辅助线在解析几何中的作用赏析

☉江苏省高邮市第一中学 邱自成

在平面几何与立体几何中，添加辅助线是常用的解题技巧，但是在解析几何中，人们往往习惯于用解析的方法去解决问题，而忽略了辅助线的应用，本文尝试着去分析辅助线在处理解析几何问题时的作用.

一、作辅助线可以避免漏解、简化计算

（1）求椭圆的方程；

（2）四边形ABCD的顶点在椭圆C上，且对角线AC，BD均过坐标原点O，若

（2）过点A、B作直线AB.

当直线AB的斜率存在时，如图1所示.

图1

小结：本题可以分别将直线AC、直线BD的方程与椭圆方程联立，求出相关点的坐标，最后得到答案.但是这种方法计算量大，过程烦琐，通过作椭圆的辅助线，巧妙地运用“设而不求”的思想，使题目的解答变得简单易懂.同时，在将辅助线AB作出，使其显现之后，很容易想到就“直线AB的斜率是否存在”的问题进行讨论，从而避免了漏解情况的发生.

（1）求椭圆C的方程；

（2）过点O作两条互相垂直的射线，与椭圆C分别交于A，B两点，证明点O到直线AB的距离为定值，并求弦AB长度的最小值.

解析：（1）由

（2）过点A、B作直线AB.

图2

当直线AB的斜率存在时，如图3所示.

图3

设直线AB的方程为y=kx+m，设A（x1，y1），B（x2，y2），联立消去y得3x2+4（k2x2+2kmx+m2）-12=

因为OA⊥OB，所以x1x2+y1y2=0，所以x1x2+（kx1+m）·（kx2+m）=0，即（k2+1）x1x2+km（x1+x2）+m2=0，所以（k2+1）·，整理得7m2=12（k2+1）.

所以O到直线AB的距离

综上可知，点O到直线AB的距离为定值.

因为OA⊥OB，所以OA2+OB2=AB2≥2OA·OB，当且仅当OA=OB时取“=”号.

二、作辅助线可以强化解题方向

图4

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）若过D点作两条相互垂直的直线分别与椭圆C相交于点P，M.求证：直线PM经过一定点.

（2）过点P、M作直线PM，因为D（0，-1），所以可设DP的方程为y=kx-1（k≠0），则DM的方程为y=

小结：证明直线PM过定点，需要知道直线PM的方程，如果把直线PM作出来，使得直线PM的位置得以显现，这就可以帮助我们强化“寻找求直线PM的方程所需的条件”这一方向，真正体现了“数形结合”的互助性.F