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三力交汇原理的应用

2018-01-29李坤

高中生学习·高三版 2017年12期
关键词:力臂转轴三力

李坤

如果物体受到三个不平行的力的作用而平衡,则这三力必在同一平面内,且三力必共点. 这就是三力交汇原理.

“杠杆类”平衡问题

例1 用力[F]将水平地面上的一块均匀木板一端抬起如图1所示,保持静止. 分析地面对木板有无摩擦力作用?

解析 木板除受重力,还受力[F],如果把地面对木板下端的作用等效为一个力, 就是受三个不平行力而平衡,遵循三力汇交原理,可知三力的共点位置,如图2所示. 由于弹力垂直地面向上,故可知静摩擦力水平向右.

点拨 本题可以看出三力交汇原理对“杠杆类”平衡问题有很强的甄别作用. [ 图3]

例2 [A、B、C]三物体分别拴在三段足够长的轻绳上,跨过天花板上两轻小定滑轮悬挂如图3所示. 已知[mA]=4kg,[mB]=2kg,为使系统平衡时,中间物体[C]能在两轮之间,则物体[C]的质量可取( )

A. [mC]=3kg B. [mC]=4kg

C. [mC]=5kg D. [mC]=6kg

解析 系统平衡时,结点[O]处所受合外力为零,三力矢量构成封闭的矢量三角形,如图4甲所示.

甲 乙 丙

再采用极端思考法:当[mC]取某极大值时,因绳足够长,则结点[O]趋近右轮正下方,[O]上头两段趋于竖直,如图4乙所示,则[mC]=6kg

当[mC]取某极小值时,结点[O]趋近左轮,[O]上边右侧绳趋于水平,如图4丙所示,则[mC]=[42-22=23]kg

综上得[23kg

点拨 在较为复杂的单调变化问题中,常常采用极端思考的思维方法,可将问题特征很快凸显出来. 物理选择题一些常用的思考方法,有如比较淘汰法、矢量图解法、图象法、假设法、等效转换法、模型类比法、极端思考法、极限分析法、特值代入法、单位检验法等.

刚体的平衡问题

例3 如图5所示,一个光滑的半球形碗内,一根轻杆两端固定有两小球A、B. 当它们静止时,A、B与球心O的连线与水平分别成60°和30°. 求A、B兩球的质量之比和碗对它们的弹力大小之比. [ 图5]

解析 方法一:先分析两球受力,如图6所示,平衡时,根据力矢量三角形与几何三角形相似,对小球[A],有[mAgOC=FAC=NAR]

对小球[B],有[mBgOC=FBC=NBR]

由于[F=F],故[mAmB=BCAC=NANB]

又[ACBC=x1x2=Rcos600Rcos300=13]

联立解得[mAmB=NANB=31]

本题可等效为两个“拉 [ 图6]力”[NA]、[NB]将刚体“吊”在“悬点”[O]处平衡,故整体的质心在[O]得正下方[C],整体的合外力为零,构成封闭的力矢量三角形. 由于[NA⊥NB],整体的重力[(mA+mB)g]竖直向下,故由矢量图6,得[NANB=31]

方法二:杆连接[A、B]两球可以看作整体,但不是质点,是刚体. 静平衡的刚体同时满足两个条件:(1)所受外力的矢量和为零,含轴处受力;(2)对任意转轴,所受外力的力矩代数和为零,即

[∑F=0∑M=0]

根据刚体的平衡条件[∑M=0],对整体,不计内力[F]和[F],以圆心[O]为轴,[mA]和[mB]的力臂都为零,力矩为零;有[mAg?Rcos60°=mBg?Rcos30°],得[mAmB=31]

点拨 比较上述解法,显然从力矩的角度思考更简明轻松. 要求同学们掌握力矩的概念,会找各力的力臂——转轴到力的作用线的距离.

例4 长[L]、质量 [ 图7]为[m]的均匀直杆[AB]放置在光滑的半径为[R]的半球形碗内,如图7所示,平衡时,求碗口处对杆的支持力大小[NB].

解析 本题直杆受三个不平行的力而静止,三力矢量和为零,三力必共点(三力汇交定理),三力构成封闭的“力矢量三角形”,如图8所示.

根据图中几何三角形与力矢量三角形相似,有

方法一:[mg2R=NBL2],得[NB=L4Rmg]

方法二:[BC=2Rcos2θ=L2cosθ],得[cos2θcosθ=L4R]

在力矢量三角形中,由正弦定理,有

[NBsin(900-2θ)=mgsin(900+θ)],即[NBmg=cos2θcosθ]

联立解得[NB=L4Rmg]

方法三:均匀直杆[AB]大小不能忽略,不是质点,是刚体. 对任意转轴,杆所受外力的力矩代数和为零. 以[A]为转轴,力[F]的力臂为零,力矩为零,有

[NB?2Rcosθ=mg?L2cosθ],得[NB=L4Rmg]

点拨 有固定转动轴物体平衡问题解题步骤:1.明确研究对象,即明确绕固定转动轴转动的是哪一个物体.2.分析研究对象所受力的大小和方向,并画出力的示意图.3.依题意选取转动轴,并找出各个力对转动轴的力臂,力矩的大小和方向. 特别是找力臂很关键. 4.列出两个平衡方程求解.

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