解几中的向量数乘问题举隅

赵枫

摘 要：许多解析几何问题均可与向量知识进行综合，其中有一类题型中经常会出现已知向量数乘的表达式，求有关参数的问题，根据不同的圆锥曲线类型及已知条件，一般可采取不同的求解方法，本文列举几例，以抛砖引玉。

关键词：解析几何；向量；数乘

中图分类号：G632 文献标识码：B 文章编号：1002-7661（2017）05-253-01

一、利用几何性质

例1、过抛物线 的焦点F，斜率为 的直线交抛物线与A、B两点，若 ，则 的值为___________

解析：过B作BC垂直于 于C，设BC=3t，AC=4t，AB=5t，有抛物线定义可得 ，所以

评注：求参数 的值即求AF与BF的长度之比，充分利用抛物线的几何性质求得长度之比相比于代数解法可以简洁方便得多.

二、利用韦达定理

例1.如图，设抛物线C： 的焦点为F， 为抛物线上的任一点（其中 ≠0），过P点的切线交 轴于Q点.

（Ⅰ）证明： ；

（Ⅱ）Q点关于原点O的对称点为M，过M点作

平行于PQ的直线交抛物线C于A、B两点，

若 ，求 的值.

解析：（1）略

（2） 设 ，由（1）得 ，设AB的直线方程为： ，则

① 由已知

代入①式得

评注：求参数 的值，关键是建立关于 的方程，在此题中将向量坐标化以后代入韦达定理可以消去 ，恰好可以建立关于 的方程.所以本题适合利用韦达定理解方程组来获解.

三、利用圆锥曲线方程

例3.椭圆C的中心为坐标原点O，焦點在y轴上，离心率 ，椭圆上的点到焦

点的最短距离为 与y轴交于P点（0，m）（异于原点），与椭圆C交于相异两点A、B，且

（1）求椭圆方程； （2）若 的取值范围.

解析：（1）

（2）设 ，则

代入椭圆方程 得：

评注：本题同样利用解方程组求解，但与韦达定理无关，而是向量坐标化以后将点坐标代入圆锥曲线方程消去 ，建立 与参数 关系，利用 的范围从而求得 的范围.endprint