高中数学中的二次函数与不等式的应用分析

范钦帅

摘要：该文中笔者介绍了二次函数的基本知识，探究了二次函数的简单应用，并提出了二次函数在应用过程中应该注意的几点。

关键詞：二次函数；高中数学；应用

最早接触二次函数是在初中，受学习能力的限制，学生初步学习二次函数的掌握程度较低，不能将学到的理论充分运用到高中知识里。高中数学阶段二次函数极其重要，想要完全掌握并且运用的炉火纯青就必须从基础一点点抓起，循序渐进做到得心应手。

1 二次函数的基本知识点

通常判断一个函数是不是二次函数，首先观察它的表达式，形如其中a不等于零。这个是它的一般表达式，另外常用的它还有顶点式跟交点式这两种，比如f（x）=2（x-1）（x-4）这个是交点式，1跟4分别是函数跟x轴的两个交点。

1.1 利用表达式透露出的知识点

函数表达式中的abc这三个参数决定了函数的性质，二次函数的曲线是抛物线，以x=-b/2a对称轴，以（-b/2a，（4ac-bb）/4a）为定点的坐标，还可以根据函数二次项参数a的正负来判断曲线的开口方向，当参数a为正数时向上参数a为负数时向下。函数的判别式为m=bb-4ac，通过判别式中m的符号断定曲线跟横轴的交点个数，m为正时是两个交点，m为负时是没有交点，m为零时是一个交点，也就是两个交点重合，曲线相切于横轴。抛物线的这几方面能够有效地帮助学生学习二次函数，加深理解跟背诵。

1.2 二次函数的单调性

单调性的大体概念跟含义我们在初中数学中已经接触到了，但当时并没有经过严格的科学性的定义跟论证，高中数学二次函数的学习给单调性做出了一个有理论依据做基础的解释。二次函数的单调性是分两部分的，这两部分以抛物线的对称轴为界限，一边单调递增，而另一边就会单调递减。学生在学习过程中，对于自变量有范围，判断起来比较困难的分段函数，结合图形分析给人以直观性，是一种很好的方法。

1.3 二次函数的极值特性

已经提到二次函数的图像是抛物线，那么对于不限定自变量范围的函数，对称轴处的函数值便是函数的最大值或者最小值。学生要把函数的基础知识熟记于心，这样做起题来才能如鱼得水。例如：假设二次函数f（x）=3xx-12x+10，它在[a，a+1]上存在最小值，并且是g（a）。要求：得出g（a）的表达式。

解析：f（x）=3xx-12x+10=3（x-2）（x-2）-2所以容易看出函数在自变量x的值是2时得到最小值-2。当2在[a，a+1]这个区间内时最小值g（a）为-2，此时a在[1，2]这个区间中；当a大于2时，g（a）=f（a）=3aa-12a+10；当a小于1时，g（a）=f（a+1）=3aa-6a+4。通过上面的分析计算得出结论。

想要正确得到这个题的结果，必须充分理解二次函数的极值问题。二次函数一般情况下在自变量范围不限制时肯定只有一个最大值或者肯定只有一个最小值，但伴随着自变量定义域的改变，极值的情况也会发生改变。比如对称轴是x=2，自变量的定义域是[3-4]，那函数就在3处取得最小值，在4处取得最大值；倘若定义域是（2，5），那这个函数既没有最大值有没有最小值等等，不同的范围对应不同的情况，这样的例子不胜枚举。

2 二次函数的简单应用

2.1 与一元二次不等式接轨

中学数学的学习过程中，肯定接触到了一元二次不等式的内容。也就是根据一致的不等式求解范围。第一步首先看判别式。第二步把不等式暂且看做等式，求解出变量值。第三步是依据二次项正负判断开口，画出假想函数的大致图像。最后看图像找所要求的变量范围。第三步中的画图识图就是将二次函数的知识充分运用到求解不等式当中来，这一步是求解的关键。如果化简后的不等式是大于零，那么自变量的取值范围就选取图像上方的部分。如果化简后的不等式小于零，那么自变量的取值范围就选取图像下方的部分。另外要格外注意等于零的不为的选取与否，最后得到的不等式解集就是正确答案了。

2.2 与求函数的定义域、值域相融合

例如：已知函数y=lg（xx+2mx+2），求：如果函数的定义域是全部实数集，试得出m范围；如果值域是全部实数集，试得出m范围。

第一问：问题等价于xx+2mx+2恒大于零，得出m大于负根号2小于正根号2。

第二问：问题等价于xx+2mx+2大于零恒有解，得出m大于等于根号2或者m小于等于负根号2。

这样的问题最能迷惑学生的双眼，将学生的思维搞混乱，追根究底关键还是没能对所学的知识进行完全吸收。

2.3 结合映射跟函数

函数是一种映射，而二次函数作为函数的一种自然也属于映射，只是情况比较特殊。二次函数是一个不空的定义域到不空的值域的映射，两个之中的元素一一对应，并且没一个定义域中的元素只有一个值域中的元素相对应，而值域中的元素可以有两个定义域中的元素与之对应。这样在二次函数的作用下，学生更深刻、更深入地加深了对映射、对函数的理解，这种认识的明确，对解决遇到的难题大有帮助。

3 为加深二次函数的应用需注意几点

作为老师，在讲解二次函数时，要把基础知识放在首要地位。即使是一个小概念也要充分理解它的含义，对于给出的公式定理，首先了解，深入理解，然后学生自己完成公式的推导，定理的演示，然后结合联系进行巩固训练，熟记于心。

不建议死读书、读死书，要灵活记忆，灵活掌握每个要点。每堂课、每个小时分别给学生分配不同的任务，制定不同的学习目标，学习目标的明确能够极大极高学生学习二次函数的效率。

高中二次函数的题型复杂，内涵丰富，文章通过分析二次函数的基础知识点引出了它在高中数学教学其它知识上的完美应用，相信在更多的题目应用中学生能够更好的把握解题技巧。

参考文献

[1] 赵立国.浅谈二次函数的重要作用[J]. 考试（教研），2011（3）.

[2] 孙丽静.浅析二次函数在高中数学中的简单应用[J].现代交际，2012（12）.

[3] 王刚.浅谈二次函数在高中数学中的应用[J].科技视界，2012（13）.

基金课题：

本文系2018年度河南省基础教育教学研究项目《以抛物线为例促进高中学生数学知识延伸拓展的研究》（JCJYC18030333）研究成果”