具有Beddington-DeAngelis发生率的随机SIS传染病模型的定性分析

， ，，同迁

(山东科技大学 数学与系统科学学院，山东 青岛 266590)

1 引言与模型建立

传染病是人类的宿敌,人类的历史充斥着与传染病的斗争。传染病给人类造成了巨大的灾难,天花、霍乱、艾滋病等让人闻之色变[1]。为了控制传染病,研究者建立了很多数学模型去研究传染病的传播动力学[2-6]。在传染病动力学中,重要的数学模型是KERMACK和MCKENDRICK在1927年提出的仓室模型[7]。在这个仓室模型中,人们被分为三个相互隔离的仓室：易感者仓室“S”,染病者仓室“I”,以及恢复者或移出者仓室“R”。在模型中,易感者可以通过与染病者接触而转化为染病者,而染病者可以通过治疗转化为恢复者或移出者,并获得永久的免疫能力,这个模型被称之为SIR模型。然而有些疾病并不符合SIR模型,比如流行感冒,患者经过治疗后,不能获得永久免疫力,还有再次感染该种疾病的可能。这样建立的模型被称为SIS模型[8]。文献[7-8]中采用了常见的非线性传染率-双线性传染率βSI。研究者还研究了很多其他类型的非线性传染率[9-11]。

众所周知,随机噪声因素在传染病的传播中起着重要作用,因此,许多学者对传染病模型随机性的影响进行了研究[12-13],不同的随机干扰方法被引入到传染病模型当中,并取得了很好的结果[14-23]。 基于以上文献分析,考虑传染率受到随机白噪声干扰即β→σdB(t)及人口输入、因病死亡率等因素,建立了一类具有Beddington-DeAngelis发生率的随机型SIS传染病动力学模型：

(1.1)

这里A表示人口的输入率(包括人口的出生和迁入),a和b是测量抑制效果的参数,α表示因病死亡率,σ2是噪声强度,B(t)是标准布朗运动。

2 预备知识

定义2.1对于模型(1.1),

几乎处处成立。

引理2.4(伊藤公式) 设x(t),t≥0是方程dx(t)=f(x(t),t)dt+g(x(t),t)dB(t),0≤t<∞的解,V∈C2,1(Rn×R+;R)。则函数V(x(t),t)仍是一伊藤过程,具有如下随机微分：

dV(x(t),t)= [Vt(x(t),t)+Vx(x(t),t)f(x(t),t)

上式称为伊藤公式。

3 模型的分析

3.1 确定型SIS传染病模型的定性分析

首先我们考虑确定性SIS传染病模型：

(3.1)

下面考虑模型(3.1)的平衡点的稳定性。

模型在疾病消除平衡点E0:(S0,0)处的雅可比矩阵为

显然,若R<1，则疾病消除平衡点E0:(S0,0)是局部稳定的; 若R>1，则疾病消除平衡点E0:(S0,0)是不稳定的。

其特征方程为

λ2+(a11+a22)λ+a11a22-a21a12=0,

其中

显然

而

从而特征根总有负实部,故若存在疾病平衡点E:(S*,I*)，则疾病平衡点必是局部稳定的。因此得到如下定理。

定理3.1.2对于模型(3.1),

1) R<1，疾病消除平衡点E0:(S0,0)是局部稳定的;

3.2 随机SIS传染病模型(1.3)的定性分析

定义

证明：设初值为(S(0),I(0))∈Ω。设(S(t),I(t))是模型(1.1)的具有初值的解。在模型(1.1)的第二个方程中应用伊藤公式得

(3.2)

两边在[0,t]上积分得

(3.3)

考虑二次函数

(3.4)

从式子(3.3)可得

(3.5)

(3.5)式两边同时除以t(t>0)，得

(3.6)

由引理2.3知

式子(3.6)两边同时取上极限得

(3.7)

(3.7)式两边同时取上极限得

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(3.8)

在上式中令ε→0，得到

(3.9)

另一方面,由引理2.2，可以得到

(3.10)

从而由方程(3.9)与(3.10)知

几乎处处成立,证毕。

定理3.2.2若R*>1，则模型的疾病I(t)是持久的,并且有

证明：对式(1.1)两端同时求从0到t求积分,并两边同时除以t(>0)，可以得到

接着可以得到

(3.11)

(3.12)

上式从0到t求积分,然后方程两边同时除以t(>0)得

(3.13)

不等式(3.13)可以写成

(3.14)

对(3.14)式两端取下极限：

图1 模型(1.3)的时间序列图

证毕。

4 数值模拟

为了验证得到的理论结果,给出一些数值模拟。取基本参数为

A=0.2,μ=0.4,β=2,r=0.2,α=0.1,a=1,b=1。

计算知R=0.952 4<1，根据定理3.2.1,模型的疾病消除平衡点E0:(0.5,0)是局部稳定的(图1)。若增大人口的输入率A=0.5，此时R=1.587 3>1，根据定理3.2.2知,模型的疾病平衡点E*:(0.752 7，0.397 8)是局部稳定的(图2)。

下面在持久的系统上考虑随机干扰的影响。首先,令σ=1.9，满足定理3.2.1的第一个条件,于是疾病最终消除(图3)。其次，令σ=1.7，此时,R*=0.950 2<1， 满足定理3.2.1的第二个条件,由定理3.2.1知,疾病最终消除(图4)。若令σ=0.3，经过计算,R*=1.567 5>1，由定理3.2.2知,疾病是持久的(图5)。

图2 模型(1.3)的时间序列图

图3 确定性模型和随机模型动力学行为对比

图4 确定性模型和随机模型动力学行为对比

图5 确定性模型和随机模型动力学行为对比

5 结论

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