注重知识生长 优化认知结构

郭源源

[摘 要]随着新课程改革的推进，高效课堂建设成为顺利实施新课程改革和素质教育的关键，而优秀的教学设计可以有效整合知识，优化知识结构，从而激发学生的学习兴趣，提升课堂教学效率.

[关键词]教学设计；整合知识；优化结构

[中图分类号]G633.6[文献标识码]A[文章编号] 16746058（2017）35000802

【教学目标】

1.经历探索直线与圆的位置关系的活动过程，了解直线与圆的三种位置关系.

2.通过观察直线与圆的位置关系，发现圆心到直线的距离和圆的半径之间对应的数量关系，会运用数量关系刻画和判断对应的位置关系.

3.感受类比研究方法，体会分类、数形结合、特殊到一般等基本数学思想.

[设计意图]课程标准中要求数学知识的教学应注重知识的生长与延伸，把每堂课的教学知识置于整个知识体系中，注重知识结构和体系的优化，引导学生感受数学的整体性，并让学生在教学活动中，感悟数学思想，积累数学活动经验.在本章中，点与圆的位置关系、直线与圆的位置关系、圆和圆的位置关系（阅读材料）成了一个体系，其中蕴含了一些常见的基本数学思想和研究方法.基于以上分析，确定了本节课的教学目标.

【教学重难点】

重点：直线与圆的三种位置关系.

难点：用数量关系刻画对应的位置关系，体会数形结合思想.

[设计意图]本节课的教学过程中有大量的数学操作活动和汇报交流活动，这些活动都能让学生充分感受和操作体会直线与圆的三种位置关系.并让学生从研究的方法中感悟相应的数学思想.

【教学过程】

导入语：数学家华罗庚说过，读书经历的是由薄到厚，再由厚变薄的过程.当我们学习的数学知识越来越多，越来越厚时，应学会把同类知识的脉络厘清，建构知识框架，形成知识体系.这样我们脑海中的数学会越学越清晰.

一、教学情境

下面我们一起欣赏几组美丽的图片.（出示日出、切水果游戏、动漫等图片）

提问：通过欣赏幻灯片，同学们猜猜看，今天我们的研究对象是什么？——直线与圆的位置关系.

[设计意图]笔者没有采用先带大家复习点与圆的位置关系，然后观察日出画位置关系图的那种形式，而是引导学生观察图片后猜想今天的研究对象，学生根据要研究的问题，寻找知识的最近联想区，并借助点与圆的位置关系进行类比研究.笔者认为这样更符合学生的认知规律和探索心理.

二、探索活动

【活动1】寻找知识的生长点.

问题1.如何研究直线与圆的位置关系？你有哪些可借鉴的经验？

[设计意图]本节课属于类比研究课，类比研究的价值之一就是学生能够根据已学过的知识找到可类比的知识源.因此直接抛出本节课的主题，通过问题倒逼学生回忆相关知识.

问题2.那你还记得当时我们是如何研究点与圆的位置关系的吗？试着在表格中画出来.

[设计意图]再次经历从分类、归纳位置关系到刻画数量关系的过程，进一步感悟研究方法，为本节课的教学做好铺垫.

问题3.为什么研究位置关系时，还要通过数量关系来刻画？

（世界上存在很多隐性的圆，比如信号的覆盖区域，特殊的警区等，我们通过直观无法准确判断位置关系，因此数学上我们还会用数量关系来进行精确刻画.）

[设计意图]突出解决数量关系时，刻画位置关系的必要性，从而扫清后面用“数”刻画“形”的障碍.

【活动2】类比研究

问题4.今天我们研究的问题是另一种几何对象与圆的位置关系，你准备怎么研究？

前面的研究经验是否像同学们所说的那样可以互相借鉴？这节课我们来试试看.

[设计意图]通过类比点与圆，弄清研究直线与圆位置关系的大致步骤，为后面自主探究奠定基础，也渗透了类比研究法.

问题5.（操作）将透明胶带看作一个圆，将铅笔看作一条直线.在同一平面内，对于直线与圆，你能摆出几种不同的位置关系？画出示意图，说说你的分类标准.

[设计意图]在直观感受和已有学习经验的帮助下，通过自己动手操作，并分类、归纳，明确研究方向，提升探究新问题的能力.

问题6.下一步研究什么？

追问：研究哪些量的数量关系？并说说理由.

追问：既然同学们都认为需要圆心到直线的距离d和半径r这两个量.那么三种位置和这两个量必须满足怎样的数量关系？（形→数）

追问：反过来，知道圆心到直线的距离d与半径r的数量关系，能否确定直线与圆的位置关系？（数→形）

[设计意图]研究的量需让学生通过类比来把握，增强学生的方法感受.经历从定性描述到定量刻画的过程，让学生感悟数形的联系.

三、尝试解决

【例题1】 （形推数）

（1）已知直线l与⊙O相切，且圆心O到直线l的距离d等于3，⊙O的半径的值为 .

（2）已知直线l与⊙O有两个公共点，且圆心O到直线l的距离d等于3，⊙O的半径范围是 .

（3）已知直线l与⊙O位置如图所示，且⊙O的半径为3，圆心O

到直线l的距离d的范围是 .

【例题2】 （数推形）

在△ABC中，∠A=45°，AC=4，以C为圆心，r为半径的圆与直线AB有怎样的位置关系？为什么？

（1）r=2 （2）r=22 （3）r=3

【例题3】 （注意细节）

（1）已知⊙O的半径为5，点A在直线l上，若OA=5，则直线l与圆O的位置关系是 .

（2）判断对错：

直线AB与⊙O没有公共点，则AB与⊙O相离.（）

直线AB与⊙O只有一个公共点，则AB与⊙O相切.（）

直线AB与⊙O有两个公共点，则AB与⊙O相交.（）

[设计意图]由图形的位置关系决定数量关系，由数量关系判定图形的位置关系，这里的“数形结合”既是重要的知识，又是重要的思想方法.故在例题中设置从形推数，到由數推形，最后两者结合解决问题，为的就是让学生从简单的知识内容中挖掘出重要的思想方法.endprint