解析中考中的四边形综合问题

邱亭亭��

摘要：四边形既是平面几何中的基本图形，又是平面几何研究的主要对象。近几年来数学中考的综合解答题让学生受到观察、联想、类比、猜想、抽象概括、分析和综合等方法的熏陶，重视考查学生的基础能力。

关键词：观察；联想；类比；猜想；抽象概括；分析

下面我们就以2017年泰安市中考29题为例进行分析：

（2017泰安中考29）如图：四边形ABCD是平行四边形，AD=AC，AD⊥AC，E是AB的中点，F是AC延长线上一点。

（1） 若ED⊥EF，求证：ED=EF；

（2） 在（1）的条件下，若DC的延长线与FB交于点P，试判定四边形ACPE是否为平行四边形？并证明你的结论（请先补全图形，再解答）；

（3） 若ED=EF，ED与EF垂直吗？若垂直给出证明。

【考点】四边形综合题。

问题1：若ED⊥EF，求证：ED=EF；

图1图2

图3

【分析】根据平行四边形的性质和AD=AC，AD⊥AC，连接CE，根据全等三角形的判定和性质即可得到结论；

【解答】（1）证明：在ABCD中，∵AD=AC，AD⊥AC，∴AC=BC，AC⊥BC，连接CE，∵E是AB的中点，∴AE=EC，CE⊥AB，∴∠ACE=∠BCE=45°，∴∠ECF=∠EAD=135°，∵ED⊥EF，∴∠CEF=∠AED=90°-∠CED，∴△CEF≌△AED，∴ED=EF；

问题2：在（1）的条件下，若DC的延长线与FB交于点P，试判定四边形ACPE是否为平行四边形？并证明你的结论（请先补全图形（图2），再解答）；

【分析】根据全等三角形的性质得到CF=AD，等量代换得到AC=CF，在此可根据中位线定理或者基本事實的推论得到：CP=12AB=AE，根据平行四边形的判定定理即可得到四边形ACPE为平行四边形；

【解答】解：由（1）知△CEF≌△AED，∴CF=AD，∵AD=AC，∴AC=CF，∵DP∥AB，∴FP=PB，∴CP=12AB=AE，∴四边形ACPE为平行四边形；

问题3：若ED=EF，ED与EF垂直吗？若垂直给出证明（如图3）。

【分析】方法一：过E作EM⊥DA交DA的延长线于M，过E作EN⊥FC交FC的延长线于N，证得△AME≌△CNE，△ADE≌△CFE，根据全等三角形的性质即可得到结论。

方法二：过E作EM⊥DA交DA的延长线于M，过E作EN⊥FC交FC的延长线于N，由题知，四边形AMEN是正方形，所以∠MEN=90°，根据已知条件我们可证明△DME≌△FNE（HL），故∠FEN+∠DEN=∠DEM+∠DEN=90°，从而得到ED⊥EF。

【解答】过程略。

三个问题已经解析完毕，但在此题条件下，如果我们连接DF，延长BC并交DF于点Q，连接QA，QE，还可以得到以下结论：

问题4（延伸）：连接DF，延长BC并交DF于点Q，连接QA，QE，试证：QA=QE。

【分析】连接QA，QE后，借助Rt△DAF与Rt△DEF，利用直角三角形性质定理2（斜边上中线等于斜边一半）得到：QA=12DF，QE=12DF，所以QA=QE。

【解答】证明：∵AD∥BC，AC=CF（由问题2结论知AC=CF），∴Q是DF中点，在Rt△DAF中，QA=12DF，在Rt△DEF中，QE=12DF，∴QA=QE

解答四边形综合题应注意：（1）注意观察、分析图形，把复杂的图形分解成几个基本图形，通过添加辅助线补全或构造基本图形；（2）掌握常规的证题方法和思路；（3）运用转化的思想解决几何证明问题，还要灵活运用观察、联想、类比、猜想、抽象概括、分析和综合等数学思想方法。四边形综合问题，主要特点是包含知识点多、覆盖面广、逻辑关系复杂、解法灵活。解题时必须在充分利用几何图形的性质及题设的基础上挖掘几何图形中隐含的数量关系和位置关系，在复杂的“背景”下辨认、分解基本图形，或通过添加辅助线补全或构造基本图形，并善于联想所学知识，突破思维障碍，合理运用各种数学方法才能解决。

作者简介：

邱亭亭，山东省肥城市，山东肥城市白云山学校。endprint