探究高中数学解析几何问题解析方法

张毅

摘要：数学是我们高中教育阶段中十分重要的一门学科，而几何问题也是高中数学学科中的重点和难点，其相关知识贯穿高中数学学科的整个过程，并且为大学高等数学中曲面几何的相关学习奠定基础。本文通过阐述在高中数学学科中几何问题的特性和其解析方式，并将其与实际生活中的应用相结合。

关键词：高中数学几何问题椭圆与双曲线直角坐标系

一、高中数学几何的相关概念

高中数学中的几何知识难点主要表现在二維区间中，例如直线间的关系、直线与圆的关系、椭圆、双曲线和抛物线等相关概念以及解析方式等知识点。其主要通过培养高中生的空间想象能力和逻辑解题能力，并使高中生能够对数学空间形成自己的理解。

二、高中数学解析几何问题的主要解析方法

（1）回归定义法

在高中的解析几何领域中，由于相关概念或定义规定的较为详尽，因此在解题过程中很多题型都是依据定义进行分析和解答的。此外，有一些关于圆锥曲线[1]的问题，乃至些看似与圆锥曲线还不相关的几何问题，都可以利用定义法进行判断。因此回归定义法是一种很重要的解题思路，例如在下图（图1所示）中，圆O的公式为 ，其中P是圆O上面的任意一个移动点，（2，0）为点A的坐标。此时线段AP的垂直平分线与圆O的半径（圆O的圆心为点C）CP相较于点Q，那么点Q随点P移动所产生的轨迹方程为？

我们由题可以分析出QP=QA，那么此时QA+QC=QP+QC=CP=6 > AC

结合椭圆定义，可知该轨迹为椭圆，且点A、C为其焦点，长轴为6

那么可知a=3，c=2， ，因此综上分析可得椭圆的方程为 。

（2）设而不求法

由于高中解析几何的相关问题较为复杂，并且在具体的解题过程中有部分参数为过渡参数，因此可以通过预先设定，后再削去的方式进行解题。同时使用这种方法还可以降低了在计算过程中的运算量，并提高了解题速度，因此得到广泛的使用：例如在直角坐标系xOy中（如图2），存在椭圆C： ，并且已知其离心率为 。同时椭圆C经过点 ，求证椭圆C的方程。

由于椭圆C： ，并且已知其离心率为

则 ，又因为 ，得出

由题知椭圆C经过点

则 ，此时 ， ，所以椭圆C的方程为 。

（3）数形结合法

此外，对于高中的解析几何来说，由于解析几何主要为几何图像，因此数形结合的解析方法可以通过利用原有图形的相关性质，进而求出相关答案：如图3所示，坐标点P是圆O在第一象限中的任意一点（圆O的方程为 ），那么过P点的圆的切线[2]与椭圆C相交（椭圆C的方程为 ）于Q 、R 两点。并且已知椭圆C的右焦点为F ，请证：PQ+FQ=2。

本题主要通过使用两点间距离公式，而两点间的距离公式主要采用勾股法进行判别

由图3可得出点Q 在椭圆上

，FQ=

PQ=

因此，综上所述PQ+FQ=2。

三、高中数学几何的实际应用

（1）在传媒领域的应用

解析几何由于其独有的实用性，并且利用解析几何可以轻松设计出对称面[3]、椭圆和抛物线等相关形状，极大地方便了传媒领域中设计人员的工作量。因此解析几何在传媒领域的应用十分广泛：例如动画制作、广告或海报等创意设计、场地布置及吉祥物或纪念品设计等多方面的应用。同时，在一些舞蹈动作编排、电视剧或电影中的动作设计（如电影《侏罗纪世界2》当中各个恐龙模型的设计，就用到了圆及其变形、对称面等相关知识）等也会运用到有关解析几何的相关知识。

（2）在军事领域的应用

在军事科技领域中，由于圆的切线、椭圆等在雷达接收面和反射面的相关性能有很强的关联性，因此被广泛应用于军事通信领域和隐身战舰、飞机的设计和研制工作中；此外，由于抛物线的相关知识与军事领域中的炮弹落点、弹道导弹飞行轨迹等紧密相关，因此解析几何的相关知识是军事科技研究领域中的必修课之一，并且在其中占有十分重要的地位。

四、结语

几何问题及其解析方法不仅在高中的数学考试中占有很大的比重，并且由于其独特的实用性和对现代科技的独特作用，因此解析几何知识对高中生的重要性不言而喻。本文通过对高中解析几何的相关问题及解析方法进行介绍和讲解，并结合其在实际中应用案例，以期帮助其他高中生更好地理解几何问题，提高学习兴趣。

参考文献：

[1]朱城. 高中生解析几何学习障碍及教学对策[D].上海师范大学，2014.

[2]李雪川. 高中数学数形结合思想的研究和应用[D].河北师范大学，2014.

[3]马宁. 数学思想对高中解析几何学习影响的研究[D].河北师范大学，2014.