机械能守恒定律服从力学相对性原理的思考

摘 要：机械能守恒定律是否服从力学相对性原理，曾经是物理学上存在广泛争议的问题。笔者从兴趣出发，通过查阅相关研究资料，结合自身的学习和理解，对机械能守恒定律服从力学相对性原理的条件进行分析。

关键词：机械能守恒定律；力学相对性原理；服从性

一、 前言

力学相对性原理指出，在不同惯性系中，力学规律具有相同形式。即对S系中的基本表达式进行单纯加撇代换，即可得到S′系中的对应表达式。如果S系中的功能原理表达式也可以通过单纯的加撇变换得到S′系中的功能原理表达式，则说明功能原理服从力学相对性原理。而机械能守恒定律是只有保守力做工的功能原理，有必要对其与力学相对性的服从性进行探讨。

二、 机械能守恒定律服从力学相对性原理的条件

（一） 功能原理的服从条件

在一个保守力学系统中，惯性系S的第i个支点矢量位置为ri，所受的非保守外力为Fi，系统内力为fi，根据牛顿定律有Fi+fi=midvi/dt。将上式两边同时乘以质点i的相对位移，可得到Fi·dri+fi·dri=mivi·dvi=d（miv2i/2）。对系统中的所有质点进行求和，即可得到∑iFi·dri+∑ifi·dri=d∑i（miv2i/2）。在保守系统中引入是能概念，则有∑iFi·dri=d∑i（miv2i/2+Ep），即S系统的功能原理。取另一个惯性系S′，设其相对于S系统的速度为u，对S系统中的功能原理进行伽利略变换，即∑iFi·dri=∑iFi·（dri′+udt）=∑iFi·dri′+（∑iFi）·udt。由此可以得出，外力对系统做工与参考系有关。对d∑i（miv2i/2）进行伽利略变换，可以得到d∑i（miv2i/2）=d∑i（miv2i′/2）+（∑iFi）·udt，说明动能改变也与参考系有关。

对dEp进行伽利略变换，并代入上述公式，可以得到∑iFi·dri′=d[∑i（miv2i′/2）+Ep′]，与∑iFi·dri=d∑i（miv2i/2+Ep）相比仅仅是由加撇变量代替了原变量，因此功能原理遵循力学相对性原理。

（二） 机械能守恒定律的服从条件

机械守恒定律是只有定律是只有保守力做工的动能原理，非保守力不做工，或做工之和为0，即∑iFi·dri=0。将这个条件代入上述伽利略变化的推导过程，中间可以得到d[∑i（miv2i/2）+Ep]=0，和d[∑i（miv2i′/2）+Ep′]=0，不能利用伽利略变换将前一个表达式转化为后一个表达式，因此机械能守恒定律不一定服从力学相对定律。只有在（∑iFi）·udt=0成立时，才能通过伽利略变换，由d[∑i（miv2i/2）+Ep]=0得到d[∑i（miv2i′/2）+Ep′]=0。由此可以得出结论，系统在某惯性系中如果满足∑iFi的方向与u的方向垂直，或∑iFi为0，则机械守恒定律服从力学相对性原理。

三、 机械能守恒定律服从力学相对性原理的例题分析

（一） 水平运动体系的服从性分析

在本文中，为了能够清楚地分析水平运动体系的服从性，根据物理课程中的机械能守恒定律，将会通过以下例题进行系统的描述：

【例1】 某车厢以速度u在水平面沿某一方向做运动，同时在车厢中的光滑水平面上存在一个弹簧，其劲度系数用k表示。此時，弹簧的两端各连接着一个小球，质量分别为M、m。在开始的过程中，需要将弹簧压缩至△x以后，以静止的状态释放，当其恢复至原始状态时，两个小球与车厢的相对速度分别用v1、v2表示。在研究水平运动体系的服从性时，需要将车厢中弹簧、两个小球所构成的一个整体为具体的研究对象，那么在这个整体中，其运动产生的机械能量守恒定是否服从力学相对性原理，具体的分析内容如下：

在此题中，该系统受到的非保守力F，即两个小球所受的桌面支持力垂直于相对速度u，该系统中机械能守恒定律服从力学相对性原理。设车厢的参考系为S，在参考系S中，系统的机械能守恒，可以得出E1=E2，因此系统在参考系S中的机械能守恒定律的表达式为k（Δx）2/2=mv21/2+Mv22/2。以地面为参考系，在地面参考系S′中，系统的机械能也守恒，即E1′=E2′，初态E1′=（M+m）u2/2+k（Δx）2/2，末态E2′=M（u+v2）u2/2+m（u-v1）2/2=（M+m）u2/2+Mv22/2+mv21/2+（Mv2-mv1）u。根据系统的动量守恒可以得出v2=mv1/M。再将v2=mv1/M代入上一表达式，可以得到E2′=（M+m）u2/2+Mv22/2+mv21/2。最后将其代入E1′=E2′，即可得到参考系S′中的机械能守恒定律表达式，即k（Δx）2/2=mv21/2+Mv22/2，由此可以得出结论，在该系统中，机械能守恒定律服从力学相对性原理。

（二） 斜面运动体系的服从性分析

斜面运动是高中物理课程中重要的内容，学习难度也较大。那么，在斜坡运动中的机械能守恒定律是否服从力学相对性原理是学习中遇到的难题，下面通过例2进行具体解析：

【例2】 某车厢在水平面上，以速度等于v0的状态匀速的向右行驶。在该车厢中，存在一个的被固定的、倾斜角度等于θ的光滑斜面，上面存放着一块质量等于M的滑块从斜面的顶端自由花滑落（在计算过程中可以将其看做一个质点）。将斜面与滑块视为一个系统，分析机械能量守恒定是否服从力学相对性原理？

在该题中，若以滑块和斜面作为研究对象，那么在车厢参考系中，系统所受非保守力Fi，即斜面对滑块的支持力对滑块不做功，由此可以判断系统机械能守恒。而在地面参考系中，由于非保守力Fi不与滑块位移垂直，因此非保守力Fi对系统做功了，在该参考系中机械能不守恒。与前文得到的结论相同，即非保守力Fi不为零且不与相对速度u垂直时，机械能守恒定律不服从力学相对性原理。

四、 结束语

综上所述，通过对机械能守恒定律服从动能相对性原理的条件进行思考，可以加深我们对机械能守恒定律的理解，从而把握好应用条件，避免出错。

参考文献：

[1]付喜锦.机械能守恒定律遵循力学相对性原理的条件[J].物理教师，2010，31（01）：63-64.

[2]张九铸.关于力学相对性原理和机械能守恒定律的讨论——也谈机械能守恒定律和相对性原理[J].大学物理，2000，（02）：14-22.

作者简介：

马凯，辽宁省北票市，辽宁省北票市高级中学。endprint