巧设情境用组合数含义来证明“奇次项与偶次项的二次项系数和相等”性质

摘要：本文通过构造“含有n个元素的集合的子集分为两类，含有偶数个元素或含有奇数个元素”情境，通过构造一一映射的方法证明这两类的子集数相等，以利用组合数的含义来证明二项式系数的性质。提供了与一般方法即用二项式定理赋值法证明其性质不同的新颖证法。

关键词：二项式系数性质证明；组合数含义；构造情境

研究背景

众所周知，高中数学课程难度较大，很多数学题目解答起来都比较困难，且有时一个题目具有多种解法，每种解法的思路各不相同，繁琐程度也不相同，只有采取科学的思维方式，找到最佳有效的解题方法，才能够高效、迅速且正确地解答出题目。很多数学解题思路和方法，都是在不停地探索和练习中摸索总结出来的，例如创设情境的方法。有的数学问题，乍一看非常复杂，似乎需要多方面深入思考，运用多种概念、定理以及公式等才能够解答出来，但其实，如果转换一下思考角度，巧设情境，有时可以将问题简化，轻而易举地理解问题的关键所在，找出有效的解答方式。

提出问题

高中人教版课本介绍了二项式系数的两个重要性质，即∑ni=1Cin=2n与C0n+C2n+…=C1n+C3n+…=2n-1。前者教材提供了两种方法证明，其一为用二项式定理展开（1+1）n即用赋值法证明，其二为利用组合数实际含义，构造“n个元素的集合子集个数多少个”情境来证明；而对第二个性质只给出了用二项式定理证明，即（1-1）n=∑ni=0Cin（-1）i展开并结合性质一证明，但我们能不能也通过构造一个类似的情境，不用二项式定理而用组合数的含义予以证明呢？

问题探究

设含有n个元素的集合U，则U有子集2n个，从中任取1 个元素a，对于U的任意一个子集Ai，只有2种情况：含a与不含a ①；从另一种角度看，Ai元素个数，只有奇数与偶数2种情况（空集视为0个元素，0为偶数）②

依据②可将Ai分为两类，组成两个新的集合

B={Ai|AiU且Ai有奇数个元素}

C={Ai|AiU且Ai有偶数个元素}（注意到0为偶数，∈C）

再构造映射f，f（Ai）=Ai∪{a}（aAi）Ai/{a}（aAi）（其中A/B={x|x∈A且xB}，简单讲这里即是将含a元素的Ai去掉a元素后得到的新集合）

由①知b∈B，则f（b）∈C

c∈C，则f（c）∈B

∴f为B→C之间一一映射

∴B与C元素个数相等，又B与C元素个数共2n，∴B与C元素个数各2n-1。

∴由组合数含义表示这一结果即为C0n+C2n+…=2n-1，C1n+C3n+…=2n-1即得证。

反思拓展

在高中数学中，对于“奇次项与偶次项的二次项系数和相等”的证明，常规的方法就是利用代数方法证明，但是，本文舍弃了常规的代数证明方式，而通过构造情境予以证明，更加简单地解答了这一问题。这启示了我们：面对证明二项式系数的性质等问题，既可以从代数角度利用二项式定理等证明，也可以从组合数含义的角度构造实际情境来证明，体现了数学一题多解、殊途同归之美。另外，通过构造一一映射证明两个有限集合元素个数相等的方法，也可能对探究其他问题也有所启迪和帮助；而用集合语言尝试进行较为科学的表达，也有利于培养严密客观的数学思维。当然，这并不代表传统的代数方法就不如巧设情境的解题方法，每种解题思维的角度是不同的，并无实际的高下之分，只不过有时运用这种方法解题更快，有时运用那种方法解题更快，取决于解题人当时的思维角度和切入点。在遇到类似问题时，找到当下最适合最有效的方法来解题，实现快速解题的目的，才是最具现实意义的。

（指导教师：郭振亮）

参考文献：

[1]王英志.關于巧设问题情境活跃高中数学课堂的思考[J].学周刊，2017，（15）：135-136.

[2]王清哲.巧设问题情境，激活数学课堂[J].中国校外教育，2011，（23）：38.

[3]王英志.关于巧设问题情境活跃高中数学课堂的思考[J].学周刊，2017，（15）：135-136.

作者简介：

刘抒睿，黑龙江省大庆市，大庆铁人中学。endprint