“否命题”等于“命题的否定”?

张圣官

现实学习中，不少同学常常把“否命题”与“命题的否定”混为一谈．其实这两个概念是在不同的层面上研究问题时所出现的．“否命题”出现在“命题及其关系”中，指的是当原有命题（即原命题）为“若p则q”形式时，同时否定它的条件和结论得到“若┐p则┐q（读作若非p则非q）”，这称为原命题的否命题；而“命题的否定”是指将命题p（通常是较简单的命题）直接进行否定得到┐p，也即是直接得到命题的反面．

1.要写出否命题，首先要将原命题改写成“若p则q”形式

例1已知命题“全等三角形一定相似”，试写出它的否命题，并判断这两个命题的真假．

解将原命题改写为：若两个三角形全等，则它们一定相似．其否命题即为：若两个三角形不全等，则它们一定不相似．原命题为真，否命题为假．

点评将原命题首先改写成“若p则q”形式，是正确写出否命题的关键．当然还要注意这里的“一定”是语气助词而不是谓语动词，有的同学会写成：若两个三角形不全等，则它们不一定相似．这样写就错了！违背了常用逻辑的基本规则．事实上，在处理命题中含有“一定”、“必然”等词语的问题时有一个办法是切实可行的，这就是将它们去掉，因为它们仅仅是加强语气而已．

还有一点需要强调的是，原命题为真（假）时，否命题的真假性并不确定，即否命题可能为真也可能为假，这要根据具体的问题结论来确定．在四种命题关系中，原命题与逆否命题真假性相同，逆命题与否命题真假性相同．

例2写出命题p：“若a，b，c∈R，ac＜0，则方程ax2＋bx＋c＝0有两个不相等的实数根”的否命题．

分析本题中对“p”的理解很关键，“a，b，c∈R”必须当做前提条件才行，而不能对它进行否定．否命题应该写成“若a，b，c∈R，ac≥0，则方程ax2＋bx＋c＝0没有两个不相等的实数根”．

如果命题中含有逻辑联结词“或”、“且”、“非”时，那么在写“┐p”和“┐q”时要注意利用等价命题的原理和规律．

例3写出命题“若ab＝0，则a＝0或b＝0”的否命题，并判断两个命题的真假．

分析原命题是真命题，逆命题是真命题，因此写出的否命题必须也为真命题才行．否命题应该为“若ab≠0，则a≠0且b≠0”，假如写成“若ab≠0，则a≠0或b≠0”的话就错了．

2.要写出命题的否定，关键是要找到原有命题中省略的量词

命题的否定是对命题p进行直接否定，通常针对的命题p是较为简单的命题．例如要对命题p：3＞2进行否定，当然┐p就是“3不大于2”，也即是“3≤2”．再如，请写出命题“实数的绝对值是正数”的否定，答案是“实数的绝对值不是正数”还是“不是实数的绝对值不是正数”呢？第二个逻辑上发生了混乱，这可不是对命题进行否定，是不对的；第一个从逻辑关系上来讲是对的，但写法不太规范．究竟该怎样才好呢？较为科学的做法是先找到原有命题中省略的量词“任意”或“存在”．具体到这道题而言，命题“实数的绝对值是正数”是指“任意实数的绝对值是正数”还是指“存在实数的绝对值是正数”？显然指的是前者，这是一个全称命题，即p：“任意实数的绝对值都是正数”，那么它的否定应该是一个存在性命题，┐p：“存在一个实数，它的绝对值不是正数”．

写命题p的否定形式，不能一概在关键词前加“不”，而要搞清这个命题研究的对象是个体还是全体．如果研究的对象是个体，只须将“是”改成“不是”，将“不是”改成“是”即可．如果命题研究的对象不是一个个体，就不能这样简单地处理了，而要分清命题是全称命题还是存在性命题．因此，在表述一个命题的否定形式的时候，不仅“是”与“不是”要发生变化，有关命题的关键词也应发生相应的变化，建议大家将常见关键词及其否定形式做个统计分类，制成表格，以加深印象．

命题p与它的否定┐p的真假性一定相反，即命题p为真，┐p一定为假；命题p为假，┐p一定为真．利用其中的逻辑关系，有时可以简化解题过程．

例4已知命题p：“∃x∈R，ax2－2ax－3＞0”是假命题，求实数a的取值范围．

分析本题若直接求解则较为繁难，由于该命题是存在性命题，因此依据上述全称命题与存在性命题的关系，将该命题的否定形式写出，依据 “命题真，其否定假；命题假，其否定真”可推知其否定形式必为真命题，从而求出满足题设要求的实数a的取值范围．

解因命题p：∃x∈R，ax2－2ax－3＞0的否定形式为┐p：∀x∈R，ax2－2ax－3≤0恒成立，由“命题真，其否定假；命题假，其否定真”可知命题┐p是真命题．事实上，当a＝0时，对任意的x∈R，不等式－3≤0恒成立；当a≠0时，借助二次函数的图象，数形结合，很容易知道：不等式ax2－2ax－3≤0恒成立的等价条件是a＜0且其判别式Δ＝4a2＋12a≤0，即－3≤a＜0．综合以上两种情形可知：┐p为真命题时，所求实数a的取值范围是－3≤a≤0，即命题p是假命题时，所求实数a的取值范围是［－3，0］．

点评这里巧妙地借助全称命题与存在性命题的关系及真假的判定，将较为困难的问题等价转化为“在一个不等式ax2－2ax－3≤0恒成立的条件下，求实数a的取值范围”，使问题得到了巧妙的化归与转化，达到了化难为易，避繁就简的目的．

3.当“否命题”与“命题的否定”碰面时，关键是各行其道

“否命题”与“命题的否定”这两个概念是在不同的层面上研究问题时所出现的，它们一般是不会碰面的．但是也需要注意一些特殊的情况下，既需要写出一个命题的否命题，也需要对它进行否定．这时怎么办好呢？一言以蔽之，各行其道就行了．

例5已知命题“对顶角相等”，试写出它的否命题以及该命题的否定，并分别判断它们的真假性．

分析写否命题前，先将原命题改为“若p则q”的形式．命题“对顶角相等”怎么表述呢？“若两个角是对顶角，则它们相等”，这样否命题写成“若两个角不是对顶角，则它们不相等”就行了；要对它进行否定之前，先看看原命题可以加上什么量词，是“任意”还是“存在”？发现命题“对顶角相等”是全称命题，可以改为“任意两个对顶角相等”，这样它的否定是存在性命题，写成“存在两个对顶角，它们不相等”就行了．在该题中，否命题以及命题的否定均为假命题．

例6已知命题“若x≥1，则x2≥1”，试写出它的否命题以及该命题的否定，并分别判断它们的真假性．

分析否命题为“若x＜1，则x2＜1”，是假命题；要对它进行否定之前，先将原命题变为“∀x≥1，x2≥1”，这样它的否定即为“∃x≥1，使x2＜1”，该命题是假命题．