三圆环型达曼光栅衍射与缺级

刘志伟 范 轶

(电子科技大学英才实验学院 四川 成都 611731)

王莹媛

(电子科技大学电子工程学院 四川 成都 611731)

吴明和 邬劭轶 滕保华

(电子科技大学物理电子学院 四川 成都 611731)

1 引言

光栅作为重要的分光元件和光谱仪器的核心元件，在计量学、天文学、集成光学、光通信、原子能等方面具有广泛的应用.达曼光栅就是一种利用空间坐标调制的位相光栅，通过特殊的孔径函数的衍射光栅产生一维或者二维的均匀光束，从而实现等强度的阵列光束[1].通常可以用机械刻划的方法制作圆环型的达曼光栅，来实现对称的等强度光强分布的圆环型衍射场[2]，从而在图像编码、全息照相以及X光层析成像等领域，起着不可或缺的重要作用.但是与直缝光栅相比，圆环型光栅的制作难度很大，因此圆环型达曼光栅远没有像直缝光栅那样得到深入的研究[3～6].

本文首先介绍圆环型达曼光栅的基本性质，然后设计一种三圆环型达曼光栅，并解析推导该圆环型达曼光栅的光强分布，从而根据相关参数分析产生缺级现象的条件.

2 圆环型达曼光栅的基本性质

通常圆环型达曼光栅根据下列4个参数进行设计[5]：

(1)圆环型达曼光栅的阶，即衍射面上等强度的衍射光环的环数.

(2)圆环型达曼光栅的环数，即光栅相位和(或)幅度改变的环数.

(3)圆环型达曼光栅的衍射效率，即

其中Ii是均匀环形衍射场第i环的光强峰值，Itotal为所有衍射光强的总和.

(4)圆环型达曼光栅的均匀度，即

其中Iav为平均光强，定义为

可以看出，对圆环型达曼光栅比较重要的两个参数是圆环型达曼光栅的阶与环数，因为它们是决定在衍射面上产生若干等强度衍射光环的关键参数.实际上，圆环型达曼光栅可以产生若干等强度的衍射光环，就是设计光栅的阶与环数导致光强重新分布的结果.与此同时，圆环型达曼光栅对光强重新分布的另一个结果就是可能产生明显的缺级现象.缺级现象同样是光学研究领域中的一个重要现象，比如圆环型达曼光栅在光学图像编码上的重要应用[3]，就是利用了其中的缺级现象.

3 三圆环型达曼光栅的设计及光强公式

为了方便起见，本文将圆环型达曼光栅的环数限定为三环，通过调整参数即可在不同的衍射环处产生缺级现象.设达曼光栅每个环的宽度d全部相同，但中间圆环的位置可变，即可从靠近最外面圆环向内移动，不透光为2个环，透光为3个环.按照归一化计算，最大外围半径为1.由于每个环的宽度已经确定，现只需确定外围不透光的环的宽度即可以确定该三圆环光栅，设其为γ.三圆环达曼光栅的平面示意图如图1(a)所示，入射面光强度随半径变化的一维图如图1(b)所示，特定参数下的衍射图案如图1(c)所示，可以看出存在明显的缺级现象.

图1 三环达曼光栅

对于圆环光栅，其衍射场的振幅公式为[5]

(1)

这里J1(p)为一阶贝塞尔函数，p为衍射场面上归一化半径，即

表示在透明介质上形成的多个同心环带的位相分布,而ρ为衍射面上实际半径，f为透镜的焦距，R则是圆环达曼光栅的外半径，λ为波长.φ0是环带的二值位相，取0，π.{rj}是圆环达曼光栅归一化的半径参数，并且r0=0，rN=1.通常通过改变{rj}，以产生需要的衍射场.

于是可以得到本文设计的三圆环型达曼光栅的远场衍射场振幅公式

(2)

考虑到r1=d，r2=1-2d-γ，r3=1-d-γ，r4=1-d，最终获得三圆环型达曼光栅的远场衍射场的振幅和光强为

U(p,d,γ) =

(3)

I=U2(p,d,γ)

(4)

4 各参数对三圆环型达曼光栅衍射的影响及缺级

根据式(4)可以直接计算参数(γ，d)对衍射光强度的影响.在分析圆环型达曼光栅时，以前的工作中多是给出了数值解[2]，但是本文给出的式(4)是一个解析表达式，将使对衍射光强的分析更加方便和具体.

图2给出了归一化条件下不同γ与d值的光强分布.

图2 半径方向上的衍射光强度随γ与d的变化情况

通过分析图像可看出，随着γ的增大，光能量逐渐向外分布，即通过控制γ的大小，可使光强分布达到所需要的衍射场分布；随着缝宽d的增大，能量集中到零级，衍射效果逐渐减弱；若缝宽d增大但同时γ减小，则逐渐近似为一个圆孔衍射，即此时主要能量将集中在零级，这与圆孔衍射的结论是相同的.

由于衍射光强分布随着d与γ的变化而改变，所以对适当的参数(γ，d)，可以出现在光强分布中的缺级现象.比如图3(a)是控制d不变，通过改变γ得到的光强分布图.可以看出当γ为0.18时，第3级是一条亮环，而当γ变为0.12时，则在第3级为明显的缺级.而图3(b)为控制γ不变，通过改变缝宽d得到的光强分布图.可以看出，当d从0.03变化至0.2时，第3级衍射图案从亮环变化至缺级再变化为亮环，即在d= 0.14时第3级出现明显的缺级.

图3 参数γ与d变化时，显示缺级现象的衍射光强度图

5 结论

本文设计了一种三圆环型达曼光栅，得出了该三圆环型达曼光栅的衍射场公式，从而探究了三圆环型达曼光栅的衍射场强随参数变化而重新分布的情况，并分析了其中的缺级现象.本文的解析公式和数值计算表明，圆环达曼光栅不仅可以使衍射光强重新分布，而且能在某些位置产生明显的缺级衍射现象，从而使学生对波动光学中光栅及光栅衍射有了更深入的认识.

1 J. Turunen and F. Wyrowski, eds.. Diffractive Optics for Industrial and Commercial Applications. Berlin: Akademia-Verlag, 1997:165～185

2 Zhou Changhe,JiaJia,Liu Liren. Circular Dammann grating. Optics Letters,2003:2174～2176

3 KBDoh，K Dobson，TC Poon，PS Chung. Optical image coding with a circular Dammann grating.Applied Optics, 2009, 48(1):134

4 赵帅,钟宝漩.圆环达曼光栅.激光与光电子学进展. 2007, 44(2):24～24

5 贾佳,周常河,刘立人.圆环形达曼光栅. 激光与光电子学进展, 2003, 40(12):41～45

6 杨沁玉，丁可，陆爱江，等. 大学物理中关于光的干涉、衍射及光栅教学问题的讨论. 物理通报,2010(8):10～12