改编题组，开放学习

张云锋

培养学生的思维能力是数学教学的重要目标，而改编题组能更好地实现这一目标.改编题组是对教学中的定理和命题进行不同角度、不同层次、不同背景下设计的一系列变式习题，其目的是暴露问题的本质，提示知识点的内在联系.改编题组常常给人带来新鲜感，能够唤起学生的好奇心和求知欲，提高学生参与教学活动的热情.这对培养学生思维的发散性、灵活性、深刻性、广阔性、创造性至关重要.下面依据本人的教学实践归纳几种类型.

一、条件与结论互换改编题组

一个数学命题包括题设与结论两部分，而题设与结论是互逆的.若交换问题的条件和结论位置，就会变成一个新的问题.其作用不仅能使学生理解概念或公式或定理等，而且能开阔学生的数学视野，增强学生思维的灵活性.

例如，在讲“平行四边形性质与判定”时，为了让学生理解平行四边形性质与判定和其他知识的综合运用，我对课本中一道题目进行改编，并设计成一类条件与结论互换的改编题组.

1.如图1，四边形ABCD是平行四边形，∠ABC=70°， BE平分∠ABC且交AD于点E，DF∥BE且交BC于点F.求∠1的大小.（人教版八年级下册第50 页第10题）

2.如图1，四边形ABCD是平行四边形，∠1=35°，BE平分∠ABC且交AD于点E，DF∥BE且交BC于点F.求∠ABC的大小.

3.如图1，四边形ABCD是平行四边形，∠1=35°，∠ABC=70°，DF∥BE且交BC于点F.求证：BE平分∠ABC.

4.如图1，四边形ABCD是平行四边形，∠1=35°，∠ABC=70°，BE平分∠ABC且交AD于点E.求证：DF∥BE.

通过以上4道条件与结论互换的题组训练，不仅能使学生理解平行四边形的性质与判定，而且能使学生灵活地掌握平行四边形与其他知识的综合运用，使学生的知识面更广，思维更灵活.

二、横向类比改编题组

横向类比改编题组是对于一个较复杂的题目或知识点，通过横向类比设置同一类题组揭示问题本质或规律，从而使学生容易接受知识，尤其是基础一般的学生，其效果尤为突出.

例如，在讲“一次函数的性质与图象”时，为了使学生理解一次函数的解析式与其图象之间存在的内在联系，我设计如下题组.

1.一次函数y=kx+b中，kb>0，且y随x的增大而增大，则它的图象大致为（）.

2.一次函数y=kx+b中，kb>0，且y随x的增大而减小，则它的图象大致为（）.

3.一次函数y=kx+b中，kb<0，且y随x的增大而增大，则它的图象大致为（）.

4.一次函数y=kx+b中，kb<0，且y随x的增大而减小，则它的图象大致为（）.

5.一次函数y=kx+b中，kb<0， k

6.一次函数y=kx+b中，kb<0， b

7.一次函数y=kx+b中，bk>0，且y随x的增大而减小，则它的图象大致为（）.

8.一次函数y=kx+b中，-kb>0，且y随x的增大而减小，则它的图象大致为（）.

通过上面的题组训练，学生容易理解一次函数的解析式中的比例系数k与常数项b是如何决定其图象在平面直角坐标系的位置，从而使学生明确两者之间的内在联系，并达到举一反三、触类旁通的效果.

三、纵向深化改编题组

纵向深化改编题组是拓展知识、深化知识的一类题组，由简单到复杂，由容易到困难，层层递进，步步深入，从问题的不同角度、不同方面去分析和探索，由浅入深，从一个简单的原问题引申出一类较难的新问题，引导学生运用所学的知识、方法去探究、分析和思考，获得类似问题的解答.

例如，在講“全等三角形”时，为了使学生掌握全等三角形的性质和判定方法，我设置如下改编题组.

1.如图2，点B，F，C，E在一条直线上，FB=CE，AB∥ED，AC∥FD.求证：AB=DE，AC=DF.（人教版八年级上册第44 页第11题）

2.如图3，点B，C，E，F在一条直线上，BC=EF，AB∥DE，AC∥DF.求证：AB=DE，AC=DF.

3.如图4，点B，F，C，E在一条直线上，FB=CE，∠B=∠E，∠ACB=∠DFE.求证：AB=DE，AC=DF.

4.如图4，点B，F，C，E在一条直线上，FB=CE，AB∥ED，AC∥FD，连接AF和DC.求证：∠CAF=∠CDF.

5.如图4，点B，F，C，E在一条直线上，FB=CE，∠B=∠E，∠ACB=∠DFE.连接AF和DC.求证：AF=DC.

这样的题组训练，通过题目条件和图形的不同变换，由前三题的证一次三角形全等自然地过渡到后四题证二次三角形全等，由易到难，由浅入深，使学生对全等三角形的性质和判定有深刻的理解，从而提高学生思维的灵活性和深刻性.

四、综合创新改编题组

综合创新改编题组是培养学生综合能力和创新能力的一类题组.其特点是知识面涵盖广，知识点之间的内在联系密切，其目的是提高学生解决综合题的能力，并培养他们的创新思维.

例如，在讲“矩形”时，为了使学生开阔思维，敢于创新，我设置如下改编题组.

1.如果我们身旁没有量角器或三角尺，需要做600，300，150 的角等大小的角，可以采用下面的方法：（1）对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展开.（2）再一次折叠纸片，使点A落在EF上，并使折痕经过点B，得到折痕BM.同时得到了线段BN.如图5.观察所得到的 ∠ABM，∠MBN和∠ NBC ，这三个角有什么关系？你能证明吗？（人教版八年级下册第115页教学活动1）

2.由原题1的双折叠改编成三折叠：如图6，沿MN线折叠得折痕MH，点B在直线MD上.利用展开图探究：△BMH是什么三角形，并证明你的结论.

3.在原题1的基础上增加一条垂线段，即PQ⊥EF.如图7，过点N折纸片，使折痕PQ⊥EF于N.（1）求证：△NMP∽△BNQ.（2）求证：MN2=BM·PM.（3）如果沿直线MN折叠纸片，点B是否能叠在直线MD上？

4.在改编题2的基础上，在原始点A、B和折点M、N之间钳上一个圆：折痕EF与BM相交于点P，以点P为圆心，PN长为半径画圆.如图8.（1）试问点A 、B 、M是否在⊙P上，为什么？（2） BC与⊙P相交于点R，连接RN，求证：四边形PBNR为菱形.（3）当ADAB为何值时， ⊙P 与CD相切？

5.在折叠的原图上建立平面直角坐标系：建立如图9的直角坐标系.若AB=2，请解答以下的问题：（1）填空：∠MNE=，M点坐标为.（2）若点M、N、E三点都在同一条抛物线上，求这条抛物线的解析式.（3）在（2）中的抛物线EM段（不包括E、M点）上，是否存在一点Q，使四边形ENMQ的面积最大？若存在，求出这个最大面积及此时Q点的坐标；若不存在，请说明理由.

这样的题组训练，使相关知识层层深入，环环相扣，知识难易阶梯式递进，提高了学生解决综合题的能力，培养了他们的创新思维.

总之，改编题组在数学教学的各个阶段起着不可代替的作用，能够体现教师的主导作用和学生的主体作用.学生主动参与教学，不仅有利于发展思维，促进知识的掌握，提高解题的能力，而且有利于培养学习兴趣、自信心等非智力因素，从而达到优化课堂教学、提高学生素质的目的.