高中数学函数分类讨论解题探析

张翰至

摘要：函数作为高中数学的重要内容，也是高中数学的一大难点。高中生普遍反映函数学习比较困难，因此探讨函数解题策略就显得至关重要。本文从函数概念出发，对分类讨论思想在高中数学函数解题中的应用进行探讨。

关键词：函数；分类讨论；高中数学

函数是贯穿高中数学课程的主线，是描述客观世界变化的重要数学模型，它所蕴含的思想与方法有利于培养学生的逻辑思维能力、问题解决能力、数学联结能力。高中生为了掌握函数这部分的知识，往往通过盲目的题海战术来提高解题技能。分类讨论思想符合高中生接受知识的一般过程，容易被学生接受，因此在数学学习中具有重要作用。随着数学体系的快速发展，学生在数学学习过程中应用分类讨论思想，不仅可以在解题的过程中快速找到函数习题的具体类型，还可以提高学生的解题效率。

一、函数在高中数学中的地位与作用

函数是贯穿高中数学的一条主线，内容被安排在高中教材必修1中，在数集的基础上利用映射的思想阐释函数的概念，紧接着是函数的表示方法、性质等。数学的学习是一个逐渐加深的过程，必修1中函数的学习可以培养学生的逻辑思维能力，必修2可以培养学生的空间想象能力，必修3可以培养学生的运算能力，从而为必修4三角函数的学习奠定坚实的基础。

函数是高中数学的关键，函数思想方法贯穿于高中数学课程的始末。同时，函数也是高中到大学进一步学习数学分析、实变函数、复变函数、微积分、泛函分析、拓扑学等高等院校开设的数学课程的基础，是从不同的角度研究函数而形成的课程[1]。同时，函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型，它广泛地渗透到其他学科中，比如：物理、化学、计算机等，这些学科常用函数知识作为研究问题和解决问题的工具，比如：可以利用三角函数测量山高、树高、调整电网等问题。此外，函数思想方法也广泛地渗透到其他学科中，也是进一步学习数学及其它学科的基础。

二、数学中分类讨论的常见类型

在进行分类讨论中应遵循以下原则：明确分类讨论的动因与方法，条理不明，不重不漏，分清主次，不越级讨论。若由于参数的不同取值造成原问题有不同的结论，作答时只能按类分述而不能合并。分类讨论的常见类型主要包括以下几个方面：

1、由数学概念引起的分类讨论。含绝对值的式子，去掉绝对值符号，需分正、负2种情况讨论；直线的斜率，当倾斜角为π/2时，斜率不存在；指数函数与对数函数的底数不确定时，要分01进行分类讨论等。

2、由性质、定理、公式的限制引起的分类讨论。差别式法的应用中对二次项系数是否为0要进行分类讨论等。

3、由数学运算引起的分类讨论。对数真数的要求，商的运算中分母不为0，利用导数法判断函数单调性，三角函数的定义域，导数的正、负不确定性或导函数的零点大小不确定等，需要进行分类讨论。

4、由图形的不确定性引起的分类讨论。当二次函数最值问题的求解中图像的开口方向、对称轴与所给区间的位置关系等时，需要进行分类讨论。

5、由参数的变化引起的分类讨论。某些含有参数的问题，比如含参数的方程、不等式等，由于参数的取值不同会导致所得结果不同或对于不同的参数值要运用不同的求解或证明方法时，必须进行分类讨论。

三、分类讨论解题在高中数学函数中的应用

分类讨论思想是一种重要的数学解题思想，在数学解题过程中应用分类讨论思想，不仅可以简化解题思路，还能培养发展学生的数学思维。在高中数学函数解题过程中，分类讨论思想的应用主要表现在以下几个方面：

1、根据函数概念进行分类讨论。由于高中数学函数问题相对来说难度较大，在进行解题时，要将每一道数学函数问题进行深度的剖析。而每个函数都有自身的定义和限制条件，在利用分类讨论解题的过程中，我们要善于根据函数的定义以及限制条件，对问题进行讨论并解决。只有在明确函数的概念和使用范围的基础上才能使得分类讨论解题真正地发挥其作用。比如：假设00且不为1时，比较│loga（1-x）│和│loga（1+x）│的大小。在解决该问题时，首先必须明确指数和对数的概念，以及两者之间的联系。在比较大小的过程中，需要学会将指数化为对数，通过对数直观地进行二者的比较。将二者变为对数之后，再对x的范围进行分类讨论，自然能够得到想要的答案。

2、根据函数图形位置进行分类讨论。在高中函数问题中，有一种类型的函数问题和函数图像对称轴的位置相关。在解决该类问题时，需要把握住对称轴这一关键信息。通过对称轴的位置，对图像的形状、交点等进行分类讨论，从而得出最终的答案。由于这类题型的特征比较明显，因而可以通过图像特征看出题目的意图，从而进行分类讨论。比如：在xoy平面内有一条曲线，y2=2x，点Q（b，0）是一个动点，曲线上的点到Q思维最短距离为？（b），求它的函数解析式。在解决该问题时，我们应该首先画图，通过画图找出Q点和函数上的点之间的关系，从而能够借助对称轴找出最短路径[2]。找到最短路径后，根据这个函数是关于x轴对称，进而对a是否大于1进行讨论就能够得到最终的答案。

3、根据二次函数的类型进行分类讨论解题。与二次函数相关的问题主要有两大类，定轴动区间和动轴定区间。两种类型的函数解题方法天差地别，一旦将其混淆，就会降低解题效率和正确率。在解题时，首先需要将二者的区别进行甄别。定轴动区间的典型特征在于题目会提供一个完整的函数表达式，但区间是未知的[3]。在解决该问题时，应该首先判断对称轴的位置，在此基础上依据对称轴的位置进行区间范围的划分，从而分类解出答案。对于动轴定区间，该类题型的典型特性在于给出的函数关系式是不确定的，但区间确定从而进行系数的求解。在解决动轴动轴定区间这类二次函数时，我们需要分类讨论函数关系式的多种情况，结合区间进行求解。

四、结语

总之，高中数学中的函数问题是一个极为复杂的问题。分类讨论思想适用范围广，可以强化学生的理解能力，提高其解题效率。

参考文献

[1] 刘见乐，罗敏娜.用函数思想指导高中数学解题[J].中国数学教育，2011，（10）：45-46.

[2] 蔡友君.高中數学函数分类讨论思想解题探析[J].高考（综合版），2015，（06）：124-125.

[3] 史晓伟.高中数学函数分类讨论解题探析[J].数理化学习，2016，（02）：3-4.