导数在高中数学解题中的应用

摘 要：在高中數学学习中，导数是基本内容之一，也是后续微积分学习的核心内容。新课程标准改革后，导数概念被引入高中数学，不仅是高考的热点，而且在数学解题过程中也逐渐得到应用。本文以高中生为研究对象，分析了导数知识在数学问题解决中的应用，以提高解决问题的效率，拓展学生的思维，培养学生的创新能力和实践能力。

关键词：导数 高中数学解题 应用分析

高中数学教学中，经常利用导数求解如下问题。

一、应用导数几何含义求解曲线的切线问题

问题一：切点已知；

问题二：切点未知。在求解切线问题中，切点是必要的，所以如果切点未知，需要设出切点，从而列出方程，求解方程。[1]

二、求解函数的单调区间、极值、最值问题

求解此类问题时，要明确相关的基本概念。这些基本概念中，关于单调性的判断是最核心的。规定：在某个区间（a，b）内，如果f′（x）>0，那么函数y=f（x）在这个区间内单调递增；如果f′（x）<0，那么函数y=f（x）在这个区间内单调递减。[2]

在求解函数极值时，必须知道在一定条件下的极值解。在解决具体问题时，应注意在特殊条件下讨论变量。在这种情况下，解决高中数学问题增加了解决问题的难度。针对这种情况，应注意合理运用数学知识和技能。在解决高中数学知识时，应注意及时巩固导数知识。我们不仅要分析衍生工具的概念和形象化，而且要理解衍生工具的本质。导数在高中数学问题解决中的应用，不仅巩固了导数等相关知识，而且促进了高中数学知识与大学知识之间的联系，降低了高中数学知识学习的难度。[3]

三、应用导数求解不等式恒成立问题

方法1：参变分离后求最值；

方法2：直接转化为最值（函数含参，需必要的分类讨论）

问题一：已知现成的不等式

样例1：已知函数，设，当时，都有成立，求实数的取值范围。

样例2：已知函数，若存在使得，求a的取值范围。

上述两道样例在求解过程中，要关注存在性以及任意性对题目的不同影响。[4]

问题二：涉及两个函数的不等式问题

样例1：已知函数，；若时，恒有，求实数a的取值范围。

样例2：

已知函数，；若对任意，均存在，使得，求的取值范围。

在上述两道样例中，如果两边是相同的自变量，可以移项，构造新函数处理；如果两边是不同的自变量，则需要各自求解最值。

问题三：根据题中已知条件、定义进行转化，寻找不等式

样例1：已知函数，。若在区间上单调递增， 求a的取值范围。

样例2：已知函数，设，且函数在点处的切线为，直线//，且在轴上的截距为1。求证：无论取任何实数，函数的图象恒在直线的下方。

样例3：已知函数，。当时，若曲线上的点都在不等式组：

所表示的平面区域内，试求a的取值范围。

在这组样例中，题目中没有直接可用的不等式，需要自己构造不等式之后，再进行处理。

四、求解与函数零点相关的问题

重要转化：方程根的问题函数零点问题两个函数图象交点的问题

问题一：直接利用导数研究原函数的性质，从而解决零点问题

样例1：已知函数，其中。若在区间上仅有一个零点，求a的取值范围。

问题二：以切线为载体的零点问题

样例2：已知函数。若过点存在3条直线与曲线相切，求t的取值范围。

问题三：以极值为载体的零点问题

样例3：已知函数有两个极值点，求实数的取值范围。

问题四：隐零点问题的处理

样例4： 已知函数。证明：曲线总在曲线的上方。

求解过程中，构造新函数：

则有。对于这个超越方程，学生解决起来是有困难的。但是可以根据零点存在定理，判断这个方程是有唯一根的，姑且称之为“隐零点”。

具体做法如下：因为，，

且在上单调递增

所以在（0，）上存在唯一的，使得，虽然无法求出的值，但是可以找到关系式，进而解决后面的问题。

结语

导数在高中数学中的地位是非常重要的。在解题过程中，教师可以利用衍生品的特点帮助学生掌握更多的解题方法和技巧。在此基础上，简化习题本身的内容，问题解决的过程会越来越清晰，学生对导数的理解也会越来越深刻。

参考文献

[1]邓晗阳.导数在高中数学解题中的应用探讨[J].科学大众（科学教育），2016（12）：142-143.

[2]唐瑞康.导数在高中数学解题中的应用分析[J].求知导刊，2017（32）：56-56.

[3]陈祖灵.试分析导数在高中数学解题中的应用[J].教育，2016（7）：228-228.

[4]林翠琳.利用导数解高中数学题的方法[J].语数外学习（高中版上旬），2017（8）：15-16.

作者简介

金鑫（1980—），女，民族：汉族，籍贯：吉林省，学历：硕士研究生，职称：高级教师。