在柱面坐标系下三重积分计算的一种新方法

邓进

【摘 要】三重积分计算的常规思路是将其转化为累次积分，其中的关键是确定累次积分各自的积分上限和积分下限。本文运用数学中的类比思想，对直角坐标系下三重积分计算的经典投影法进行类比，研究柱面坐标下三重积分的计算，得到一种新的投影法。本文结果将完善柱面坐标下三重积分计算的投影法。

【关键词】三重积分；累次积分；积分上限；积分下限；投影法

中图分类号： O172.2 文献标识码： A 文章编号： 2095-2457（2018）30-0170-003

DOI：10.19694/j.cnki.issn2095-2457.2018.30.074

A New Method for Triple Integral Calculation in Cylindrical Coordinates

DENG Jin

（School of science，Hunan Institute of Engineering，Xiangtan Hunan 411104，China）

【Abstract】The conventional way of triple integral calculation is to transform it into successive integrals，and the key is to determine the upper and lower bounds of these integrals respectively.In this paper，the classical projection method for calculating triple integral in rectangular coordinates is analogized by using the analogy idea in mathematics，and the calculation of triple integral in cylindrical coordinate system is studied，and a new projection method is obtained.The results of this paper will make the projection method for calculating the triple integral in cylindrical coordinates more complete.

【Key words】Triple integral；Upper bound of integration；Lower bound of integration；Projection method

0 引言

多元積分学是高等数学的主要内容之一，而三重积分的计算是其重点和难点。教学实践中，从教学反馈和考试情况来看，学生往往反映难度很大，特别是在将三重积分转化为累次积分时，很难顺利地确定累次积分的积分上限和积分下限；主要原因在于没有真正理解教材中的投影法和截面法。而一般教材和已有文献多是简单地介绍在直角坐标下三重积分的投影法和截面法，[2]介绍了在柱面坐标下的一个投影法，即将积分区域投影到极坐标面上，将三重积分转化为先一后二的积分，再将外层的二重积分转化为二次积分，最终实现将三重积分转化为三次积分。然而，柱面坐标下三重积分的投影法还不够完善。

本文首先给出柱面坐标中的一种新的投影的概念，继而通过运用数学中的类比思想，对直角坐标系下三重积分的经典投影法进行类比，研究柱面坐标下三重积分的计算，得到柱面坐标下将三重积分转化为三次积分的一种新的投影法，即首先将积分区域投影到圆柱面上，把三重积分转化为先一后二的积分，再将外层的二重积分转化为二次积分，最终实现将三重积分转化为三次积分。

1 柱面坐标系[1，2]

为完整起见，首先简单介绍柱面坐标系。设M（x，y，z）是空间中一点，过点M作直线和坐标面xOy垂直相交于点M'，称点M'为点M在坐标面xOy上的投影；设点M'的极坐标是（r，？兹），称有序三元数组（r，z）为点M的柱面坐标（如图1所示）。

一般假定r，？兹，z的变化范围分别为：

柱面坐标系中的三个坐标面分别为：以z轴为中心轴的圆柱面（r为常数），过z轴的半平面（？兹为常数），与xOy面平行的平面（z为常数）.

由图1易知，点M的直角坐标（x，y，z）和柱面坐标（r，？兹，z）有如下关系：

不难知道，柱面坐标下三重积分的体积微元dv=rdrd？兹dz，因此可将一般形式的三重积分转化为柱面坐标下的三重积分，即：

2 投影法

[2]介绍了在柱面坐标下的一个投影法，即将积分区域投影到极坐标面上，将三重积分转化为先一后二的积分，再将外层的二重积分转化为二次积分，最终实现将三重积分转化为三次积分。

下面介绍柱面坐标下将三重积分转化为三次积分的一种新的投影法。首先给出一种新的投影概念。

定义 设r=r0>0为固定的圆柱面，过点M作直线垂直z轴于点O'，射线O'M交圆柱面r=r0于点M'，称点M'为点M在圆柱面r=r0上的投影（如图2所示）。

图2 点M在圆柱面r=r0上的投影点M'示意图

将空间区域？赘内任一点均投影到圆柱面r=r0上，就得到空间区域？赘在圆柱面r=r0上的投影区域D（？兹，z）。

一般而言，选取圆柱面r=1为所需要的固定圆柱面。

由三重积分的物理意义可知， 是密度为连续函数f（rcos？兹，rsin？兹，z）r的空间立体？赘（r，？兹，z）的质量M。设从z轴上的点为起点并且和z轴垂直的射线与空间区域？赘的边界曲面相交于不超过两点（位于？赘的边界上的直线段除外），把空间区域？赘按前述的定义投影到圆柱面r=1上，得到圆柱面上的一个区域D（？兹，z），过区域D（？兹，z）内任一点P（ ）作和z轴垂直相交于O'的直线，射线O'P和空间区域？赘的边界曲面相交于两点，和z轴的距离较小的点P1的坐标为P （r （，z）z），和z轴的距离较大的点P2的坐标为P2（r2（z），）（如图3及图4所示），从而空间区域表示为：

此时，区域？赘的边界面上有两个曲面r=r （，z），r=r （ ），此外，还有可能有一部分的边界面位于下面这类曲面上：过投影区域D的边界曲线上的点Q，作直线和z轴垂直相交于Q'，所有这类直线Q'Q形成了一个曲面。如图3和图4所示的两种情形。

空间立体？赘的质量可以看作密度不均匀的柱面薄片D（z）的质量，求出面密度？籽（z）后就可以进而求出空间立体？赘的质量。对区域D（z）内的任一点（z）， 从而

这样，将柱面坐标下的三重积分转化为先一后二的积分：

进一步，可将外层的二重积分转化为二次积分。如果投影区域D（ ）的形式为，

则

从而，把三重积分转化为先对r，再对z，最后对？兹的三次积分。

如果投影区域D（ ）的形式为

则

从而，把三重积分转化为先对r，再对？兹，最后对z的三次积分。

特别地，如果积分区域为：

则三重积分可转化为：

或者：

综上所述，柱面坐标下三重积分的投影法可以总结为一句口诀，即“一投二交三积分”。

在上面的讨论中，假定了从z轴上的点为起点并且和z轴垂直的射线与空间区域？赘的边界曲面相交于不超过两点（位于？赘的边界上的直线段除外）。对于更一般情形，利用三重积分关于积分区域的可加性，只需将？赘分为满足上述条件的若干个区域的和，对各个区域按上述方法将三重积分转化为三次积分后相加即可。在将二重积分转化为二次积分时，假定了投影区域为圆柱面上的凸区域，对于更一般的情形，可以将投影区域分为若干个凸区域的和，然后利用二重积分关于积分区域的可加性，分别将各个积分区域上的二重积分转化为二次积分后相加即可。

【参考文献】

[1]同济大学数学系编.高等数学（第七版下册）.北京：高等教育出版社，2014.

[2]吴赣昌主编.高等数学（理工类第四版下册）.北京：中国人民大学出版社，2011.