兼顾序信息和强度信息的主客观组合赋权法研究

李 刚， 李建平， 孙晓蕾， 吴登生

(1. 东北大学工商管理学院 辽宁 沈阳 110819；2. 中国科学院科技战略咨询研究院，北京 100190)

1 引言

属性权重的合理确定是多属性决策问题的关键。比如投资决策、风险评价、效率评价、项目评估、方案优选、企业选址、科研成果评价和资源分配等问题研究中都涉及属性权重的计算。属性权重的确定方法大致可以分为主观赋权法、客观赋权法和主客观组合赋权法三类。主观赋权法代表性的有AHP法[1]、Delphi法[2]、BWM[3]和G1法[4]等；客观赋权方法代表性的有熵权法[5]、DEA[6]、主成分分析法[7]和基尼系数赋权[8]等。通过主观赋权法确定属性的主观权重时，主要依靠决策专家对属性自身重要性的判断，所以主观权重比较符合决策者对决策问题的基本认知，利用定性与定量相结合的方法，把决策者的主观意愿等定性判断通过定量方法计算出来，较好的体现决策者关于属性重要性的主观意愿，权重的可解释较强，不足是决策者在给出属性重要性关系时一般不考虑属性的实际取值，因此无法体现属性的数据信息。客观赋权方法跟主观赋权法刚好相反，客观权重无法体现属性自身的重要性，权重信息主要是来自于属性的数据信息，一般是依据该属性在决策方案排序上作用大小来确定，此外，如果决策方案发生变化，客观权重也会随之变化，可以说，客观权重的稳定性和可继承性比主观权重差，可解释性也弱于主观权重。鉴于主观权重和客观权重的优势和不足都如此明显，有更多的成果开始关注主客观组合赋权[9-11]，希望组合后的权重可以兼顾主观权重和客观权重的优势，克服两种赋权方法的不足，尽可能保证主客观权重的稳健性。根据组合的效果，主客观组合赋权方法可以分为基于向量层面的组合和基于元素层面的组合两类。第一类基于主客观权重向量层面的组合一般是通过对主客观权重向量分配权重系数进行线性组合，以及主观权重信息与客观权重信息的融合问题，该类组合应用广泛，研究也较为深入[12-13]。一方面，依据组合权重与主观权重、客观权重的偏差最小为目标函数建立优化模型，求解组合权重，保证组合权重与主客观权重的一致性最好[14-17]。另一方面，依据主客观组合权重计算的评价结果与主观权重、客观权重计算的评价结果的总离差最大为目标建立优化模型，求解组合权重，保证决策结果的区分效果最优[18-22]。第二类是基于主客观权重向量中的元素的组合，这类研究通常采用非线性的组合方式，代表性的有乘法合成法等[23-24]，但组合权重的可解释性不好。

主客观权重组合的主要目的是希望组合后的权重能够兼顾主观权重和客观权重的优点，尽管现有研究对组合赋权进行了大量的研究，但主客观权重的组合方式、主客观权重组合的合理性判别等两个问题还有待于进一步深入研究。

2 主客观权重的组合方式分析

考虑到主观权重不能反映数据信息，而客观权重无法体现决策者的主观意愿，从某种意义上讲，主观权重向量和客观权重向量都不是最优的权重向量。由此可以判断主客观权重向量中的属性权重信息，有些属性权重相对“优”一些，有些属性权重相对“差”一些，比如由不同的决策者通过主观赋权法确定3个属性的权重，可能会出现(0.7，0.2，0.1)和(0.6，0.3，0.1)的情况。主观赋权中，序关系相对精确，但属性之间的权重大小关系很难精确计算，无法判断哪一个更合理。客观权重的序关系又会受被评价对象的改变而改变。因此，为了权重的稳健性，需要进行主客观组合赋权，保证组合后的权重更为合理有效。

根据以上假设，分析现有主客观组合赋权存在的3个问题。

(1) 基于权重向量层面的组合赋权容易导致弱“优”强“差”问题

主观权重向量和客观权重向量的组合，如式(1)-(2)所示：

w=λα+(1-λ)β，(0≤λ≤1)

(1)

wi=λαi+(1-λ)βi，i=1,2,…,n

(2)

主客观组合赋权的最终目的是要强化“优信息”，弱化“差信息”。由式(1)-(2)可以看出，主客观权重向量中所有元素分配了一个共同的权重λ，客观权重向量中的所有元素分配了一个共同的权重(1-λ)。不同研究的区别是确定参数λ的方法不同。对主客观权重向量中的所有元素分配一个共同的权重会导致主客观权重组合中的弱“优”强“差”问题。

① 当λ>0.5时，即当主观权重向量分配的权重λ大于客观权重向量所分配的权重(1-λ)时，主观权重向量中“差”权重被强化了，而客观权重向量中“优”权重被弱化了。

② 当λ<0.5时，即当客观权重向量分配的权重(1-λ)大于主观权重向量所分配的权重λ时，客观权重向量中“差”权重被强化了，而主观权重向量中“优”权重被弱化了。

③ 当λ=0.5时，即当主观权重向量分配的权重等于客观权重向量所分配的权重时，每一个属性的权重都是主观权重和客观权重的均值，无法加强“优信息”，无法弱化“差信息”，间接导致了弱“优”强“差”问题。

综上，主客观权重向量的线性组合导致的弱“优”强“差”问题不可避免。

(2) 基于元素(属性)层面的主客观组合赋权存在“倍增效应”问题

以乘法合成法为例说明主客观权重的元素组合。乘法合成法下第j个属性的组合权重如式(3)所示：

(3)

(3) 组合权重的可解释性不强

前文分析了基于向量层面的组合赋权具有弱“优”强“差”的问题，基于元素层面的组合赋权具有“倍增效应”问题。另一方面，由于主客观权重的赋权依据不同，主观权重是依据属性自身的重要性，客观权重是依据属性的数据信息，那么主客观权重的相加或者相乘，意义是什么？即使有意义，那么如何说明组合后的权重是兼顾了主客观权重的优点？称组合权重是兼顾了主客观权重的不足也未尝不可。因此，组合权重的解释性不强，或者说不够理想。

基于此，本文将在元素组合的基础上，提出了权重信息的分解方法，构造基于元素组合的主客观权重组合赋权优化模型，计算兼顾序信息和强度信息的组合赋权模型。

3 权重信息的分解及差异性研究

为了研究主客观权重的合理组合方式，由定理1给出主客观权重信息的分解及差异性分析。

定理1属性的主观权重和客观权重所表达的信息可以分解为“序信息”和“强度信息”两部分，由于主客观权重的赋权依据不同，所以主客观权重的“序信息”和“强度信息”的含义是不同的，有差异的。

(1) 权重信息的分解

通过实例说明主客观权重向量中“序信息”和“强度信息”的表达。假设属性个数为3的主观权重向量α=(α1,α2,α3)=(0.5,0.3,0.2)，所谓属性权重反映出的“序信息”是根据0.5，0.3和0.2可以判断属性的重要性排序：α1>α2>α3。所谓属性权重传递的“强度信息”是说各个属性的权重大小不仅仅体现了属性的重要性排序，还体现属性的重要性的强度信息。比如属性α1和α2都比属性α3重要，但是重要的程度不一样。α1是α3的2.5倍，而α2仅是α3的1.5倍。同理，客观权重向量β=(β1,β2,β3)=(0.1,0.6,0.3)同样传递了“序信息”和“强度信息”，“序信息”就是β2>β3>β1，而“强度信息”传递了β2是β3的2倍，β3是β1的3倍，β2是β1的6倍。

(2) 主客观权重分解信息的差异性

尽管主观权重向量和客观权重向量都传递了“序信息”和“强度信息”，但是两类赋权方法传递的“序信息”和“强度信息”是不同的。

① “序信息”上的差异性

主观权重的“序信息”是属性自身的重要性，客观权重的“序信息”一般是区分度重要性。所以，同一个决策问题中，主客观权重的“序信息”一般是不一致的，即使一致，也不是真正的“完全一致”，因为主客观权重的赋权依据是不同。

② “强度信息”上的差异性

主观权重的“强度信息”是基于属性自身重要性的强度信息，客观权重的“强度信息”是基于区分度大小的强度信息，考虑到主客观权重“序信息”差异，“强度信息”也无法保证其一致性。

综上，一方面，属性的权重都可以分解为“序信息”和“强度信息”。另一方面，主客观权重的“序信息”和“强度信息”又是有差异的。正是这种差异为主客观权重的合理组合提供了可行性，为保证组合权重兼顾主客观权重的“序信息”和“强度信息”创造了条件。

4 兼顾“序信息”和“强度信息”的组合赋权优化模型

4.1 组合赋权优化模型建立的思路

为了保证组合权重能够兼顾主客观权重的优点，即兼顾主客观权重的“序信息”和“强度信息”，给出定理2。

定理2在信息表达上，主观权重的“序信息”优于其“强度信息”，客观权重的“强度信息”优于其“序信息”；合理的主客观组合权重应优先兼顾主观权重的“序信息”和客观权重的“强度信息”，再兼顾主观权重的“强度信息”和客观权重的“序信息”。

定理2的解释证明：主观权重的“序信息”是属性本身重要性的表达，决策者决策意愿的表达；客观权重的“序信息”是属性区分能力的表达，含义不如决策者对属性的判断丰富，另外，客观权重的“序信息”容易受到数据的影响而不稳定，所以组合权重的“序信息”应当优先考虑主观权重的“序信息”。主观权重的“强度信息”体现的是指标本身重要性的强弱关系，而客观权重的“强度信息”则是根据属性的区分度大小给出，考虑到主观赋权中，确定属性之间重要性之比的主观随意性，主观权重“强度信息”的参考价值弱于客观权重传递的“强度信息”。所以组合权重“强度信息”应当优先考虑客观权重的“强度信息”。证毕。

根据定理2确定了组合权重在信息表达上的原则。那么主客观权重的“序信息”和“强度信息”具体是如何兼顾呢？

定理3通过主客观组合权重的属性重要性排序与主观权重的属性重要排序偏差最小优先兼顾主观权重的“序信息”；通过主客观组合权重与客观权重的偏差最小优先兼顾客观权重的“强度信息”；通过属性主观权重的δ邻域和客观权重的δ邻域的交集，规范组合权重的合理区间，保证组合权重兼顾主观权重的“强度信息”和客观权重的“序信息”。

定理3的解释证明：首先，通过属性的主客观组合权重的排序与主观权重的排序的一致性优先兼顾主观权重的“序信息”和通过主客观组合权重与客观权重的偏差最小优先兼顾客观权重的“强度信息”是好理解的。然后，若组合权重落在主观权重的δ邻域(δ足够小)，则说明该属性组合权重既能兼顾主观权重“强度信息”，又能体现主观权重的的“序信息”；同理，组合权重落在客观权重δ邻域(δ足够小)，也说明组合权重能够兼顾客观权重的“序信息”和“强度信息”，所以当组合权重既落在主观权重的δ邻域，同时又落在客观的δ邻域，就能说明可以兼顾“序信息”和“强度信息”。综上，每一个属性组合权重的合理取值区间应该是其主观权重的δ邻域与客观权重的δ邻域的“交集”。同时说明元素层面的属性主客观权重组合比对主观权重向量和客观权重向量的组合更加合理。

4.2 组合赋权优化模型的建立

根据定理2和定理3，构造目标函数和约束条件，建立组合赋权优化模型，求解兼顾“序信息”和“强度信息”的组合权重。

(1) 目标函数

为了保证组合权重可以优先兼顾客观权重的“强度信息”，根据定理3，组合权重与客观权重的大小偏差越小越好，所以通过属性组合权重与客观权重的偏差最小为目标函数。

(2) 约束条件

约束条件一：组合权重与主观权重中关于属性重要性排序的一致性约束

为了保证组合权重优先兼顾主观权重的“序信息”，需要保证属性的组合权重的大小顺序与主观权重的排序一致，顺序一致表明组合权重优先兼顾了主观权重的“序信息”。

约束条件二：属性组合权重落在合理区间

(4)

(5)

(3) 优化模型建立

根据目标函数，约束条件的设定，构造组合赋权优化模型求解组合权重，如式(6)所示。

(6)

优化模型的优点：目标函数(6.a)保证了属性的组合权重优先兼顾了客观权重的“强度信息”，但是目标函数仅仅是表示了其偏离度最小，至于是左偏离还是右偏离，都是等价的，所以需要约束条件(6.c)约束组合权重的偏离方向；约束条件(6.b)保证了属性的组合权重优先兼顾主观权重的“序信息”；约束条件(6.c)又充分保证了属性的组合权重兼顾了主观权重的“强度信息”和客观权重的“序信息”，同时也限定了属性组合权重偏离是带方向的，当主观权重小于客观权重时，必须是左偏离，反之，右偏离；约束条件(6.d)是基本约束，保证了组合权重满足权重之和等于1。

5 算例与实证检验

5.1 算例检验

通过算例验证本文提出的组合赋权优化模型计算的组合权重的合理性和可解释性。假设在一个包括5个属性的评价体系中，计算5个属性的主观权重和客观权重如表1第(2)、(4)列所示。由表1第2列和第4列的属性主客观权重可知：主客观权重的排序是不一致的，权重的大小也不尽相同，这是因为一个是依据属性本身的重要性，另一个是依据属性区分度的重要性，所以不一致是合理的。属性的主观权重充分表达了5个属性本身的重要关系，而5个属性的客观权重又在被评价对象的区分度上有好的表现。所以非常有必要将属性的主观权重和客观权重相结合，计算兼顾二者优势的组合权重。

表1 主客观组合权重

(1) 属性主客观组合权重的计算

首先，根据表1中的相关数据，利用式(4)-(5)确定组合权重的合理区间，列入表1第6列。然后，根据表1中的相关数据，利用优化模型(6)，求解属性的主客观组合权重，列入表1第7列。

(2) 属性的主客观组合权重分析

① 组合权重优先兼顾了主观权重的“序信息”和客观权重的“强度信息”。由表1中第3列和第8列看出，组合权重排序和主观权重排序是完全一致的，这充分说明了组合权重优先兼顾了主观权重的“序信息”。由表1第4列和第7列看出，第1、4、5个属性的客观权重和组合权重是完全相等的，从某种意义上说，这三个属性的组合权重充分兼顾了客观权重的“强度信息”，第2、3个属性的权重也落在了合理区间之中，足以说明其合理性。

② 组合权重兼顾了主观权重的“强度信息”和客观权重的“序信息”。由表1第(2)、(4)、(6)和(7)的数据可以看出，当属性的主观权重小于客观权重时，则组合权重落在客观权重的左邻域和主观权重的右邻域内。反之落在客观权重的右邻域和主观权重的左邻域。由第6-7列看出，所有属性的组合权重都落在合理区间中，由定理3可以判定组合权重兼顾了主观权重的“强度信息”和客观权重的“序信息”。

③ 基于属性层面的权重分配保证了组合权重的组合方式更为灵活。把表1中的主观权重、客观权重和主客观组合权重，代入式(2)计算主客观组合权重的四个权重调整系数λi(主观权重调整系数)分别为λ1=λ4=λ5=0，λ2=0.6786，λ3=0.7917。从λi的取值可以看出，本文所构建的优化模型在权重组合上更为灵活，改变了传统组合赋权中所有指标分配的同一权重的模式。

综上，该算例验证了组合赋权优化模型求解的组合权重是合理的，可解释的。下文通过实例5.2进一步验证了模型的可行性和有效性。

5.2 实证检验

本文以商业银行效率评价为例进一步验证通过优化模型求解组合权重的可行性和有效性。选择净利润和存贷比率两个产出指标，员工人数、固定资产和营业支出等三个投入指标评价商业银行效率，具体如表2所示。

表2 商业银行指标数据及其评价结果

(1) 评价指标AHP主观权重的计算

根据银行效率的内涵与评价指标的涵义，由商业银行效率评估专家给出指标之间的偏好关系，根据文献[1]的AHP赋权法构造关于指标的判断矩阵A，如表3所示。

表3 判断矩阵A

计算判断矩阵A的最大特征根λmax=5.0724。

判断矩阵A通过一致性检验。

判断矩阵A的最大特征根λmax=5.0724对应的特征向量(0.6994，0.5085，0.4087，0.2467，0.1564)，归一化得到5个指标的权重向量为(0.3463，0.2518，0.2024，0.1221，0.0774)。列入表4。

(2) 评价指标的Gini客观权重的计算

根据李刚等[8]给出的Gini客观赋权法计算5个指标的Gini客观权重。与主观权重不同，客观权重会因被评价对象的不同而改变，为了验证这一点，分别计算评价所有银行、大型商业银行和股份制银行下的指标客观权重，列入表4第(4)-(9)列。由表4中的三组客观权重可知：无论是权重大小还是权重大小顺序都是不同的，也就是说客观权重所反映出的序信息和强度信息一般是随被评价对象的变化而变化，而主观权重的序关系是相对稳定的，而客观权重所反映出来的不稳定也体现了其对被评价对象的区分能力要优于主观权重。鉴于本文要对所有商业银行的效率进行评估，故仅选择评价所有商业银行效率的客观权重与主观权重进行进行组合，尽可能兼顾主客观权重的优点，而且要有效区分被评价对象。

(3) 指标主客观权重的计算

首先，利用表4中的相关数据通过式(4)-(5)计算组合权重的合理区间；然后，利用表4中的相关数据，通过优化模型(6)，求解属性的主客观组合权重，列入表4第11列。

(4) 不同权重下的评价结果

由5.1中的算例和前文的分析已经证明了通过本文构建的优化模型求解组合权重的合理性和可解释性。通过计算不同赋权方法下被评价对象的有效区分来进一步验证组合权重的有效性。

首先，对表2中的原始数据进行标准化[8]；然后，计算基于DEA法的商业银行效率[27]，基于AHP主观权重、Gini客观权重等单一赋权下的评价结果[8]，基于加法合成法的评价结果和基于本文计算的组合权重下的评价结果；最后，计算各个效率评价结果的基尼系数值，同时将不同权重的评价结果生成柱状图1，从表2的评价结果和图1中不同赋权方法下的评价结果的区分效果来看，本文构建的组合赋权优化模型在求解组合权重上是有效的。

表4 主客观组合权重

图1 不同赋权下的评价结果区分度

6 结语

属性权重的确定一直是多属性决策的关键，围绕主客观权重的组合及其合理性判别问题，本文主要开展了以下三个工作：

第一，提出了将权重信息分解为“序信息”和“强度信息”的分解方式，保证了从元素层面对主客观权重进行组合的可行性。首先，分析了现有研究中基于向量层面的组合赋权和基于元素层面的组合赋权所面临的问题；然后，提出了权重信息分解为“序信息”和“强度信息”的分解方法；最后，分析了主客观权重关于“序信息”和“强度信息”的区别和联系。

第二，给出了组合权重应该优先兼顾主观权重的“序信息”和客观权重的“强度信息”，再兼顾主观权重的“强度信息”和客观权重的“序信息”的组合赋权原则，保证了基于元素层面组合赋权的合理性，并对主客观权重组合的合理性进行了研究，给出了判别主客观组合赋权方法合理性的判定方法。

第三，在工作1和工作2的基础上，以组合权重与客观权重的偏差最小为目标，以组合权重的大小排序与主观权重的大小排序的一致性，以组合权重的合理区间等为约束，建立求解组合权重的优化模型。最后，通过算例和实例验证了优化模型的合理性、可行性和有效性。

本文对主客观组合赋权方法和组合赋权的合理性进行了探索性的研究，希望本文构造的兼顾“序信息”和“强度信息”的组合赋权优化模型能给其他学者一点启示，进一步完善多属性决策理论与方法。

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