把握变式时机，提升思维能力——高中数学变式教学时机的把握与实践

☉浙江省宁波市鄞江中学 陈 波

变式教学这一高中数学教师在教学时常用的手段在学生数学学习的过程中能够起到很大的作用：帮助学生进行正误辨析的同时令学生学会举一反三；帮助学生将知识进行有效内化的同时令学生脑海中的知识网络得以顺利构建；帮助学生提升数学思维能力的同时令数学思想方法得以提高与升华；帮助学生综合能力得到锻炼和提高的同时令课堂教学效率稳步提升.不过，教师在实施变式教学的过程中应及时而准确地把握恰当的时机并结合学生实际与教学内容进行.

一、在概念生成处变式

我们以在函数奇偶性概念生成处进行问题的合理变式设计为例，此案例中的变式设计能使概念的生成与发展层层递进，也使得学生在这样的变式过程中产生自己的感悟与体会，学生在层层递进的变式训练中顺利实现了函数奇偶性概念的自主建构.

案例1 请观察以下两组函数的图像（图略）并用自己的语言总结出它们的共同特征.

（1）f（x）=x2，f（x）=|x|，f（x）=x-2；

（2）f（x）=x，f（x）=x-1，f（x）=x3.

老师给出一些提示问题来帮助学生总结.

①若函数y=f（x）的图像关于y轴对称，现将图像沿y轴翻折，那么图像上的点（x0，f（x0））会跟翻折后的图像上的哪个点重合呢？

②根据以上探究，会有怎样的关系式呢？请用语言描述.

③你能用自己的语言来定义偶函数吗？

④依此类比，奇函数的定义是怎样的呢？

⑤你觉得掌握这些定义应该关注哪些关键词呢？你认为奇偶函数的定义域又分别有哪些特点呢？

在自我经验的激活下对知识形成构建这就是我们常说的学习.学生对知识的简单吸收，以及教师在知识上的单向传授都不是真正有价值的学习，真正有价值的学习是师生之间双向互动对知识展开探索的过程.教师在教学中将教材结构进行有目的地重新组合，并将之进行一系列的问题变式，引导学生在变式的过程中进行观察、思考、探究及归纳总结，使得数学概念在师生互动中得以形成与发展，同时促进学生对知识的有效内化与深刻理解.

二、在易犯错误处变式

学生在知识背景的理解、解题经验及思维方式等各个层面上与教师相比自然是有很大差距的，因此，解题时候的不周全或者错误自然是时有发生.教师如果在教学时能够关注学生学习的“易错易混”知识点并因此进行有策略性的变式，则一定能令学生对自己平日容易犯错的各知识点产生清晰而正确的理解，学生解题与辨析时候的免疫能力也就非比寻常了.

上述两题考查的知识点主要在函数和数列的本质区别上，函数的定义域是一切实数，数列则是特殊的函数，其定义域为N*或其子集.之所以第三个不等式不一样也正是因为两者之间定义的本质有区别而造成的.实践证明，这样的变式对于学生深刻领悟数学与函数这两个概念以及它们之间的差异是具备极其积极的意义的，学生通过这样的变式往往对这两者之间的关系能够形成更为清晰的认识，学生的辨析能力也在此过程中得到锻炼与提升.

三、在知识交汇处变式

江苏省考试大纲明确指出高考命题应强调知识之间的交叉、渗透与结合，应从学科整体意义的高度去考虑问题并使试题体现知识的综合性，要以检验学生是否具备网络化的有序知识体系为目的，关注知识网络的交汇处进行考题的设计，并在考题设计时注重知识深度的考查.因此，教师应该在主干知识之间的交汇处进行深入的研究并进行有意义的变式设计，使数学知识与方法之间的迁移应用在师生互动的变式探究与训练中更加顺利的实现.

案例3 直线y=k（x+1）与圆（x-1）2+y2=1有公共点，求实数k的取值范围.

变式1：A=｛（x，y）|y=k（x+1）｝，B=｛（x，y）|（x-1）2+y2｝，若A∩B≠Ø，求实数k的取值范围.

变式5：若点P（1+cosα，sinα）（α∈R）在直线kx-y+k=0上，求实数k的取值范围.

仔细研究本题中层层递进的一系列变式，我们不难发现这些变式将解析几何与集合、函数、方程、不等式及三角函数等多个知识点进行了有机的融合，正是在各知识点融会贯通的交汇处进行设计的.习题的内涵和知识间的联系自然不是一般性的变式可以相提并论的.

四、在拓展延伸处变式

对知识的拓展和延伸不仅能使学生进一步深化对知识的理解，还能使学生的探究引申能力和数学素养得到提升.

案例4 已知a＞0，b＞0，求证：a5+b5≥a3b2+a2b3. ①

证明：用作差比较法，（a5+b5）-（a3b2+a2b3）=（a+b）（ab）2（a2+ab+b2）.因为a，b∈（0，+∞），（a-b）2≥0，故（a+b）（a-b）2（a2+ab+b2）≥0，当且仅当a=b时，等号成立，故命题成立.

拓展1：从原不等式的结构特征入手来分析，还有其他相似的不等式可以证明吗？

学生经过思考得出a5+b5≥a4b+ab4（a＞0，b＞0）.②

拓展2：①和②两个不等式相比，哪个更强？能排成不等式链吗？

学生通过对a3b2+a2b3和a4b+ab4的大小比较，得出a4b+ab4≥a3b2+a2b3. ③

故①和②两个不等式相比，②的结论更强.不等式链为a5+b5≥a4b+ab4≥a3b2+a2b3. ④

拓展3：通过①～④的探究，你能得出更一般的结论吗？

生甲：不等式链的一般结论为an+bn≥an-1b+abn-1≥an-2b2+a2bn-2≥an-3b3+a3bn-3≥…（n∈N，且每项的次数均为非负），a和b的次数越来越接近.

生乙：写最后一项时，正整数n的奇偶性应考虑进去，当n是奇数时，an+bn≥an-1b+abn-1≥an-2b2+a2bn-2≥an-3b3+

当n是偶数时，an+bn≥an-1b+abn-1≥an-2b2+a2bn-2≥

生丙：原以为a6+b6≥2a3b3此类不等式的结论已经很强，但是没想到在a6+b6与2a3b3之间还有两项可以插入.结论是：当a＞0，b＞0时，有a6+b6≥a5b+ab5≥a4b2+a2b4≥2a3b3.

最一般的结论因此得出.

不过，教师在进行变式引导与训练时始终应将学生的实际需要放在首要位置，并因此结合学生的实际情况进行具备一定研究价值的变式拓展，学生在这样的变式过程中不断思考与探索才能真正将知识内化为己有.

五、在思想方法处变式

数学思想方法是高中数学学习中最为关键的重要内容，它不仅是对数学知识与方法的本质规律的理性认识，作为数学思维结晶与概况的数学思想方法更是发展学生数学综合能力必不可少的金钥匙，对于数学问题的解决来说是其灵魂与策略.因此，教师在自己的教学中应将数学思想方法如春雨润物般地渗透进自己教学的各个环节，在经典例题的教学中随时关注思想方法的生成与发展并因此进行变式的设计、引导与探究，以此促进学生的数学思维高速发展.

（1）求f（x）的单调区间与值域；

（2）设a≥1，函数g（x）=x3-3ax2-2a，x∈［0，1］，若对于任意的x1∈［0，1］，总存在x0∈［0，1］，使得g（x0）≤f（x1）成立，a的取值范围怎样？

分析：（2）根据题意，只需要g（x）在x∈［0，1］上的值域包含f（x）在x∈［0，1］上的值域.因此，只需要通过导数求得g（x）在［0，1］上的最大值与最小值.

已知函数f（x）=7x2-28x-c，g（x）=2x3+4x2-40x.

变式1：若对任意x∈［-3，3］，都有f（x）≤g（x）成立，求实数c的取值范围.

变式2：若存在x∈［-3，3］，使得f（x）≤g（x）成立，求实数c的取值范围.

变式3：若对任意x1，x2∈［-3，3］，都有f（x1）≤g（x2）成立，求实数c的取值范围.

变式4：若对任意x1∈［-3，3］，总存在x2∈［-3，3］，使得f（x1）≤g（x2）成立，求实数c的取值范围.

学生主要错误有：①对题中“任意”与“存在”两词的含义不能形成正确的认识；②对题中单变量与双变量的概念与意义不能形成正确的认识；③对单恒成立与双恒成立也一样认识不清.

学生在这一系列包含恒成立、方程有解以及不等式有解等问题的变式中能够深刻领悟到的数学思想方法是多种多样的，而且，活跃的课堂氛围给学生带来了更积极、更活跃的思维，运用思想方法进行数学解题的良好习惯也在有意义的变式训练中得以较好地养成，课堂品位自然非一般性课堂可比.

学生在面对实际问题时的思维往往会比较灵动而多向，因此，教师在教学中应注重不断激发学生的兴趣并使他们的思维空间得到不断的刺激与拓展.掌握时机进行科学的变式训练对于此目标的实现来说正是极为有效的手段.学生的思维在条件的改变、结论的改变等一系列的变式训练中会更具灵活性、周密性、变通性与创造性.充斥着思辨、探究、交流以及拓展延伸的变式教学带给学生的是活力焕发的激情，教师与学生在这样精彩的共同演绎中才能使高中数学的课堂生成越发熠熠生辉.F