从曲边梯形面积到曲边梯形周长

李宇轩

摘要：定积分常被用于求解曲边梯形的面积，但是常与面积同时称道的周长应该如何求解呢？本文通过定积分求解面积中无限细分的思想，对周长中的曲边运用同样的思维方式，进行无限细分，计算出每一小段的长度，再对曲线长度积分，从而得出曲边梯形的周长公式。

关键词：定积分；曲边梯形；周长

一、前言

定积分可以用来计算平面直角坐标系Oxy中，由曲线y=f（x）与直线x=a，x=b以及x轴围成的曲边梯形的面积值（一个确定的实数值）。而对于平面直角坐标系中的曲线来说，其围成的曲边梯形的周长和面积都值得研究与思考。本文将研究利用定积分来求解曲边梯形周长的方法。

二、定积分

1、定积分的数学定义。如果函数f（x）在区间[a，b]上连续，用分点xi将区间[a，b]分为n个小区间，在每个小区间[xi-1，xi]上任取一点ζi（i=1，2，3，…，n），作和式f（ζi）+…+（ζn），当n趋于无穷大时，上述和式无限趋近于某个常数A，这个常数叫做y=f（x）在区间[a，b]上的定积分，记作

其中，a与b叫做积分下限与积分上限，区间[a，b]叫做积分区间，函数f（x）叫做被积函数，x叫做积分变量，f（x）dx叫做被积式.

2、定积分的几何意义。在平面直角坐标系Oxy中，由曲线y=f（x）与直线x=a，x=b以及x轴围成的曲边梯形的面积（一种確定的实数值）被称为定积分的几何意义。

三、定积分求曲边梯形的周长

首先我们整理一下定积分求曲边梯形面积的方法，然后通过相同的思路对曲边梯形的周长进行计算。

1、定积分求曲边梯形面积。

如图，我们需要计算的是曲边梯形的面积S。

（2）函数f（x）定义域为D，[a，b]∈D，且f（x）在[a，b]上是连续可导函数。

四、结语

通过定积分求解曲边梯形面积无限细分的思想，我们同样地可以去思考求解曲边体型的周长，得知在平面直角坐标系Oxy中，由曲线y=f（x）与直线x=a，x=b以及轴围成的曲边梯形的周长为：

参考文献

[1] 伍胜健.《数学分析》（第二册）[M].北京大学出版社，2010：1-9.

[2] 袁长江，王雯.“曲边梯形的面积”的教学[J].中学数学月刊，2008，（10）：19-22.endprint