立提供了不可或缺的经验和应用力量.

四、审美补偿原则

在数学实验实施策略范畴，审美补偿是将客观经验上升到共性理论的必备思维环节，是以学习者的认知活动行为为研究对象的二次认知活动，反映一个人数学素养的层次属性，涉及移情关系结构（审美况下的结构性知识迁移）的内部力量.就数学实验的补偿原则来看，审美认知活动是对主体认知行为一种必不可少的思维补偿，涉及“你正在做什么的情绪”“做的怎样的情绪”“为什么这样做的心理状态”“还可以怎样做的思维选择”等.一般来说，人的审美活动的对象是外在的、具体的，有如做某个具体的数学实验，做的怎样，完成情况怎样，还需要做什么等要素成分可指出、可表达、可解释；而审美补偿的对象是内在的、抽象的，是对主体自身正在进行的认知活动的二次审美，反映数学实验的知识经验得以系统化的普遍手段.进一步来说，审美补偿包括审美知识（认知知识、任务知识和策略知识）、审美体验（认知体验、情感体验）和审美监控（计划—监控—调节）.由于初中阶段学生的数学审美更多的倾向于策略认知，因此审美补偿突出了以审美策略为主流的信息加工行为.

有心理学家证明，人的学习83%通过视觉，11%通过听觉，3.5%通过嗅觉，1.5%通过触觉，1%通过味觉.这些感官学习行为及效能是对审美认知的一种元认知性质的补偿，有助于学习个体创新意识行为习惯的养成.《标准》从审美补偿原则出发，对创新意识的培养是现代数学审美教育的基本任务，应体现在教与学的过程之中.学生自己发现和提出问题是创新审美的基础；学会思考是创新审美的核心；归纳概括所得到的猜想和规律，并加以验证，是创新审美的重要方法.创新审美意识的培养应该从义务教育阶段做起，贯穿初中数学教育的始终.可以这样说，数学教育的根本目的是服务于生活审美，突出创造能力的培养机制.为此，数学实验在审美补偿层面需要遵循三个原则：一是“问题组块”本身合学生的审美目的，实现兴趣认知；二是借助“提出问题思维块”，发展学生的审美创新意识水平和半审美创新能力；三是通过“元认知监控反应块”，促进学生审美补偿能力的发展，以及反哺能力的生长.

不妨以“代数式的值”为实验研究的载体，落实审美补偿的学习原则.具体活动实施线索如下：（1）让学生通过火柴棒趣拼小鱼，在实际拼图过程中，研究拼小鱼的条数与火柴棒的根数之间的数量关系，可以通过数火柴棒根数和小鱼的条数来建立数量关系及其内部的数学规律，落实审美补偿的思想原则，即思考过程中伴随着层次性反问（用同样的方式拼1条、2条、3条、10条、100条小鱼各需多少根火柴棒？拼n条呢？你发现了什么？你是如何猜到的？说说你的理由）；（2）让学生猜想用602根火柴棒用同样的方式可以拼多少条小鱼？你能再提出一个类似的逆向思考的数学问题吗？由此你认为在由特殊到一般再到特殊的审美思考过程中，如何得到代数式的值？在具体求值的过程中，应该注意哪些易错问题？（3）让学生任意写一个含有一个字母的一次二项式，并给定其中所含字母的不同值，在运算程序的指向下求出代数式的值，通过对有代表性的代数式及其结果的选择组合与展示，以表格形式呈现数据研究结果.通过观察表格，依据数据走向，确立代数式值的发展走向，落实感官审美补偿的直接价值目的.

批判性与创造性是澳大利亚数学课程七大通用能力之一，主要表现在数学问题解决方案的探索、归纳、反思和评价中.在数学实验审美补偿研究范畴，批判审美补偿发生的动力体系是数学逆向思考的结果状态；而创造是数学创新意识的执行状态，反映数学实验审美补偿的力量.如果把探索归纳看作是数学实验审美的审美行为，反思评价则是实验审美的补偿行为，关乎移情关系结构水平的建立.当然，就实验审美的三个步骤来说，内模仿是归纳性质的审美补偿，移情是反思性质的审美补偿，而心理距离则是评价性质的审美补偿.就“代数式的值”一课的学习方式来说，以拼小鱼为承担载体建构一般意义上的代数式范式，在“特殊—一般—特殊”思想方法参与下，引进代数式的值的概念.这种问题组块符合学生的审美目的，有助于其认知情绪的正向发展.对于“探索—归纳—逆向思考—提出问题”，可以理解为创新意识行为得以发挥，有助于学生创新方法及其审美批判能力的提升；对于“写条件式—统整表格—数据走势”，可以解释为审美补偿的溶解状态，突出学会思考与教会思考创新目标的实现，实现了关键能力、审美习惯落地的数学实验课程素养性目标.