解析函数的柯西定理在安培环路定理证明中的应用

2018-01-25雍永亮

科教导刊 2017年35期

关键词：证明

雍永亮

摘要大学物理中的安培环路定理是学生重点掌握的内容之一，其证明也是必须要讲解的内容。现有的教材在证明过程中多涉及复杂的矢量和积分运算，从而给学生的理解以及讲解带来一定的困难。本文利用解析函数的柯西定理，给出了一种简单明了、直观易懂的证明方法，适合在普通物理和电磁学教学与研究中使用。

关键词解析函数柯西定理安培环路定理证明

中图分类号：O441 文献标识码：A DOI：10.16400/j.cnki.kjdkz.2017.12.026

Abstract The Ampere Circulation Theorem in general physics is one important content should be grasped， and its proof also be explained. In current textbooks， the proof basically involves complex vector and integral operation， which makes it difficult to understand for students and explain for teachers. In this essay， using the Cauchy theorem of analytic function， one of methods that are directly-viewed and easy to understand is given， which is suitable for use in teaching and investigation of general physics and electromagnetism.

Keywords Analytic function， Cauchy theorem， Ampere circuital theorem， proof

对于大学的物理课程，静电场和稳恒磁场的安培环路定理是非常重要的知识点之一。对于电场而言，安培环路定理反映了电场是保守场，可以引入电势能的概念。而对于磁场而言则反映了磁场和产生磁场的电流之间的关系，说明磁场是有旋场，学习中则可以利用该定理非常方便地求出具有高度对称的电流所激发的磁场分布。因此，它们的证明过程对于学生理解和掌握该定理具有重要的作用，事实上，教学中安培环路定理的证明也是必讲内容。目前，不同的普通物理教材对此定理的证明过程各不相同，但基本上都包含了抵消法、矢量分析法和圆心角的方法等。[1-3]证明过程中出现的复杂的矢量分析运算，积分运算等使得学生很难简单明了的理解安培环路定理的证明，从而影响对其物理意义的掌握和运用。本文利用解析函数的柯西定理来证明安培环路定理，基本上不涉及复杂的矢量分析和运算、积分运算，过程简单明了，思路清晰，在国内广泛使用的教材中未见出现此证明方法。

柯西定理在一般的数学物理方法的教材中均会提及，是解析函数积分理论的基本定理，它给出了解析函数的一个重要性质-解析函数在其区域取值的关联性。[4]它分为单连通区域和复连通区域的柯西定理。为了叙述清楚，先简单给出柯西定理。

单连通区域的柯西定理：若复变函数在单连通区域内处处解析，则在内沿任意闭曲线的积分为零，即。此定理说明单连通区域上的解析函数在此区域上的积分值与路径无关。复连通区域的柯西定理：设是由C0， C1， C2， … ， Cn围成的复连通区域，函数在内解析，在上连续，则有。

1静电场的安培环路定理的证明

静电场的安培环路定理表明：在静电场中，电场强度沿任意闭合路径的线积分恒为零，即。

先讨论点电荷产生的静电场。设静止的点电荷（带电量）位于点（如图1所示），其在周围激发电场，距点的任意距离r处的电场强度（为点指向场点的单位方向矢量），现求沿任一回路的积分值。

回路分为两种情况，包含点的围线和不包含点的围线，其任意一回路如图1中A和B所示。

电场强度沿任意闭合路径的线积分

其中为位移和间的夹角。从上面的式子可以看出，沿的被积函数可以看作是以为自变量的函数，即。可以看出E（r）在除了点r=0的整个空间都处处解析。故。

若所选回路l为围线A时，E（r）在围线A所围的区域上为解析函数，且A所围的区域为单连通区域，由单连通区域的柯西定理可知：。

若所选回路为围线B时，即围线包围点电荷Q，此时在围线B内，以点O为圆心，任意小的正实数为半径做一圆周C（如图1所示），由复连通区域的柯西定理可知，，

此时，圆周C上的方向沿圆周的切线方向，与的方向垂直，故二者之间的夹角为90€埃琧os =0。即。

则

综上考虑，即，证毕。

对于带电体而言，按照一般教材所讲的，由电场的叠加原理即可推出上述结果。

2稳恒磁场的安培环路定理的证明

现有的教材一般都采用无限长载流直导线产生的磁场进行讨论，归纳出恒定磁场的安培环路定理，在证明环路包围电流的情况时，一般先求出以导线为圆心，半径为r的圆周为积分路径的值，之后考虑包围导线的任意围线的值，其中往往涉及复杂的矢量运算和积分，在证明环路不包围电流的情况时多采用圆心角的方法证明，整个过程复杂，难懂。我们仍以无限长载流直导线产生的磁场为例来研究的值。

第一步，在垂直于导线的平面内任意作一包围电流的闭合曲线（如图2a），其中L是以导线为圆心，r为半径的圆。取环路积分方向与电流流动方向成右旋关系。此时，我们保留一般教材上的证明方法，我们可以得到

。

第二步，在垂直于导线的平面内任意作一包围电流的闭合曲线A（如图2b），此时，

，令，可以看出B（r），除了r=0处以外，其他整个空间都处处解析的。由复连通区域的柯西定理可知，B（r）沿著A围线的积分值应该等于沿围线C（如图2b）的积分值，其中围线C为在围线A内以导线为圆心，为半径的圆。即，由第一步可知，。

故。此思路可以扩展到包围电流的闭合曲线不在一个平面内的情形。

第三步，任意作一不包围电流的闭合曲线M，如图2c所示，，此时的B（r）在围线M所围的区域内处处解析，由单连通区域的柯西定理可知：，即不包围电流时，积分值为零。

第四步，取环路积分方向与电流流动方向成左旋关系时，由复变函数的积分性质可知，以上的讨论中必多负号，即。

第五步，推广到一般情况，整个空间有多个电流，对任意一个围线而言，则可根据一般教材上的思路讲解。

3小结

不论是静电场还是稳恒磁场的安培环路定理的证明，我们可以看出来，整个过程没有涉及复杂的矢量运算和积分运算，只是利用了解析函数的柯西定理，过程简单明了，便于掌握。解析函数的柯西定理，不失为证明安培环路定理的一种简单有效的好办法，同时，这对培养学生灵活运用已学数学知识解决问题具有帮助意义。

基金资助：国家自然科学基金（61774056和11304080）、河南科技大学博士启动基金资助

参考文献