理解：让学生的数学运算有理可循

运算能力是《义务教育数学课程标准（2011年版）》的十个核心词之一，“运算能力主要是指能够根据法则和运算律正确地进行运算的能力。培养运算能力有助于学生理解运算的算理，寻求合理简洁的运算途径解决问题。”数学运算的关键能力具体表现为：理解运算对象、理解运算法则、探索运算思路和实时求得结果。其中，学生数学运算的理解能力，尤其是对算理和抽象算法的理解尤为重要，它是学生掌握运算法则，选择运算方法，形成口算、笔算、估算等技能的基础和前提，是学生进行数学运算的隐性素养。

一、理解数的意义，奠定数学运算的基石

数是数学运算的对象之一，正确理解数的意义，能够帮助学生明晰算理的内在含义，创造性地进行数学运算，提升对算理的理解水平。

1.破解抽象。

数学源于生活，但生活中的认数并非数学意义上的认知。教师要引导学生经历从日常生活中抽象出数的过程，从中理解数的意义、数的组成，理解比大小、求近似数等。例如：苏教版教材中“分数”这一知识点，就遵循着理解的规律而编排。在三上教材中，学生通过学习“一个物体或一个平面图形不能平均分成整数个”，认识分数的表示。在三下教材中，通过学习将多个物体组成的一个整体平均分的“分桃”案例，进一步抽象认识“表示出的份数与平均分的份数之间的关系”。最后，在五下教材中，学生通过整体把握分数的意义，认识单位“1”、分数的意义和分数单位，继而开始认识假分数，理解分数既可表示两个量之间的关系，又可表示具体量。三个阶段的学习，学生在逐步抽象的过程中理解数的意义，为探索运算法则奠定基础。

2.比较联系。

自然数、分数、小数、百分数之间互相联系，不同形式的数可互相转化，这为打通数学运算法则奠定了基础，也为寻求合理简洁的运算方法提供了可能。

例如：教学苏教版五上《小数的意义和性质》时，教师可引导学生在认识分数的基础上认识小数。通过回忆“分母是 10、100、1000……的分数可以用小数表示”，认识“一位小数表示十分之几，两位小数表示百分之几，三位小数表示千分之几……”通过比较建立联系：1里面有10个0.1，0.1里面有10个0.01……在体会小数与分数联系的基础上，学生将小数纳入到十进制计数法中，理解了小数加减法也要相同计数单位才能直接相加减，小数乘法运算也应依据整数运算中乘法与加法的联系以及积的变化规律来理解和运算，小数除法运算可以依据小数的意义加以理解和计算，或利用整数除法中商不变的规律顺利迁移。通过比较，在学生原有认知结构中建立小数与分数、小数与整数之间的运算关系，能够帮助学生根据计算需求寻求简便算法，培养学生的创新思维能力。

3.合情推理。

理解数的意义，能够促使学生对计算算理的理解由无意关注发展为自觉认知，帮助学生进一步明晰算理的内在含义。

例如：在教学估算时，教师可以出示实际问题：每箱西瓜48元，张大叔带200元，买4箱西瓜够不够？教师可以引导学生依据“数的认识”中“近似数”的知识，把48看作最接近的整十数50来估算。正确认识近似数的意义并找到一个数的近似数，对合理估算、用估算监控计算结果有着重要作用。

二、理解四则运算的意义，把握数学运算的逻辑

1.现实中体会。

小学生的思维具有直观性强而抽象程度不高的特点，教师可据此引导学生在解决实际问题的过程中理解四则运算的意义和概念。

例如：教学加法运算时，教师可以通过设计“原来有多少，来了多少，现在有多少”等实际问题理解其衍生意义或不同表现形式，从而明确加法的定义：将两个或两个以上的数、量合起来，变成一个数、量的计算。减法运算的基本意义则是“从总数中去掉一部分，得到的是另一部分”，也可以表达为从一个数中减去另一个数的运算。在加法的基础上，继而学习乘法——求若干个相同加数的和的简便运算。对于除法运算，低、中年级的学生可以在平均分的基础上理解意义，高年级学生可理解为“已知两个乘数的积与其中一个乘数，求另一个乘数的运算”。

2.意义中关联。

加法是四则运算的基础，减法是加法的逆运算，乘法是加法中特殊情况的简便运算，除法是乘法的逆运算。体会四则运算意义间的关联，学生可根据对运算意义的理解，认识新学习的运算的意义。

例如：教学苏教版二上《表内除法（一）》时，就可以以平均分（正好分完）为基础，帮助学生理解“平均分的过程相当于每次减相同的数，直至结果为0（即正好分完）的过程”，建立除法和减法的意义关联，为学生理解用竖式计算除法的算理奠定基础。

3.理解后运用。

学生体会了四则运算的意义及其联系之后，在理解算理或遇到陌生运算问题时就可以独立探索，并能合理解释其运算过程。例如：教学苏教版三下《有趣的乘法计算》后，教师可以引入“印度算法”。教师先出示例题：13×14，再出示计算过程：13+4=17，17×10=170，3×4=12，170+12=182。

这种计算思路，用乘法的意义可以解释为13×14→14×13，可看作 10个 13和 4个 13；4个13又可进一步看作4个10和4个3；10个13结果和13个10相等，因此共有17个10和4个3。据此对印度算法展开探索：2□×2□、3□×3□、4□×4□……最后总结两位数乘两位数的口算、竖式、印度算法之间的联系，理解不同运算形式、不同运算方法之间的内在关联和算理。

三、理解运算法则，让意义自然流淌

理解算理的基础是对数、运算意义的认识，理解算理的目的是为了算法抽象，理解算理几乎是数学理解能力的最高水平。

例如：教学苏教版三上《两、三位数除以一位数》中首位除后有余数的情况时，教师可以出示例题52÷2，引导学生理解计算法则：每份先分得2个十，分掉4个十，余下1个十；余下1个十和2个一合起来再分。1个十和2个一合起来是12个一，除以2，每份是6个一，所以商6写在个位上。通过这样的分析帮助学生重点解决“十位上除过后余下1个十，接下去怎样算”的问题。

综观小学阶段整数、小数、分数等不同形式的数，及其加、减、乘、除四则运算，不管是口算、竖式计算还是估算，教师都应先引导学生理解数及其运算的意义，以此为据理解算理，促使学生对数学运算的理解和掌握。