探求不可求函数零点存在区间的策略

黄如炎

1 问题提出

函数零点是高中函数的重要内容，探求不可求函数零点的存在区间，是高考的重点、热点和难点，是考查学生数学关键能力、学科素养和核心价值的把关试题.要证明连续函数f（x）在区间（a，b）内存在零点，根据函数零点存在定理，需要找到实数a，b，使f（a）f（b）<0，因此研究函数零点问题常归结为探求函数零点的存在区间.探求不可求函数零点，学生思路茫然，有些教师干脆用“画图说明”替代逻辑推理，失去了数学的严谨.高考命题组给出的标准解答具有抽象、严谨、精炼、规范的特点，体现了数学的理性思維，很有数学味，但由于没有给出零点探求的思维过程（连图形都没有），使师生很难领悟标准解答.对直接给出的结论，学生更感犹如天降，百思不得其解，不利于学生思维的发展[1][2].

如何有效突破不可求函数零点的存在区间这一教学难点，找到一种“接地气”的教师可教、学生可学、考试可用（在很有限的时间内）的研究策略是广大师生的殷切期盼.笔者认为解题教学既要直观性又要严谨性，既要学术性又要教育性.探求不可求函数零点要顺应学生形象思维到抽象思维的认知过程，通过求导作图，特值验证，放缩化归等有效策略，启迪学生心智，引导学生经历数学发现和数学创造的思维历程，揭示蕴涵解题背后的核心素养、数学本质和思想方法.本文基于学生思维的发展性，教学的实效性和考试的实用性，通过近年高考压轴题的原创解法，给出引导学生探求函数零点存在区间的有效策略.endprint