同向追及碰撞问题的求解

■河北省衡水第一中学 朱建国

碰撞是指两物体经过极短时间的相互作用,而使各自的动量和动能发生明显变化的过程。在处理同向追及碰撞问题时,必须对动量和动能的变化进行综合的分析和判断。

一、处理同向追及碰撞问题时必须注意的三个特点

1.碰撞过程中系统的动量守恒：发生碰撞的物体间的相互作用力很大,作用时间很短,系统即便受到外力的作用,也可忽略不计,因此系统的动量守恒。

2.碰撞后系统的机械能不增加：由于发生碰撞的物体间存在相互作用力,使得碰撞过程中系统内各物体的动能发生变化。对于弹性碰撞,碰撞后系统的总动能不变;对于非弹性碰撞,由于有部分动能转化为系统的内能,故系统的总动能将减少。因此碰撞前系统的总动能一定不小于碰撞后系统的总动能。

3.碰撞后物体的运动状态符合实际情况：发生碰撞的物体应遵循客观实际。如物体A追上物体B并发生碰撞,则碰前物体A的速度必大于物体B的速度,而碰后物体A的速度必须小于或等于物体B的速度或物体A反向运动。

例1在光滑水平面上,动能为E0、动量大小为p0的小钢球1与静止小钢球2发生碰撞,碰撞前后球1的运动方向相反。将碰撞后球1和球2的动能和动量的大小分别记为E1、p1和E2、p2,则必有( )。

A.E1＜E0B.p1＜p0

解析：两球在相碰过程中必同时遵守动量守恒定律和能量守恒定律。因为外界没有能量输入,而碰撞中可能产生内能,所以碰后系统的总动能绝对不会超过碰前系统的总动能,即E1+E2≤E0,选项A正确、C错误。因为动量和动能满足关系所以选项A也可写成选项B正确。设球1碰撞前的运动方向为正,则由动量守恒定律得p2-p1=p0,所以选项D正确。答案为ABD。

图1

例2如图1所示,光滑水平面上有大小相同的A、B两球在同一直线上运动。两球的质量关系为mB=2mA,规定向右为正方向,A、B两球的动量均为6kg·m/s,运动中两球发生碰撞,碰撞后A球的动量增量为-4kg·m/s。则 ( )。

A.左方是A球,碰撞后A、B两球的速度大小之比为2∶5

B.左方是A球,碰撞后A、B两球的速度大小之比为1∶10

C.右方是A球,碰撞后A、B两球的速度大小之比为2∶5

D.右方是A球,碰撞后A、B两球的速度大小之比为1∶10

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解析：因为A、B两球的初动量均大于零,所以A、B两球均向右运动。因为碰撞后A球的动量增量为-4kg·m/s,说明A球受到负方向的冲力的作用,所以碰前A球的速度大于B球的速度。因为此过程是A球追上B球发生碰撞,所以A球在左方。根据动量守恒定律可知,碰撞后B球的动量增量为4kg·m/s,A球的动量为2kg·m/s,B球的动量为10kg·m/s,所以mAvA=2kg·m/s,mBvB=10kg·m/s,又有mB=2mA,解得vA∶vB=2∶5。答案为A。

二、同向追及碰撞问题的四类题型

1.碰撞后物体可能的速度。

例3两个小球在光滑水平面上沿同一直线同一方向运动,B球在前,A球在后,已知mA=1kg,mB=2kg,vA=6m/s,vB=2m/s。A球追上B球发生碰撞,则A、B两球碰后的速度大小可能是( )。

A.vA'=5m/s,vB'=2.5m/s

B.vA'=2m/s,vB'=4m/s

C.vA'=-4m/s,vB'=7m/s

D.vA'=7m/s,vB'=1.5m/s

解析：取两球碰撞前的运动方向为正,则碰撞前系统的总动量p=mAvA+mBvB=10kg·m/s,碰撞后,四个选项的数据均满足动量守恒。碰撞前系统的总动能Ek=则碰撞后系统的总动能应满足Ek'≤22J,故选项C、D被排除。选项A虽然满足动能关系,但不符合实际,即碰撞后A球不可能沿原方向比B球的速度更大。答案为B。

2.碰撞后物体可能的动量。

在同向追及碰撞问题中,设A球追上B球发生碰撞,则必有在这个过程中B球由于受到与运动方向一致的冲力作用,而有由以上两式得即则必有pA。这就是同向追及碰撞问题中碰撞后主动球可能的动量,再由动量守恒定律可确定碰撞后被动球的动量。

例4质量相等的两个小球A、B,在光滑的水平面上沿同一直线向同一方向运动,A球的初动量为7kg·m/s,B球的初动量为5kg·m/s。在A球追上B球发生碰撞后,A、B两球的动量可能为( )。

A.6kg·m/s,6kg·m/s

B.3kg·m/s,9kg·m/s

C.-1kg·m/s,13kg·m/s

D.-4kg·m/s,10kg·m/s

解析：由动量守恒定律可知,碰撞后两球的动量之和应为12kg·m/s,则选项D被排除,而其余选项均遵守了动量守恒定律,且满足A球动量减小、B球动量增加,以及-pA＜pA'＜pA的关系。根据动量和动能的关系可得容易判断B、C选项的数据不符合,被排除。答案为A。

3.碰撞后物体可能的动量变化。

在同向追及碰撞问题中,设A球追上B球发生碰撞,主动球可能的动量满足-pA＜pA'＜pA,则主动球可能的动量变化一定满足-2pA＜ΔpA＜0,根据动量守恒定律应有ΔpA+ΔpB=0,故碰撞后被动球的动量可由该式进一步确定。

图2

例5如图2所示,在光滑水平面上,A、B两球沿同一直线向右运动,它们的初动量pA=12kg·m/s,pB=13kg·m/s,则碰撞后它们的动量变化 ΔpA、ΔpB可能是( )。

A.ΔpA=-3kg·m/s,ΔpB=3kg·m/s

B.ΔpA=4kg·m/s,ΔpB=-4kg·m/s

C.ΔpA=-5kg·m/s,ΔpB=5kg·m/s

D.ΔpA=-24kg·m/s,ΔpB=24kg·m/s

解析：由两球的位置关系容易看出必有ΔpA＜0,ΔpB＞0,排除选项B。根据-2pA＜ΔpA＜0排除选项D。答案为AC。

4.发生碰撞的物体可能的质量关系。

例6A、B两物体在光滑的水平面上同向前进,它们的初动量pA=5kg·m/s,pB=7kg·m/s,在物体A追上B发生碰撞后,物体B的动量变为pB'=10kg·m/s。则两物体的质量关系可能为( )。

A.mA=mBB.2mA=mB

C.4mA=mBD.6mA=mB

解析：根据动量守恒定律可知,碰撞后物体A的动量必为pA'=2kg·m/s。选项A不满足vA＞vB,选项D不满足vA'≤vB',可排除。对选项B不妨设mA=m,则mB=2m,根据动量和动能的关系可得,碰撞前碰撞后E'=k显然E'＞E,不符合动kk能关系,可排除。答案为C。