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导数在高中数学解题中的应用

2018-01-29金鑫

新教育时代·教师版 2018年46期
关键词:导数应用分析

摘 要:在高中數学学习中,导数是基本内容之一,也是后续微积分学习的核心内容。新课程标准改革后,导数概念被引入高中数学,不仅是高考的热点,而且在数学解题过程中也逐渐得到应用。本文以高中生为研究对象,分析了导数知识在数学问题解决中的应用,以提高解决问题的效率,拓展学生的思维,培养学生的创新能力和实践能力。

关键词:导数 高中数学解题 应用分析

高中数学教学中,经常利用导数求解如下问题。

一、应用导数几何含义求解曲线的切线问题

问题一:切点已知;

问题二:切点未知。在求解切线问题中,切点是必要的,所以如果切点未知,需要设出切点,从而列出方程,求解方程。[1]

二、求解函数的单调区间、极值、最值问题

求解此类问题时,要明确相关的基本概念。这些基本概念中,关于单调性的判断是最核心的。规定:在某个区间(a,b)内,如果f′(x)>0,那么函数y=f(x)在这个区间内单调递增;如果f′(x)<0,那么函数y=f(x)在这个区间内单调递减。[2]

在求解函数极值时,必须知道在一定条件下的极值解。在解决具体问题时,应注意在特殊条件下讨论变量。在这种情况下,解决高中数学问题增加了解决问题的难度。针对这种情况,应注意合理运用数学知识和技能。在解决高中数学知识时,应注意及时巩固导数知识。我们不仅要分析衍生工具的概念和形象化,而且要理解衍生工具的本质。导数在高中数学问题解决中的应用,不仅巩固了导数等相关知识,而且促进了高中数学知识与大学知识之间的联系,降低了高中数学知识学习的难度。[3]

三、应用导数求解不等式恒成立问题

方法1:参变分离后求最值;

方法2:直接转化为最值(函数含参,需必要的分类讨论)

问题一:已知现成的不等式

样例1:已知函数,设,当时,都有成立,求实数的取值范围。

样例2:已知函数,若存在使得,求a的取值范围。

上述两道样例在求解过程中,要关注存在性以及任意性对题目的不同影响。[4]

问题二:涉及两个函数的不等式问题

样例1:已知函数,;若时,恒有,求实数a的取值范围。

样例2:

已知函数,;若对任意,均存在,使得,求的取值范围。

在上述两道样例中,如果两边是相同的自变量,可以移项,构造新函数处理;如果两边是不同的自变量,则需要各自求解最值。

问题三:根据题中已知条件、定义进行转化,寻找不等式

样例1:已知函数,。若在区间上单调递增, 求a的取值范围。

样例2:已知函数,设,且函数在点处的切线为,直线//,且在轴上的截距为1。求证:无论取任何实数,函数的图象恒在直线的下方。

样例3:已知函数,。当时,若曲线上的点都在不等式组:

所表示的平面区域内,试求a的取值范围。

在这组样例中,题目中没有直接可用的不等式,需要自己构造不等式之后,再进行处理。

四、求解与函数零点相关的问题

重要转化:方程根的问题函数零点问题两个函数图象交点的问题

问题一:直接利用导数研究原函数的性质,从而解决零点问题

样例1:已知函数,其中。若在区间上仅有一个零点,求a的取值范围。

问题二:以切线为载体的零点问题

样例2:已知函数。若过点存在3条直线与曲线相切,求t的取值范围。

问题三:以极值为载体的零点问题

样例3:已知函数有两个极值点,求实数的取值范围。

问题四:隐零点问题的处理

样例4: 已知函数。证明:曲线总在曲线的上方。

求解过程中,构造新函数:

则有。对于这个超越方程,学生解决起来是有困难的。但是可以根据零点存在定理,判断这个方程是有唯一根的,姑且称之为“隐零点”。

具体做法如下:因为,,

且在上单调递增

所以在(0,)上存在唯一的,使得,虽然无法求出的值,但是可以找到关系式,进而解决后面的问题。

结语

导数在高中数学中的地位是非常重要的。在解题过程中,教师可以利用衍生品的特点帮助学生掌握更多的解题方法和技巧。在此基础上,简化习题本身的内容,问题解决的过程会越来越清晰,学生对导数的理解也会越来越深刻。

参考文献

[1]邓晗阳.导数在高中数学解题中的应用探讨[J].科学大众(科学教育),2016(12):142-143.

[2]唐瑞康.导数在高中数学解题中的应用分析[J].求知导刊,2017(32):56-56.

[3]陈祖灵.试分析导数在高中数学解题中的应用[J].教育,2016(7):228-228.

[4]林翠琳.利用导数解高中数学题的方法[J].语数外学习(高中版上旬),2017(8):15-16.

作者简介

金鑫(1980—),女,民族:汉族,籍贯:吉林省,学历:硕士研究生,职称:高级教师。

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