浅谈线性规划在实际生活中的基本应用

华峰

中图分类号：G632 文献标识码：B 文章编号：1002-7661（2017）05-064-02

线性规划是数学应用的重要内容之一，其问题本身以及解决问题的方法蕴含着优化思想方法.现代生产实践中，决策优化已广泛运用，线性规划的工具作用体现得尤为重要.本文借助实际问题的解决，着重谈谈二元线性规划的基本应用.

应用（一）——确定决策方案种类

例1（99高考） 某电脑用户计划使用不超过500元的资金购买单价分别为60元、70元的单片软件和盒装磁盘，根据需要，软件至少买3片，磁盘至少买2盒，则不同的选购方式有多少种？

解：设购买软件x片，磁盘y盒，依题意得：

即

作出不等式组所表示的平面区域，如上图所示，则适合不等式组的有序整数对（x， y）的对数，也是直角坐标平面上阴影区域（含边界）整数点的个数.在可行区域中，不难判定整点共有7个，即不同的选购方式有7种.

[名师指导]：本题解法中将“选购方式”转化为可行域内的可行解是关键，将“选购方式”的多少转化为可行解的个数是解决本题的突破口.特别是利用线性规划解决实际问题时，有时要求最优解是整数解，需要在可行域内找出整数点，这也是实际问题中常常用到的.

应用（二）——优化资源配置

例2（04江苏） 某工厂生产甲、乙两种产品，生产每一吨产品所需的劳动力，煤、电耗及利润如下表

产品品种 劳动力（ 个 ） 煤（ t ） 電（千瓦） 利润（万元/ t ）

甲产品 4 9 3 7

乙产品 5 4 10 12

现因条件限制，该工厂仅有200个劳动力，煤360t，供电局只供电300千瓦，试问该工厂生产甲、乙两种产品多少吨才能获得最大利润？

分析：根据题目所列表格，列出所有限制条件，确定目标函数，然后按线性规划的方法求解.

解.设工厂生产甲、乙两种产品分别为x吨、y吨，总利润为z万元，则 目标函数 z=7x+12y

作出不等式组所表示的平面区域，如图阴影部分（含边界），作一组平行直线 ：7x+12y=z

当直线经过4x+5y=200 与直线 3x+10y=300的交点P（20，24）时，z达到最大值.故该厂生产甲种产品20 t，乙种产品24 t能使利润最大.

[名师指点]：本题是线性规划的实际应用题，属基本类型（Ⅰ）：给定一定数量的人力、物力资源，问怎样安排运用这些资源，能使完成的任务量最大，收到的效益最大.

线性规划应用题的一般解题步骤是：

①根据题意，建立数学模型，作出不等式组所表示的区域的图形，即可行域；

②设所求的目标函数f（x， y）的值为p；

③将各顶点坐标代入目标函数，试代验证，即可求得p的最大值和最小值.

应用（三）——优化统筹方案

例3（05海淀） 某人上午7点，乘摩托艇以匀速V海里/时（ ）从A港出发到距50海里的B港去，然后乘汽车以匀速W km/h（ ）自B港向距300km的C市驶去，应该在同一天下午4至9点到达C市.设汽车，摩托艇所要时间分别是x、y小时，如果已知所要经费p=100+3·（5-x）+2·（8-y） （元），那么V、W分别是多少时走得最经济？此时需花费多少元？

作一列平行直线系 ，当直线过可行域上点A（10，4）时，k最大，

即当x=10，y=4时，p最小，此时V=12.5，W=30，P的最小值为93（元）.

[名师指点]：本题是线性规划的实际应用题，属基本类型（Ⅱ）：给定一项任务，问怎样统筹安排，能使完成这项任务的人力、物力资源量最小.难点是把实际问题抽象转化为线性规划问题.关键是根据实际问题中的已知条件，找出约束条件和目标函数.

在实际问题中线性规划的应用极为广泛，熟练掌握二元线性规划的基本应用又是灵活解决生活中常见应用问题的基础.endprint