初探勾股定理在一元二次方程中的应用

摘 要：传统的教学以知识传授为基本模式，往往忽视学生在学习中的主体地位，让学生被动地接受知识，这不利于学生数学素养的提升。在新课程实施的背景下，我们更应该更新教育理念，采取有效措施，使教学由“教”为主转变为以“学”为主，并争取让学生参与到这个转变过程中来，同时我们还得分析学生，因人而异地进行学法指导，让学生掌握必要的自主学习的方法。

关键词：勾股定理；教学；方法

在教学中从学生的实际情况出发，把教学要求按照由简单到复杂，由容易到困难的原则对学生进行分层教育。在教学的过程中对学生的每一点微小进步都要给予肯定。以这种激励式的教学方式，使学生层层有进展，处处有成功，时时处于积极学习的状态，感到有能力进行学习，从而不断增进学习的自信心，使提高教学质量具有可操作性。对初二学生而言，数学教学中，部分知识跨度大，考虑到学生的实际情况，我们可以将教学步子减小，层次增多。

引入：有两条公路OM，ON相交成30度角，沿公路OM方向离O点80米处有一所学校A，当重型卡车P沿道路ON方向行驶时，在以P为中心，50米长为半径的圆形区域内部会受到卡车噪声的影响，且卡车P与学校A的距离越近噪声影响越大，若已知重型卡车P沿道路ON方向行驶的速度为18千米每小时：

（1） 求对学校A的影响最大时，卡车P与学校A的距离；

（2） 求卡车P沿道路ON方向行驶一次给学校A带来噪声影响的时间。

师：什么时候卡车对学校的影响最大？

生：卡車离学校最近时

师：你能从图中看出卡车什么时候距离学校最近吗？

生：当PA垂直ON时

师：那么接下来我们可以利用哪个知识点解决问题？

生：直角三角形的性质

师：你们可以直接说出PA的长度吗？

生：40米

师：那么厉害，你们是怎么得到的？

生：在直角三角形中30度角所对的直角边是斜边的一半

师：接下来我们解决第二个问题，先请大家思考

生1：因为以P为中心，50米为半径的圆形区域内有影响，所以P沿ON方向前进会离A越来越近，当两者距离为50米时有影响，然后P继续前进，距离超过50米时没有影响，只要确定P1和P2就可以。

师：很好，你找到了吗？

生：P在运动，我没办法确定

师：谁能帮他找到？

生：我们可以以A为圆心，因为A是定点。

师：大家在自己的本子上作出我们需要的图形，即分别交ON于点P1，P2。其中A到ON的垂线段为AP0。

师：那么时间可以利用路程除以速度求得，速度已经知道了，路程怎么求？

生：由勾股定理可得，P0P21+P0A2=P1A2，求得P1P0=30，同理可得P2P0

生：老师，这里路程和速度单位不一样！

师：看得真仔细，所以我们还要把两者单位统一

小结：在求受影响时间的题型中，当一个为定点，一个为动点，我们以定点为中心，受影响距离为临界点，利用勾股定理求解。

合作学习（学生合作完成）

一轮船C以30千米每小时的速度由西向东航行，在途中接到台风警报，台风中心B正以20千米每小时的速度由南向北移动，已知距台风中心200千米的区域（包括边界）都属于受台风影响区。当轮船接到台风警报时，测得BC=500千米，BA=300千米。

（1） 如果轮船不改变船向，轮船会不会进入台风影响区？如果会，经过多少时间进入？什么时候离开？

（2） 如果把船速改为10千米每小时，轮船是否会进入影响区？

学生分组讨论，然后派代表分析题目：

生1：因为BC=500，BA=300，所以AC=400，因为受影响的临界距离是200千米，所以我们假设轮船到达C1，台风到达B1时，B1C1的距离是200千米。

由勾股定理可得，AC21+AB21=B1C21

生2：设x小时后受影响，那么AC1=400-30x，AB1=300-20x，所以（400-30x）2+（300-20x）2=2002，解得x1=180-105113，x2=180+105113

师：你能告诉我们两个时间的实际意义吗？

生3：x1是轮船刚刚进入台风影响圈的时间，x2是轮船即将离开台风影响圈的时间

师：同学们的分析都非常的精彩，从上述分析中我们发现轮船受到台风的影响，下面我们把轮船速度变为10千米每小时，现在轮船是否依旧受到影响？

生：当速度为10千米每小时时，b2-4ac小于0，所以方程没有实数根，也就是不会受到影响。

参考文献：

[1]张朝凤.全效学习·数学·八年级下[M].北京：光明日报出版社，2014.

[2]范良火.数学教科书·八年级下[M].浙江：浙江教育出版社，2013.

作者简介：

余蕾，浙江省绍兴市，诸暨市滨江初级中学。endprint