转化思维方式巧求阴影面积

摘 要：求几何图形的阴影部分面积是中考中比较常见的题型，本文通过举例阐述了几种比较新颖的求阴影图形面积的方法，通过对复杂图形进行简单转化，使得复杂问题简单化，学生在面对此类问题时可以从容面对，问题自然迎刃而解。

关键词：阴影面积；割补法；和差法

一、 割補法求阴影图形面积

割补法是计算阴影图形面积的重要方法，通过割补法求阴影图形面积在中考中出现的频率很高。割补法是将原本不规则的图形通过“割”或“补”转化为常见的图形，通过面积公式求解转化之后的图形，从而得到阴影部分的面积。

例1 如图所示是一个玩具的横截面图，玩具截面的边长如图所示，请求出玩具的横截面积（即阴影部分的面积）。

分析：本题中阴影部分的面积不是规则图形，不能通过面积公式得出图形的面积，所以通过常规方法无法直接求解。可以将图形进行转化，将图形“补”为常见的图形，然后再减去多余的面积，即是所求的阴影部分面积。

解：如图所示，添加辅助线，构造成一个完整的矩形。已知矩形的长和宽，可以求得矩形的面积S=15×10=150（平方厘米），空白部分由一个正方形和两个全等的等腰直角三角形构成，那么空白部分的面积S1=5×5+5×5×12×2=50（平方厘米），因此阴影部分的面积S2=S-S1=150-50=100（平方厘米），所以阴影部分的面积为100平方厘米。

评注：本题通过将不规则图形进行添补，转化为规则图形，用到了转化的数学思想。对于这类问题的解决，应该勇于打破常规思路，通过割补法将问题进行转化。这类问题的解决有利于提高学生的数学思维能力，在平时的学习中应该多加练习。

二、 和差法求阴影图形面积

和差法在中学数学求面积的过程中是非常普遍的，在解题过程中，我们可以将图形从不同角度拆分成几个已知图形，然后通过将几个已知图形进行加与减，转换之后即可得到未知的不规则图形面积。

例2 如图所示，以1为半径画扇形AOB，以AB中点为原点、AB为直径得如图所示的半圆，那么图中阴影部分的面积为（ ）

分析：由图可知，此题阴影部分是一个不规则图形，如果我们用常规解法并不能直接求出，因此我们需要将图像转化为已知图形进行求解。我们可以通过已知公式得出扇形AOB的面积和半圆面积，也可以求出等腰直角三角形AOB的面积，则S半圆+S△AOB-S扇形AOB即可得出阴影部分的面积。

评注：本题我们无法用常规方法求得阴影部分的面积，通过和差法将已知图形面积相加求得总面积然后减去已知图形面积即得到了阴影部分的面积，同学们如果再遇到类似题目可以根据此方法进行求解，就可以很容易的得到未知部分面积。

三、 巧用“特殊关系”图形求面积

“特殊关系”解题法是一种比较灵活的思维方法，此类方法要求学生学会变通，通过将复杂图形进行平移或者折叠转化为已知图形，从而求得问题的答案。此方法要求学生充分发挥自己的想象力，从而达到复杂问题简单化的效果。

例3 如图所示，半圆A与半圆B均与y轴相切且有一个共同的切点O，两半圆的直径CD与EF且均和x轴垂直，两条抛物线均以O为顶点且分别经过点C和点E、点D和点F，试着求出图中阴影部分的面积。

分析：本题看到第一眼时会感到比较混乱，图形面积毫无规则，无法用已知图形面积进行求解，仔细观察后会发现，右面阴影部分的图形和左边空白部分图形是相互重合的，且可以和左边阴影部分组合成一个半圆。

解：由题意可知，将右面的半圆沿着纵坐标折叠到左边后，题目中的阴影部分的总面积正好为一个半圆的面积。因为左、右两个半圆的半径均为1，所以，S阴影=12π。

评注：学生在第一眼看到这类题目时可能会感到眼花缭乱，感觉无从下手，但是通过同学们静下心来细细分析各部分图形之间的关联以后就可以有比较清晰的解题思路。因此，以后遇到类似的貌似很麻烦的题目时，静下心来细细分析以后就可以找到正确的解题方法。

综上所述，割补法、和差法、“特殊关系”法可以将看似复杂的问题简单化，从而使得复杂问题迎刃而解，学生对于这类问题应多加练习，从而提高自己转化思维能力。

参考文献：

[1]刘玉琪.阴影面积的几种求解方法[J].甘肃高师学报，2006（02）.

[2]陈怡.探析求阴影面积的方法[J].中学生数学，2009（24）.

作者简介：黄绍杰，云南省文山州砚山县民族中学。endprint