用均值不等式 求条件最值题

张世林++田金政

高考题和各地的模拟题经常涉及多元函数的条件最值问题，这类问题对考生的能力要求较高，稍不注意就会产生错误. 为此，本文将这类问题的常见求解策略举例分析如下.

直接放缩

直接对条件求解式利用均值不等式进行放缩，此时应特别注意等号成立的条件.

例1 （1）若，，则的最小值为____________.

（2）已知正数满足，试求，的范围.

解析 （1）∵，

∴.

∴，或.

∵，

∴.

（2）方法一：∵，，

.

即

解得，.

当且仅当，，即时，等号成立.

故的取值范围是.

又，

即

解得，.

当且仅当即，等号成立.

故的取值范围是

方法二：∵，，

，且.

则.

∵，即.

则

.

当且仅当时，等号成立.

故的取值范围是.

当且仅当时，等号成立.

故的取值范围是.

点评 第（2）问中，方法一是换元与放缩的结合，方法二是减元与函数思想的结合.

合理配凑

将已知等式合理变形、恰当配凑，使之能用条件且保证和（或积）为常数，其间渗透着换元的思想.

例2 （1）已知，，且，则的最大值为 .

（2）已知，，，则的最小值是（ ）

A. 3 B. 4

C. D.

解析 （1）由题意得，

.

，

则.

（2）因为，

所以.

整理得，.

即.

又，.

当且仅当时，等号成立.

答案 （1） （2）B

“1”的代换与消元

例3 已知正数满足，求的最小值.

解析 方法1： （均值不等式法）由得，

则

.

当且仅当即时，等号成立.

故此函数的最小值是18.

方法2：（消元法）由得，

又，即

，故

則

.

当且仅当，即时，等号成立.

故此函数的最小值是18.

例4 已知两正数满足，求的最小值.

错解一 因为对，恒有.

从而.

所以的最小值是4.

错解二 由题意得，.

所以的最小值是.

分析 错解一中，等号成立的条件是，且相矛盾. 错解二中，等号成立的条件是，这与相矛盾.

正解 由题意得，

=

.

令， 则.

因为在上单调递减，

故当时，有最小值.

所以当时，有最小值.

挖掘隐含条件

例5 已知是不相等的正数，且，则的取值范围是（ ）

A. B.

C. D.

解析 由得，

.

于是.

故

解得，.

答案 B

点评 本题容易漏掉这个隐含条件而误选A.endprint