逻辑运算的算术实现

黎明杰

(深圳大学 光电工程学院， 广东 深圳 518060)

0 引言

在布尔代数中，由于其基本逻辑定义的关系，使得其逻辑表达式不能进行直接的算术运算的，如“或”运算Y=A+B,这里当A和B的值同时为1时,不代表输出值Y为2。同理，“非”运算、“异或”运算、“同或”运算符号，也不能进行数学运算。

本文就针对此问题作出改进。

1 对逻辑语言的数学化

为避免和汉语表述混淆，将逻辑语言的“与”“或”“非”等加双引号表示，以作区分。

(1) “与”：在计算A“与”B中，仅当A和B同时为1时，结果才为1，即，当A或者B其中一个为0，结果将为0。对此，数学运算中乘法恰好有这样的特性。因此定义

A“与”B：A×B

(2) “非”：在计算 “非”A中，当A为1，结果为0，当A为0，结果为1；在这里，如果将 全码 定为 1，那么1和0则互补。故可将 “非”A看作求A对全码1的补。因此定义

“非”A：1-A

(3) “异或”：在计算A“异或”B中，一旦A和B不相等，结果为1，否则为0。而减法恰好有这样的特性，可令运算为A-B，但这样运算的话，结果将有可能为负值。因此定义

A“异或”B“：(A-B)2

考虑到A、B的取值无外乎0和1，则可以知道An=A。所以，上式可以化简为

A“异或”B：A+B-2AB

(4) “同或”：在计算A“同或”B中，其结果为“异或”运算的非，即，A“同或”B等于对A“异或”B取非，因此定义

A“同或”B：1-(A-B)2=1+2AB-A-B

(5) “或”：在计算A“或”B中，其结果可以看作

(1)“异或”和“与”的叠加，即，A“或”B等于A“异或”B加A“与”B，因此定义

(2)A“或”B：(A-B)2+AB=A+B-AB

上述将逻辑运算用数学运算替代的方法，称之为新定义。

2 新定义的应用

2.1 德·摩根定理的证明

该定理用逻辑运算描述为：

(1)(“非”A)“或”(“非”B)= “非”(A“与”B)

(1)

(2) (“非”A)“与”(“非”B)= “非”(A“或”B)

(2)

证(1)：用数学运算描述，等号左端 = [ (1-A) + (1-B) - (1-A)(1-B) ] = 2-A-B-1+A+B-AB=1-AB=等号右端

证(2)：等号左端 = (1-A)×(1-B) = 1-A-B+AB= 1 - (A+B-AB) =等号右端

2.2 求解SR锁存器的输出特性

1)或非门SR锁存器的输出特性：

或非门SR锁存器原理图示于图1。

图1 或非门SR锁存器

根据新定义，对每个或非门列方程，有：

(3)

对式(3)求解，可以得到以下关系：

(4)

根据结果将S、R的值代入式(4)进行算术运算可以得到： ①S=1,R=0时，Q=1 ,Q′=0;

②S=0 ,R=1时，Q=0 ,Q′=1;

③S=1 ,R=1时,Q=0 ,Q′=0;

④S=0 ,R=0时，有

(5)

这时，如果是由①和②的情况跳变到④的话，那么Q和Q′互非，根据式(5)可知，Q和Q′保持原来的状态；而对于由③跳变到④，则需要考虑两种情况：

第一种：S和R的其中一个比另一个先到达0状态，即有中间过程，③→①→④或者③→②→④，那么经历了中间态之后，Q和Q′互非，保持状态；

第二种： 如果S和R严格地同时到达0状态，即没有中间过程，根据式(5)可知，Q和Q′在不断地翻转，由{Q=0,Q′=0}→{Q=1,Q′=1}→{Q=0,Q′=0}，无限循环，显然，出现此情况的概率微乎其微。

2)与非门SR锁存器的输出特性：

与非门SR锁存器原理图示于图2

图2 与非门SR锁存器

根据新定义，对每个或非门列方程，有：

(6)

对式(6)求解，可以得到以下关系：

(7)

根据结果，将S、R的值代入式(7)进行运算可以得到：

①S′=1 ,R′=0，时，Q=0 ,Q′=1;

②S′=0 ,R′=1，时，Q=1 ,Q′=0;

③S′=0 ,R′=0，时，Q=1 ,Q′=1;

④S′=1 ,R′=1，时，同样得到(5)，

这时如果是由①和②的情况跳变到④的话，那么Q和Q′互非，根据式(5)可知，Q和Q′保持原来的状态；而对于由③跳变到④，则需要考虑两种情况：

第一种：S和R的其中一个比另一个先到达1状态，即有中间过程，③→①→④或者③→②→④，那么经历了中间态之后，Q和Q′互非，保持状态；

第二种： 如果S和R严格地同时到达1状态，即没有中间过程，根据方程组(5)可知，Q和Q′在不断地翻转，由{Q=1,Q′=1}→{Q=0,Q′=0}→{Q=1,Q′=1}，无限循环，显然，出现此情况的概率微乎其微。

2.3 在逻辑设计中的应用

根据图3真值表设计逻辑电路。

图3 真值表

根据真值表可写出Y=(1-A0)A1A2+A0(1-A1)A2+A0A1(1-A2)+A0A1A2；

化简后有Y=A0A1+A0A2+A1A2-2A0A1A2；至此就可以清晰看见输入与输出之间的数值关系了。

为方便绘制逻辑电路，将结果转为逻辑语言表述出来，进行配项有Y=A0A1+A0A2+A1A2-2A0A1A2=(A0A1+A0A2-A0A1A2)+A1A2-A0A1A2=(A0A1+A0A2-A0A1A2)+A1A2-(A0A1+A0A2-A0A1A2)A1A2;

即Y=[A0“与”A1]“或”(A0“与”A2)“或”(A1“与”A2)，设计结果如图4所示。

图4 逻辑电路

3 结语

根据上述可以发现，利用新定义，可以将逻辑运算完全转化为纯数学运算，即可将一切逻辑运算问题转化为数学问题，将逻辑分析变得更为直观易解，特别是当变量繁多或者逻辑运算过程含有反馈的时候，这种优势更为明显，如2.2中求解SR锁存器的输出特性时，逻辑运算中就含有反馈，利用新定义可求解出一条简单的表达式，而布尔代数的方法就只能通过逐步推导来得出结果。因此对于逻辑表达式的化简，利用新定义就可以直接数学化简。这将大大简化逻辑问题的分析，同样也方便了逻辑设计。

[1] 阎石 主编，数字电子技术基础(第五版)，高等教育出版社。