从两道竞赛题看幂级数展开式的应用

张建军+宋业新++瞿勇

摘 要：幂级数展开式的应用是高等数学理论体系中和实践联系最为紧密的內容之一。本文进一步探讨了幂级数展开式的应用，介绍了运用幂级数展开式讨论定积分和反常积分的论证和计算问题的理论基础和思想方法，通过两道典型的数学竞赛题的难点分析及求解过程，说明了运用幂级数展开式求解相关问题的主要步骤和要点，帮助学生充分重视、全面掌握相关知识点。

关键词：高等数学 幂级数展开式 反常积分 定积分 和函数

中图分类号：O172 文献标识码：A 文章编号：1674-098X（2017）10（c）-0224-02

幂级数展开式的应用是大学高等数学课程中的重要内容，是高等数学理论体系中和实践联系最为紧密的内容之一。

笔者在长期教学实践特别是本校全国大学生数学竞赛的培训教学中，深深感到，历年的预赛和决赛中经常出现定积分特别是反常积分方面的难题，它们大都无法运用常规方法求得，需要借助于幂级数展开才能得到有效解决；同时与此形成反差的是，学习中部分学生对幂级数展开式的应用及反常积分的计算这两方面的理论和方法重视很不够且不得要领，因而掌握较差。因此我们在各项教学中一直非常重视对相关知识点的教学法进行探索，帮助学生充分重视、全面掌握这些知识点。以下介绍我们在竞赛培训中“运用幂级数展开式讨论定积分和反常积分的论证和计算”的教学中的做法，希望起到抛砖引玉之作用。

1 幂级数、定积分与反常积分

（1） 幂级数。

幂级数是一种特殊形式的函数项级数，由于其方便的代数运算性质以及在收敛域内连续、可积和在收敛区间内可无限次求导等非常良好的分析运算性质，使得其天生就是数学中处理基本计算如函数的微积分、微分方程的重要工具；同时更为重要的，它也是表达函数、研究函数和数值计算的一个利器，除了高等数学教材中介绍的它在近似计算等方面的应用之外，幂级数的理论及方法在科学技术和工程的多个领域均具有极其广泛的应用。

（2） 定积分与反常积分。

通常，定积分指积分区间为有限区间及被积函数为有界函数的积分；反常积分包括两类，即无穷限区间的积分或无界函数的瑕积分，在高等数学教材中对反常积分的审敛法进行了简要介绍，反常积分不仅在数学的概率统计分支具有重要的基础作用，在物理学及工程领域也由于其广泛的应用越来越显现其重要性。

2 运用幂级数展开式求解定积分和反常积分问题

复杂的定积分和反常积分问题，其困难往往在于被积函数的原函数很难求得或无法用初等函数表示，也就无法直接运用牛顿─莱布尼茨公式计算。运用被积函数的幂级数展开式计算定积分或反常积分，首先可按幂级数展开方法将被积函数在积分区间上展开成幂级数或普通函数项级数，然后利用幂级数的逐项求导或逐项积分性质以及积分号和求和号的交换，将复杂的积分转化为相对简单的级数项的积分，进而将原问题转化为常数项级数的求和问题。

例1：证明： 。

分析：本题非常复杂，若从等式左边入手，的原函数难于求得；从等式右边入手，该级数的和用常规方法很难求出，也无法直接运用幂级数的和函数来求得。因此要进一步分析题意。由于，故可将左边的积分看作正常积分。要理解题目的意图：事实上，由定积分的定义，等式的左边可以看作为乘积和式的极限，再由数项级数的定义，右边也可视为部分和式的极限，因此证明二者相等非常自然；那么，能否把二者转化成为同一类呢？其实，可先按指数函数的幂级数展开将函数展开，利用逐项积分性质交换积分号和求和号的次序，计算级数项的积分后再求和，即可证明该等式。

证：利用指数函数的幂级数展开式，并逐项积分，就有

，

而为求得等式右边级数通项中的积分部分，考虑

，

其中，在上式第三个等式中的，是由于

因此，故

。

在竞赛培训课中讲解该题目，可先提问，使学生意识到问题的复杂性，同时揭示困难所在；再提示幂级数展开方法，重点分析该方法如何起到“化难为易”的作用。按上述教学设计，通过深入浅出的题意分析，运用级数展开、分部积分等方法，解题的过程一气呵成。

证明上述结论后，教师还可以启发学生继续思考：本题的结论能否给我们带来有益的启示呢？事实上，如果从等式右端向左端看，尽管级数和的精确值无法通过常规方法得出，但可以通过定积分给出其精确值的一个表达式；另一方面，如果从等式左端向右端看，虽然无法得出定积分的精确值，却可以给出其值的一个级数表达式，真是相映成趣、耐人寻味！通过这样的教学设计，能够加深学生对上述方法和结论的理解。

例2：设，。

（1）证明：时，；（2）计算。

分析：本题是一个有难度的综合题。要准确分析题意：第一问中，对幂级数，能直接按常规方法求出其和函数的表达式吗，求出后不是可以方便地验证欲证的恒等式吗？另一方面，能否不求出的表达式而直接证明该式呢？可让学生反复思考这两个问题，把前者留待学生课后讨论完成；对于后者，可揭示只需将和对数函数均展开成幂级数，再运用幂级数和函数的运算性质证明左端函数的导数为0即可；对第二问，首先，似乎所求积分为定积分，但注意到，故该积分实为无界函数的反常积分，点为被积函数的瑕点；其次，如采用高等数学教材中介绍的常用方法计算该瑕积分，欲采用牛顿─莱布尼茨公式计算，由于被积函数较为复杂，换元法、分部积分法等各种方法均难奏效。

这时，如果注意到函数在上可展开成幂级数，再交换求和号与积分号，即可将反常积分转化为常数项级数和的计算，这是第二个难点。该常数项级数的和通常可将其转化为某幂级数的和函数在收敛域内某点处的值，再根据第一问，问题就可能迎刃而解。

解：（1）易见幂级数的收敛域为，且和函数在上连续。令

由于，以及，可知函数在上连续。当时，运用和函数的逐项求导性质及对数函数的幂级数展开式，就有

，

因此时，恒为常数。由于，故时，

。

（2）注意到时，，故

，

其中第三个等号成立是由于根据例1中的结果，有。

而级数的和，不难看出它正好是幂级数的和函数在的值。在（1）中的等式中，令，可得，从而，因此，。

教师在讲解完此题后，肯定有很多学生会有疑问，能否直接求出s（x）的解析表达式呢，计算的困难又在哪儿呢？教师可要求学生课后小组讨论并体会直接求解s（x）的困难，从而使他们深刻地体会解题方法的重要性，并帮助他们更好地掌握幂级数和函数的运算性质。

尽管竞赛题综合性强、难度大，但只要深入细致地分析问题，综合运用相关基本理论和基本方法，问题都能迎刃而解；同时教师在教学时还应该强调，幂级数展开式之所以能很好地运用于定积分或反常积分问题的论证和计算，其根本原因还在于，从本质上而言，幂级数和定积分或反常积分均为无穷和的极限，二者同根同源，定然存在千丝万缕的关系，因而在求解相关问题时，运用二者的关系，往往能收到很好的效果。教师在数学竞赛培训等教学中应该不断创设困难问题的情境，以疑难问题的科学分析驱动竞赛教学，激发学生的创新思维，不断提高其分析问题和解决问题的能力。

参考文献

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