数形结合思想在高中数学教学中的应用

摘 要：数形结合是数学课程中一种常用的思想，指的是通过数和形之间的对应关系将抽象的数学语言和关系直观化、形象化，进而实现以形助数、以数解形的效果，将复杂的数学问题变得简单。本文对数形结合思想在高中数学教学过程中的具体应用进行了分析，以供参考。

关键词：数形结合思想；高中数学；应用

一、 数形结合思想概述

1. 数形结合思想的内涵

数形结合思想是高中数学教学中的一种重要方法，将数量关系和空间图形模式、抽象理论与形象思维有机结合起来，形成更为简单、直观的知识关系，帮助教师有效地分析与转化教学过程中的重点和难点，促进学生更加容易理解抽象、晦澀的数学知识，进而提高学生对数学知识的灵活运用能力。在高中数学教学中，数形结合思想的应用范围非常广泛，例如不等式求解、三角函数、几何等内容的教学与解题都可以通过数形结合思想的应用起到良好的效果。所以，高中数学教师要有意识的加强对数形结合思想的渗透并充分发挥学生的主体作用，帮助他们更好地理解和应用数学知识。

2. 数形结合思想的应用原则

数形结合思想在高中数学教学中数与形的相互转化过程中要遵循相应的知识应用与方法，假如对数形结合思想的基本知识和应用原则了解不清楚，则很容易出现错误。因此，在应用数形结合思想时要遵循以下原则。第一，等价性原则。数形结合思想的应用首先要遵循等价性原则，即数、形的关系要一一对应，注意等价转换，避免对定义域的随意扩大或者缩小，尤其是画图时要注意确保数轴、交点、最大值、最小值等的精确性。第二，双向性原则。将几何直观分析和代数计算有机结合起来，以形助数，以数解形，用直观的几何图形作为抽象公式的具体体现，并用精确的代数进一步规范化几何图形。第三，简单性原则。在应用数形结合思想进行数学教学和解题的过程中应尽量简单化，例如由数到形的变换时尽量构造简单的图形，由形到数时尽量避免繁琐的运算，将数学知识的理解和应用变得更加容易。

二、 数形结合思想在高中数学教学中的应用方法

第一，由数变形。在数学教学过程中有些内容过于抽象晦涩，通过代数方法难以帮助学生有效地理解和应用知识，或者用于解题的方式较为复杂，而数形结合思想能够通过数与形之间的对应关系实现从数到形的转化，更加直观明了、简单形象。一般来说，将数量问题向图形问题的转化通过平面几何知识、立体几何知识以及解析几何知识这三种方式来实现，接着对转化出的图形进一步分析、推理。由数变形的解题应用思路可以总结为以下几点：首先，教师引导学生明确题目的要求和所求结果；其次，对已给的条件进行分析观察，确定是否可以借助所学的公式、图形的表达式进行归类；最后，构造出相应的图形，并结合图形的性质、意义等对所求问题进行分析。

第二，以形变数。遇到需要定量或者较为复杂的图形问题时可以将图形问题转化为代数问题，即实现以形变数。以形变数的应用通常采用以下几个步骤：第一，引导学生明确题目的要求和目标，并把握其特点和性质；第二，对题目中的条件和所求目标的几何意义进行分析；第三，用代数式准确地表达出所给图形的内涵，并根据相关公式、定理等完成题目的求解。

第三，数形互变。数形互变是将由数变形和以形变数这两种数形结合思想应用的方式有效结合起来进行知识的理解、题目的解答。通常一个数学题目的解答不仅仅要采用一种数学方法，而是要结合两种甚至几种数学方法的综合运用，数形互变是对数形结合思想的灵活运用，但是要求学生对数变形时的直观和以形变数的严密进行熟练的掌握，能够快速分析和把握数学题目中数和形的关系以及其中的隐含条件，从而能够见形思数，见数变形。

三、 数形结合思想在数学教学过程中的具体应用

1. 数形结合思想在集合问题中的应用

例如在下面的集合题目中，已知集合A={1，2，3}，B={x|（x+1）（x-2）<0，x∈Z}，试求A∪B。可以根据已知条件求得集合B={x|-1

2. 数形结合思想在统计问题中的应用

在统计问题中经常会要求学生根据给出的具体数据，判断出变量之间的关联，而当学生在统计和计算比较庞大的数据量时，逐个进行计算不但速度慢而且容易引起学生的抵触和畏难心理，利用数形结合的思想方法则能够有效解决这一问题。引导学生通过将搜集得到的数据画成散点图，能够不用通过计算即可得知这变量之间的关系，例如在图像中各数据点如果大致分布在一条直线附近，则可以准确推断变量之问呈线性相关关系。通过数形结合的思想方法能够大大优化计算过程，提高学习效率。

3. 数形结合思想在向量问题中的应用

向量是高中数学教学的一项重要内容，其本身具有一定的几何意义，即利用向量对集合对象进行描述。教师通过将数形结合的思想方法运用在具体的向量教学当中，能够在引导学生正确认识向量数量积的同时，帮助其准确掌握向量的实际几何意义，从而立足于向量的代数性质，完成对几何对象的描述。例如，在下面的向量问题中：已知互相垂直的平面α，β交于直线l，若直线m，n满足m∥α，n⊥β，试求l与n的位置关系。在这一题当中考查的正是相等向量与相反向量以及空问平行与垂直位置关系的判定，学生通过绘制出相应的图形并用向量将已知条件表明出来便能够直观地认识到这两条直线为垂直关系。

四、 结束语

数形结合思想是高中数学教学过程中常用的思想方法，通过图形和数量关系的有机结合，帮助学生更加容易直观地理解和应用数学知识。因此，作为高中数学教师，要引导学生熟练掌握这一方法，灵活地运用数形结合思想解决相关数学难题，提高数学的学习效率。

参考文献：

[1]董晓萍.高中数学教学中如何渗透数形结合思想[J].中学生数理化（学研版），2013（05）.

[2]贾丽霞.浅谈如何用科学思维开展高中数学教学[J].学周刊，2017（26）.

[3]张贵金.新课标下如何提高高中数学教学有效性[J].智能城市，2017（02）.

作者简介：李自芹，云南师范大学数学学院，云南省德宏州民族第一中学。