加强创新思维，学会灵活变通——以2017年江苏高考数学试卷为例

☉江苏省常熟市王淦昌中学 蒋志学

2017年江苏高考数学试卷的总体特征就是立足基础，注重对考生能力的考查.试卷总体结构稳定，涉及的知识点比较全面，对重点内容的考核突出，层次分明.试题总体难度设置合理，既能有效地进行区分，有利于不同层次的高校选拔人才，又贯彻落实好了素质教育的目标.

一、试题总体特点

表1是必考题各知识点的设置情况.

表1 2017年江苏高考数学卷知识点统计

1.重基础，抓主干

总体来说，该套试题紧紧围绕教材，易于学生着手解答，无偏题，无怪题，无超纲题，能较好地反映考生的真实水平.填空题1～10题、解答题15～16题以及附加题部分考查的都是学生的基础知识掌握情况，解法比较常规，不存在复杂的运算，只要用对方法，认真解答，完全是能够拿分的；填空题11～14题主要考查的是考生的综合能力，与前面的“基础题”相比对思维能力的要求比较高，讲究数学思想与数学方法.尽管如此，这些所谓“难题”的解决思路及解决方法是常规的，也都是学生在日常学习过程中遇到过的；解答题的第17题考查的是解析几何，不同以往，计算量并不大，只要考生明确方法，动手计算，都能得到较好的分数.

例1（2017年江苏卷第11题）已知函数（fx）=x3-2x+，其中e是自然对数的底数，若（fa-1）+（f2a2）≤0，则实数a的取值范围是_______.

命题人将学生熟悉的函数y=x3-2x和y=ex-结合成新的函数，即f（x）=x3-2x+ex-，函数虽然相对较复杂，但考生只要经过观察，就能够借助平时的解题经验，通过求导的方法以及不等式的相关知识判断该函数在R上递增且为奇函数.在此基础上，考生就能确认满足f（a-1）+f（2a2）≤0的实数a的取值范围，将问题转化为不等式进行求解.求解过程虽然简单，但考查的知识点比较综合，对学生的数学思维及转化能力的考查要求比较高.

2.能力立意，适度创新

相比与往年，2017年的江苏数学卷更强调创新性，题目的设置以考纲为基础，重点考查考生的数学基础知识、数学思想及数学方法的掌握情况.填空题第5题考查的是算法流程，但却以分段函数求值的形式进行呈现；第7题综合性更强，将函数定义域的求解、解一元二次不等式及几何概型的知识点结合起来.像这样的综合考查出现在好多试题中，比如第12题综合了平面向量、三角函数及解三角形，第13题同时考查了直线和圆、向量数量积及线性规划.诸如这些试题，考点都是学生学过的基础知识，但是对考生的思维能力有着较高的要求，需要考生综合地、灵活地运用所学的知识和方法，创造性地解决问题.

例2（2017年江苏卷第19题）对于给定的正整数k，若数列｛an｝满足：an-k+an-k+1+…+an-1+an+1+an+k=2kan对任意正整数n（n＞k）总成立，则称数列｛an｝是“P（k）数列”.

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（1）证明：等差数列｛an｝是“P（3）数列”；

（2）若数列｛an｝既是“P（2）数列”，又是“P（3）数列”，证明：｛an｝是等差数列.

本题考查的是等差数列定义及通项公式的求解，涉及的数学方法主要有代数推理、转化与化归，对学生综合运用数学知识的能力要求比较高.

通过分析题干可知，本题定义了“P（k）数列”.对于考生而言，本题的重点就是弄清楚an-k+an-k+1+…+an-1+an+1+an+k=2kan.在数列中，n是一个变量，只有认识到这一点，考生才会想到用n代替n-1.

第（2）问中，考生需要联系到P（k）数列的定义，一个数列既是“P（2）数列”，又是“P（3）数列”，而题目要求证明该数列是等差数列.考生需要考虑到“P（2）数列”与“P（3）数列”具有同样的性质，即均是相邻若干项的关系，最符合定义的就是“an-1+an+1=2an”.从这个突破点着手，考生可以尝试去求解答案.

二、试题创新点评析——以解答题第18题第（2）问为例

在2017年的江苏高考数学卷中，相当一部分的考题不单单是考查单一的考点，而是同时考查多种数学能力与方法，对考生的创新能力是一大考验.同时，命题人在设置题目时会充分考虑不同能力水平的考生之间的差异性，多数试题的解答方法与思考方式并不是唯一的，只要找到方法，就能进行求解.

图1

（1）将l放在容器Ⅰ中，l的一端置于点A处，另一端置于侧棱CC1上，求l没入水中部分的长度；

（2）将l放在容器Ⅱ中，l的一端置于点E处，另一端置于侧棱GG1上，求l没入水中部分的长度.

标准答案给出的解法是设角，利用三角函数及正弦定理的知识进行求解.除此以外，考生还可以将其视作平面几何题，借助解析法，绘制棱台的截面等腰梯形E1EGG1.以O点为原点，EG所在直线为x轴，OO1所在直线为y轴，建立直角坐标系（如图2），建立直线方程进行求解.

图2

三、教学启示

对于学生而言，创新意识是可以经过系统的练习来提升的.在高中数学的教学过程中，如何调动学生的能动性，培养他们的创新、求异、探索精神，是现阶段高中数学教育的一大重点.

1.引导学生多角度考虑问题

在解决数学问题时，考生都是选用自己已掌握的知识或之前的解题经验来解答，但是在高考的答题过程中，常常会出现常规方法无法解答或解答过程过于烦琐的情况，在这样的情况下，考生就需要改变思考角度，变化思维方式.

本题的常规解法为数理分析法，但解答过程比较烦琐.不妨可以借助向量的知识进行解答.可以令m=（a，b），n=（c，d），因为m·n≤|m||n|，即可证明，过程简单易懂.当然，要在考试过程中想到这样的非常规解法是需要平时的思考与积累的.老师在教学过程中要注意引导学生用不同的角度去思考同一个问题，培养学生认知的创新性与跳跃性.

2.鼓励学生拓展思维，开放思考

在日常的教学活动中，老师要指导学生进行发散性思维训练，要求学生看待问题不要仅仅局限在一个小点上，要结合已有的条件积极探索可能的解答过程与结论.下面以立体几何的讲授为例.

例5 已知三棱锥A-BCD的侧棱相等，则顶点A在底面BCD上的射影是△BCD的（ ）.

A.内心 B.外心 C.重心 D.垂心

这道题目本身没有什么难度，但在得出答案之后，老师需要就这道题进行深入探讨：“侧棱相等”这一条件能否去掉？如果能去掉，需要添加什么新条件？如果要使得点A在底面BCD上的射影是△BCD的内心或垂心，则分别需要添加什么条件？通过这一系列的拓展思考，学生的思维就不再简单地局限在一道题上了，不同的条件带来的不同结果会使学生对相类似的问题形成更为透彻的认知，对相互之间概念的差异也会理解得更加准确.最重要的是，通过这种“追问”的教学方式，会激起学生思考问题的热情，提升学生的自主学习、自主创新能力.

四、结束语

高考数学不仅仅是一场考试，它能较为真实地反映出考生的思维能力及问题处理能力.因此，近年来相当多的高校、教学科研机构及普通高中对高考数学命题进行了深入的研究，推动高考数学考题不断推陈出新，追求内容上的创新.高考不再局限地考查学生的应试能力，通过一张考卷，命题人要对考生的数学思想、数学方法等综合能力进行考核，而不是简单地考查学生的运算、书写等答题能力.高考试卷中出现的越来越多的开放性、探索性问题，表明了拘泥于传统的教学方式，培养学生的答题能力已经是不够的了，老师需要有针对性地指导学生开展创新思维训练，做到灵活变通，真正地提升学生的数学核心素养，为学生的后续发展打下坚实的基础.

1.李昊森.数学教学模式创新［J］.北京：人民教育出版社，2012.

2.王弟成.数学教学应从学生已有的思维出发［J］.中学数学月刊，2015（8）.F