一类三循环半群的研究

徐文锋

（韶关学院数学与统计学院，广东韶关512005）

逆半群作为群最临近的推广,在半群理论中具有非常重要的作用.循环半群和双循环半群因其生成元简单,结构优美,一直以来对它们的研究都非常活跃,得到了许多很好的结论.文献［2-3］研究了双循环半群的同余刻画,文献［4-5］研究了广义双循环半群，文献［6］研究了一类特殊的三循环半群，文献［8］研究了4-循环半群的一个子半群，文献［7］研究了一类多循环半群.作为双循环半群的推广，本文研究了一类特殊的三循环半群.文中所用到的半群代数理论中的基本概念以及记号，如半群、循环半群、幂等元等，均与文献[1]相同，本文将直接引用而不再一一定义.

三循环半群根据其三个生成元之间关系的不同而得到不同的结构.例如，在文献［6］给出了三循环半群＜p，的结构，在文献［7］研究了三循环半群的结构.本文所要研究的三循环半群定义如下本文讨论三循环半群 T 的元素结构，其中 N表示全体自然数集合.

1 三循环半群的元素结构

定理1 三循环半群T中的每一个元素都可以唯一的表示为aibjck,其中i，j，k∈N.

在证明定理1之前，先来讨论下面引理.

引理1 对于T中的元素a，b，c,有cia=abi,其中i∈N.

证 对i作数学归纳法.当i=0时有a=a,结论显然成立.假设结论对i时成立，那么i+1时，根据T的定义有ca=ab，因此有ci+1a=cica=ciab=abib=abi+1.证毕.

引理3 对于T中的元素b，c，若有j≥1，则有cibj=bi+j,其中i∈N.

证 对i作数学归纳法.当i=0时有bj=bj,结论显然成立.假设结论对i时成立，那么i+1时，根据T的定义有cb=b2，因此有证毕 .

引理 4 对于 T 中的元素 a，b，c，若有 j≥1，则有

由上述引理可证定理1.

2 三循环半群T的自然表示

双循环半群除了它的定义表示以外，还可以由集合N到N的映射构成的半群来表示，以及由自然数集上的二元序对构成的集合表示.最后一种表示法也是最常用的一种方法，称为双循环半群的自然表示.

三循环半群T的自然表示可以通过分析三循环半群T的运算，在集合N×N×N中定义乘法，使之成为一个与半群T同构的半群.

在研究三循环半群T的自然表示时，因其乘法运算法则比双循环半群乘法运算法则复杂许多，为了表述上方便，给出记号 N（x，y）定义为

定理2令N表示自然数集，在N×N×N上定义乘法。如下：

则（N×N×N，。）是一个半群，并且同构于三循环半群T.

证 对于T中任意两个元aibjck和albsct,根据结合律以及上一节的结论，分情况讨论如下：

（1）l=0.

设 Π：T→（N×N×N，。）使得 aibjck→（i，j，k）.根据以上计算，得到 Π 是同构映射.所以（N×N×N，。）是一个半群，并且同构于三循环半群T.

3 三循环半群T的幂等元

定理3 T的幂等元除1以外，都是具有形式aj+kbjck的元素,其中j，k∈N，j＞0.

整理得：

由上式得到i=j=k=0或者i=j+k,其中j，k∈N，j＞0.于是得到T的幂等元除1以外，都是具有形式aj+kbjck的元素,其中 j，k∈N，j＞0.

将T中的全体元素如下排列：

显然地，该排列从左到右可以分成无穷多个方块，其中第i个方块的全部元素构成集合{aibjck，j，k∈N},i=0,1,2，···从行上看，该排列第 j行的全部元素构成{aibjck，j，k∈N},j=1,2，···三循环半群 T 的幂等元分布如下：第0 个方块含有幂等元 1，第 i个方块具有幂等元 aibi，aibi-1c，···，aibci-1,共有 i个，其中 i≥1.

［1］ohn M H.Fundamentals of Semigroup Theory[M].Oxford:Oxford University Press,1995.

［2］周淑云.双循环半群同余的刻画[J].青海师专学报(教育科学版),2005,22(4):8-10.

［3］徐文锋.双循环半群上的同余结构[J].韶关学院学报(自然科学版)，2012,33(8):11-13.

［4］蒋启芬,喻秉均.一类广义双循环半群[J].四川师范大学学报(自然科学版),1999,22(1):17-23.

［5］喻秉均,蒋启芬.广义双循环半群和Jones半群[J].数学进展,2000,29(3):235-244.

［6］朱用文.一类三循环半群[J].烟台大学学报(自然科学与工程),2006,19(3)166-169.

［7］江洪,田振际,王亚伟.一类多循环半群的研究[J].甘肃科学学报，2008，20(2):30-32.

［8］商宇,汪立民.关于4-循环半群的一个子半群-II[J].数学杂志,2013,33(6):983-988.